Bài giảng Giải tích Khối 12 - Chương I, Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

ĐẠI SỐ 
Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Bài 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
LỚP 
12 
ĐỊNH NGHĨA 
I 
CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – 
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN MỘT ĐOẠN 
II 
ỨNG DỤNG GTLN-GTNN	 
III 
Định nghĩa 
1 
Các ví dụ 
2 
Bài toán 
1 
Quy tắc 
2 
Các ví dụ 
3 
Định lý 
1 
Các ví dụ 
2 
A 
KIẾM TRA KIẾN THỨC 
Câu hỏi 
Trả lời 
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn [0;2] 
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3 khi 
và giá trị lớn nhất của S là 11 khi 
Do 
Ta có 
B 
NỘI DUNG BÀI HỌC 
Định nghĩa 
Cho hàm số xác định trên tập . 
a) Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho . 
Kí hiệu 
b) Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho 
Kí hiệu 
I 
ĐỊNH NGHĨA 
1 
Định nghĩa 
2 
Các ví dụ 
Bài giải 
Ví dụ 1 
Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên. 
Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 
 đoạn . Giá trị của bằng 
 A. .	 	 B. .	 C. .	 D. . 
Dựa và đồ thị suy ra 
Vậy 
Chọn C 
C 
2 
Các ví dụ 
Bài giải 
Ví dụ 2 
Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn . Giá trị của bằng 
A. .	 B. .	 C. .	 D. . 
Dựa và đồ thị suy ra 
Vậy . 
Chọn A 
A 
II 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐOẠN 
1 
Định lý 
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 
2 
Quy tắc 
Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng , 
tại đó hoặc không xác định. 
Bước 2: Tính . 
Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên. 
Bước 4: Kết luận ; 
II 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT ĐOẠN 
2 
Nhận xét 
a) Nếu đạo hàm giữ nguyên dấu trên đoạn thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn . 
b) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm mà tại đó bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng . Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm nói trên. 
c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. 
Bài giải 
Ví dụ 3 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 
A . . 
B. . 
C. . 
D. . 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn . 
Ta có: . 
Xét hàm số trên đoạn có: 
 . 
Vậy . 
Chọn B 
B 
Bài giải 
Ví dụ 4 
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là 
A. . 
B. . 
C. . 
D. 2 . 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn . 
Ta có . 
Xét hàm số trên đoạn có: 
 . 
Vậy . 
Chọn D 
D 
Bài giải 
Ví dụ 5 
Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
 trên đoạn . Tính giá trị của bằng 
A. . 
B. . 
C. . 
D. 
Ta có 
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 
Vậy và 
Suy ra 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn . 
Chọn A 
A 
Bài giải 
Ví dụ 6 
B. 0. 
C. 4. 
D. 1. 
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định. 
A. 2. 
Tập xác định: 
suy ra hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
Ta có: 
Xét hàm số trên đoạn có: 
Vậy . 
Chọn A 
A 
III 
ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN KHOẢNG ĐOẠN CHO TRƯỚC 
Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng , 
tại đó hoặc không xác định. 
Bước 2: Tính . 
Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên. 
Bước 4: Kết luận ; 
Bài toán 
Định giá trị tham số để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. 
1 
Bài toán 
Bài giải 
Ví dụ 7 
Cho hàm số (Với là tham số thực) thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. . 
B. . 
C. . 
D. . 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
Ta có 
Trường hợp 2: 
 suy ra hàm số đồng biến trên 
Do đó 
 (L) 
Trường hợp 3: 
 suy ra hàm số nghịch 
 biến trên 
Do đó 
 ( N) 
Vậy thỏa điều kiện bài toán . 
Chọn A 
A 
Trường hợp 1: 
 là hàm số không thoả mãn. 
Bài giải 
Ví dụ 8 
Cho hàm số (với là tham số thực) thoả mãn . 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. . 
B. . 
C. . 
D. . 
Ta có . 
Trường hợp 1: . 
 là hàm hằng 
nên k hông thỏa mãn 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
Trường hợp 2: 
Suy ra 
 Hàm số đồng biến trên đoạn . 
Khi đó: 
 ( Loại ). 
Trường hợp 3: 
Suy ra 
 Hàm số nghịch biến trên đoạn . 
Khi đó: 
 (nhận) 
Vậy thỏa điều kiện bài toán. 
Chọn A 
C 
Bài giải 
Ví dụ 9 
Cho hàm số (với là tham số thực). Trên hàm số có 
 giá trị nhỏ nhất là . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
? 
A. . 
B. . 
C. . 
D. . 
Chọn C 
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 
Ta có có 
Xét hàm số trên đoạn có: 
 ; ; 
Ta thấy 
nên . 
Do 
 . 
c 
Bài giải 
Ví dụ 10 
Một vật chuyển động theo quy luật với (giây) là khoảng thời 
gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di 
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây 
kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 
bao nhiêu? 
A. (m/s) 
B. (m/s) 
C. (m/s) 
D. (m/s) 
Chọn D 
Ta có: ; ; 
 . 
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trong 
khoảng thì hàm số đạt cực đại 
 duy nhất 
Vậy giá trị lớn nhất vận tốc là 
 . 
36 
6 
D 
1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên tập . 
a) Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho . 
Kí hiệu 
b) Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi thuộc và tồn tại sao cho 
Kí hiệu 
Bước 1: Tìm các điểm trên khoảng , 
Bước 2: Tính . 
Bước 3: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên. 
Bước 4: Kết luận ; 
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn