Bài giảng Toán Lớp 12 - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Phạm Thanh Linh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC KẠN 
CUỘC THI THIẾT KẾ BÀI GIẢNG E – LEARNING 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
CHỦ ĐỀ 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
GIẢI TÍCH 12 
Thực hiện: Phạm Thanh Linh 
THPT Phủ Thông – Bạch Thông – Bắc Kạn 
Điện thoại: 0985447666 
Email: bobaki2010@gmail.com 
CHỦ ĐỀ 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
CỦA HÀM SỐ 
CẤU TRÚC BÀI HỌC 
I. Định nghĩa 
II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng 
III. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 
IV. Các bài toán thực tế 
V. Củng cố 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Bạn đã trả lời đúng! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Bạn hãy chọn lại. 
Ví dụ 1. 
Cho số thực dương . Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
l à: 
A) 
1 
B) 
2 
C) 
3 
D) 
4 
Bài giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương và ta được 
Suy ra giá trị nhỏ nhất của y bằng khi 
t ương đương 
I. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D 
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên tập D nếu:   x D: f(x)  M   x 0 D: f(x 0 ) = M 
Kí hiệu : 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập D nếu:   x D: f(x)  m   x 0 D: f(x 0 ) = m 
Kí hiệu : 
y 
x 
O 
D 
M 
x 0 
x 
f(x) 
x 
y 
O 
D 
m 
x 0 
x 
f(x) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Một học sinh có lời giải như sau: 
Ta có: 
Theo bạn lời giải trên đúng hay sai ? 
A) 
Đúng 
B) 
Sai 
Nhận xét: Sai lầm của lời giải là ở chỗ 
Nhưng hệ trên vô nghiệm bởi vì 
Lời giải đúng: 
Ta có: 
Suy ra 
Và 
h ay 
 Vậy 
khi 
Ví dụ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
trên khoảng 
Bài giải 
Trên khoảng 
ta có 
Bảng biến thiên 
Kết luận 
II. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng 
Bài toán: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a; b) (có thể là khoảng (-  ; + ), (a ; + ), (-  ; a)). Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a; b) nếu chúng tồn tại. 
Cách giải: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a; b) rồi dựa vào đó kết luận. Nếu trên khoảng (a; b) mà hàm số chỉ có một cực trị thì: 
 Nếu cực trị là CĐ thì giá trị CĐ cũng là giá trị lớn nhất. 
x 0 
x 
y 
O 
b 
a 
f(x 0 ) 
x 0 
x 
y 
O 
b 
a 
f(x 0 ) 
 Nếu cực trị là CT thì giá trị CT cũng là giá trị nhỏ nhất. 
Ví dụ 4. Cho số thực dương. Tìm g iá trị nhỏ nhất của hàm số 
 Bài giải: 
Xét hàm 
t rên khoảng 
 . 
Ta có: 
Bảng biến thiên 
Kết luận 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
t rên đoạn 
Ví dụ 5. 
Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
A) 
B) 
C) 
D) 
Hướng dẫn ví dụ 5 
Từ đồ thị hàm số 
h ình bên, 
Ta thấy ngay trên đoạn 
t a có 
Vậy 
Hãy chọn đáp án thích hợp để hoàn thành khẳng định sau 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Ví dụ 6. 
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 
Định lí 
. 
Mọi hàm số f(x ) và đơn điệu tăng trên đoạn [a;b ] đều có 
giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn , và giá trị lớn nhất là 
, giá trị nhỏ nhất là 
Mọi hàm số f(x ) liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [a;b ] đều có 
giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn , và giá trị lớn nhất là 
, giá trị nhỏ nhất là 
 . 
Đáp án ví dụ 6. 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 . 
biến, ghịch biến và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 . 
Ví dụ 7. 
N ghịch biến trên 
và 
N ghịch biến trên 
và 
N ghịch biến trên 
và 
Đồng biến trên 
và 
Cho bảng biến thiên của hàm số 
. Hãy xét tính đồng 
A) 
B) 
C) 
D) 
Hướng dẫn ví dụ 7 
Từ bảng biến thiên của hàm số 
t a dễ dàng suy ra hàm số luôn nghịch biến trên 
Để ý tập xác định của hàm số là 
nên 
đoạn 
và 
III. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 
Bài toán: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]. 
Ta xét các trường hợp sau 
1. Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn. 
min 
max 
O 
x 
y 
a 
b 
min 
max 
O 
x 
y 
a 
b 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 . 
Ví dụ 8. 
Cho hàm số 
, có đồ thị hình bên. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Phân tích ví dụ 8. 
Cho hàm số 
c ó đồ thị hình bên. 
Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 . 
Ta phân đoạn 
Từ đó ta có : 
Cách mà chúng ta tư duy để tìm ra lời giải bài toán trên là : 
x 
b 
a 
x 1 
x 2 
x 3 
x 4 
y 
O 
 2. Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm mà tại đó hoặc không xác định thì hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm nói trên. 
 . 
III. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn 
Bài toán: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]. 
Caùch giaûi: 
1) Tìm caùc ñieåm x 1 , x 2 , , x n treân khoaûng (a;b), taïi ñoù f’(x) baèng 0 hoaëc f’(x) khoâng xaùc ñònh. 
2) Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). 
3) Tìm soá lôùn nhaát M vaø soá nhoû nhaát m trong caùc soá treân, khi ñoù: 
Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [- 1; 2] 
GTLN trong caùc soá treân laø GTLN cuûa haøm soá treân ñoaïn [a; b] 
GTNN trong caùc soá treân laø GTNN cuûa haøm soá treân ñoaïn [a; b] 
3 
f(-1) = -5, f(0) = 0 
f(1) = -1, f(2) = 4 
Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). 
2 
y’= 6x 2 – 6x = 6x(x-1) 
y’= 0 x = 0 v x = 1 
0 vaø 1 ñeàu thuoäc (-1; 2) 
Tính f ’(x) vaø giaûi PT f’(x)= 0 treân (a; b), giaû söû ñöôïc nghieäm x 1 , x 2 , , x n 
1 
THỰC HIỆN 
PHƯƠNG PHÁP 
Ví dụ 10 [ĐH-B-2002]. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải 
 Tập xác định: 
 , 
 ta có 
và 
Vậy 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 . 
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn vào phần trả lời để trống 
Hãy điền giá 
Ví dụ 11. 
Trả lời 
Cho hàm số 
 trên đoạn 
dưới đây ? 
Hướng dẫn ví dụ 11 
Bước 1: Tính 
v à giải phương trình 
trên 
 . 
Ta có 
Bước 2: Tính 
Bước 3: 
Vậy 
 Hãy ghép một ý ở cột 1 với một ý ở cột 2 để được câu trả 
Cột 1 
Cột 2 
A. 
B. 
C. 
D. 
B 
D 
A 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Ví dụ 12. 
t rên đoạn 
t rên đoạn 
t rên đoạn 
lời đúng ? 
Hướng dẫn ví dụ 12 
1) Xét hàm 
t rên đoạn 
t a có 
2 ) Xét hàm 
t rên đoạn 
 ta có 
3 ) Xét hàm 
t rên đoạn 
 ta có 
IV. Các bài toán thực tế 
Bài toán 1. Cho một tấm tôn hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại thành một cái hộp không nắp. Tìm cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất ? 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Hướng dẫn 1. 
Gọi cạnh hình vuông bị cắt là , hãy tìm điều kiện của ? 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Hướng dẫn 2. Gọi cạnh hình vuông bị cắt là , khi đó cạnh đáy của 
k hối hộp là : 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Hướng dẫn 3. Từ hướng dẫn 1 và hướng dẫn 2. Khi đó thể 
tích của khối hộp là ? 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
Your answer: 
The correct answer is: 
You did not answer this question completely 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 sao cho đạt giá trị lớn nhất. 
sao cho đạt giá trị lớn nhất. 
Hướng dẫn 4. Từ đó quy bài toán thực tế về dạng toán nào đã biết ? 
Tìm giá trị thực dương sao cho đạt giá trị lớn nhất . 
Tìm giá trị thực sao cho đạt giá trị lớn nhất . 
Tìm giá trị thực 
Tìm giá trị thực 
A) 
B) 
C) 
D) 
Hướng dẫn 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
t rên khoảng 
 . 
Bài giải: 
Gọi là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. 
Rõ ràng phải thỏa mãn điều kiện . 
Thể tích của khối hộp là 
Ta phải tìm sao cho có giá trị lớn nhất. 
Ta có 
Trên khoảng , ta có . 
 . 
Bảng biến thiên 
Kết luận 
Cạnh của khối hộp là 
 . 
 Bài toán 2. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m. Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai cây cột) dăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình dưới đây. Tính độ dài dây ngắn nhất. 
Bài giải 
Đặt với 
. Ta có 
 và 
Vậy 
Bảng biến thiên 
V. Củng cố 
Trong phần này các em sẽ tham gia một gói câu hỏi luyện tập dưới dạng trắc nghiệm gồm 10 câu. Qua bài luyện tập này củng cố lại các kiến thức đã học, biết được nhận thức và điều chỉnh cách học của các em. 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Câu 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
-1 
B) 
0 
C) 
1 
D) 
2 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
t rên đoạn 
 . 
Câu 2. 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
t rên đoạn 
 . 
Câu 3. 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 . 
Câu 4. 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
1 
B) 
2 
C) 
3 
D) 
4 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
 cm 
Câu 5. Cho một tấm tôn hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm tôn đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng cm , rồi gập tấm tôn lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
trên khoảng 
 . 
Khẳng định trên đúng hay sai ? 
Câu 6. 
Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
A) 
Đúng 
B) 
Sai 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Câu 7 . Trong các mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) có cùng chu vi là 40 (m). Khi đó mảnh vườn có diện tích lớn nhất khi ? 
A) 
x = 15 (m), y = 5 (m) 
B) 
x = 13 (m), y = 7 (m) 
C) 
x = 10 (m), y = 10 (m) 
D) 
x = 11 (m), y = 9 (m) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Câu 8 . Cho hàm số với . Gọi a, b là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng a + b là. 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
10 
B) 
7 
C) 
3 
D) 
9 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
l ần lượt là M và m. Hãy tính tổng của M + m. 
Câu 9 . 
Cho 𝑥, 𝑦 là các số thực không âm và thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 = 1. 
1 
Bạn hãy chọn lại. 
A) 
B) 
C) 
D) 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
Đúng rồi, bạn rất hiểu bài! 
Câu trả lời của bạn: 
Câu trả lời đúng là: 
Bạn chưa hoàn thành câu hỏi. 
Bạn hãy chọn lại. 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
Câu 10. Một cửa sổ hình dạng như bên dưới, bao gồm một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm một cạnh hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu ? 
2 
A) 
B) 
C) 
D) 
Trắc nghiệm toàn bài 
Điểm của bạn 
{score} 
Điểm tối đa 
{max-score} 
Số lần trả lời 
{total-attempts} 
Question Feedback/Review Information Will Appear Here 
Xem lại 
Tiếp theo 
Kéo và thả tên nhà toán học vào ảnh 
Chúc mừng bạn, rất chính xác! 
Rất tiếc, bạn trả lời chưa chính xác! 
You answered this correctly! 
You did not answer this question completely 
Trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục! 
Tiếp tục 
Xóa 
A.L. Cauchy 
I. Newton 
D. Zenon 
J. L. Lagrange 
G . W. Leibniz 
Zeno xứ Elea ( tiếng Pháp : Zénon d'Elée ) 
 (496 -429TCN ) là một nhà toán học, nhà triết học người Hy Lạp. Ông là một nhà khoa học lớn đến từ thành phố Elea , một thành phố hiện nay nằm ở miền Nam nước Ý xinh đẹp. Ông là tác giả của Nghịch lý Zeno nổi tiếng. Đây là một trong những nghịch lý khoa học nổi tiếng nhất. Nhờ có nó, Zeno đã góp phần thúc đẩy sự xuất hiện của khái niệm giới hạn, một khái niệm vô cùng quan trọng để con người tiến tới khái niệm vô hạn. Ông còn là người đã có ảnh hưởng tới các nhà triết học xuất sắc của Hy Lạp như Plato , Aristotle . Aristotle đã gọi Zeno là nhà phát minh của biện chứng . 
Augustin-Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si ) là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại Paris. Ông vào học Trường Bách khoa Paris ( École Polytechnique ) lúc 16 tuổi. Năm 1813 , ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học. Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp . 
 Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp . Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân . Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học. 
Isaac Newton Jr. là một nhà vật lý , nhà thiên văn học , nhà triết học , nhà toán học , nhà thần học và nhà giả kim thuật người Anh, được nhiều người cho rằng là nhà khoa học vĩ đại và có tầm ảnh hưởng lớn nhất. Theo lịch Julius , ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727 ; theo lịch Gregory , ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 . 
Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân . Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát. 
Năm 2005 , trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học , Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein . 
Joseph-Louis Lagrange ( 25 tháng 1 năm 1736 – 10 tháng 4 năm 1813 ) là một nhà toán học và nhà thiên văn người Ý - Pháp . Ông đã có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán học , lý thuyết số , cơ học cổ điển và cơ học thiên thể . Có thể nói ông là nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỉ 18 . Trước khi tròn 20 tuổi ông đã là giáo sư hình học tại trường pháo binh hoàng gia ở Torino . Vào những năm hai mươi lăm tuổi ông được công nhận là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất vì những bài báo của ông về sự lan truyền sóng và các điểm cực trị của các đường cong. Với sự giới thiệu của Leonhard Euler và Jean le Rond d'Alembert , Lagrange kế nhiệm Euler để trở thành Viện trưởng Viện hàn lâm Khoa học Phổ ở Berlin . Dưới Đế chế Pháp I ông được phong nghị sĩ và bá tước. Ông được chôn cất trong điện Panthéon tại Paris . 
Gottfried Wilhelm Leibniz (cũng là Leibnitz ) (1646 - 1716) là một nhà bác học người Đức với các tác phẩm chủ yếu viết bằng tiếng Latin và tiếng Pháp . 
 Ông được giáo dục về luật và triết học , và phục vụ như là factotum cho hai gia đình quý tộc lớn người Đức, Leibniz đã đóng một vai trò quan trọng trong chính trị của châu Âu và các vấn đề ngoại giao trong thời đại của ông. Ông chiếm vị trí quan trọng ngang nhau trong cả lịch sử triết học và lịch sử toán học . Ông khám phá ra vi tích phân độc lập với Isaac Newton , và kí hiệu của ông được sử dụng rộng rãi từ đó. Ông cũng khám phá ra hệ thống số nhị phân , nền tảng của hầu hết các cấu trúc máy tính hiện đại. 
Hướng dẫn tự học 
1. Lí thuyết: 
2. Bài tập 
 Cho một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b. Người ta cắt bỏ bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập lại thành một cái hộp không nắp. Tìm cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất ? 
Bài 3. 
 Cần ôn tập và nắm vững định nghĩa, phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn . 
 Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
t rên 
 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
t rên đoạn 
 . 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam. 
[2]. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, Bài tập Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam. 
[3]. Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu giải tích phổ thông, NXB Giáo Dục. 
[4]. Nguyễn Bá Đô, Các câu chuyện Toán học – Tập 4, NXB Giáo Dục. 
LỜI CẢM ƠN 
Xin chân thành cảm ơn các bạn đã quan tâm và theo dõi bài giảng của tôi. 
Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các bạn để ý tưởng và kỹ năng soạn giảng E – Learning của tôi ngày một hoàn thiện hơn.