Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm 2020-2021 - Trường THPT Liễn Sơn

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2020-2021 
MÔN THI : TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số 
2
1
x
y
x
 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) 
tại điểm M cắt hai tiệm cận tại tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh 
tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M. 
Câu 2 (3,0 điểm). Cho hàm số 4 22 1y x mx ( m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ 
thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính 1R . 
Câu 3 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 2sin 3 .cos 2 sin 0.x x x 
Câu 4 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1
( , )
1
x x y y
x y
x y xy
Câu 5 (2,0 điểm). Hai bạn Kiên và Nhẫn mỗi người viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 4 chữ 
số đôi một khác nhau. Tính xác suất để hai bạn đó viết ra hai số có đúng một chữ số giống nhau và ở 
cùng một hàng (hoặc giống nhau ở hàng đơn vị, hoặc hàng chục, hoặc hàng trăm, hoặc hàng ngàn). 
Câu 6 (2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên 
đường thẳng có phương trình: 2 2 0x y . Đường cao kẻ từ B có phương trình 1 0x y , điểm 
 1;1M thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. 
Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 
37
3
a
. 
Gọi M là trung điểm cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . 
Câu 8 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có mặt phẳng ( )SAC vuông góc mặt phẳng ( )ABC , tam giác 
SAB đều cạnh 3a , 3BC a , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( )ABC một góc 060 . Tính thể 
tích khối chóp .S ABC . 
Câu 9 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 22 6 1f x x x và các số thực m , n thỏa mãn 
2 24 5 2 2 1m mn n n . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2m
f
n
. 
-------------------------Hết------------------------- 
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm thay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 
- Họ và tên thí sinh: ..; SBD: 
 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN 
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2020-2021 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 1 
Cho hàm số 
2
1
x
y
x
 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến 
của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm 
cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M. 
3,00 
2
( ) ; , 1
1
a
M C M a a
a
. 
2 2
3 3
' '( )
( 1) ( 1)
y y a
x a
 0,5 
Tiếp tuyến của (C) tại M có pt 
2
3 2
( )
( 1) 1
a
y x a
a a
 ( ) 
0,5 
Tiệm cận đứng 1 có phương trình 1x 
Tiệm cận ngang 2 có phương trình 1 ( 1;1)y I 
0,5 
1
5
1;
1
a
A A
a
  
, 2 2 1;1B B a  0,5 
5
1 , 2 2
1
a
IA IB a
a
 0,5 
1 1 5 1 6
. 1 . 2 2 . .2 1 6
2 2 1 2 1
IAB
a
S IA IB a a
a a
 (không phụ thuộc vào 
a, đpcm) 
0,5 
Câu 2 Cho hàm số 4 22 1y x mx (1) ( m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số 
m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này 
có bán kính 1R . 
3,00 
Ta có: 3 2' 4 4 4 ( ).y x mx x x m 
Để đồ thị hs (1) có 3 điểm cực trị 0.m 
0,5 
 Gọi 2 2(0;1), ( ; 1), ( ; 1)A B m m C m m là các điểm cực trị của đồ thị hs 
(1), 2(0; 1)I m là trung điểm .BC 
0,5 
Ta có 2 4,AI m AB AC m m 0,5 
Áp dụng CT: 
1 . .
.
4 2 4
abc AB AC BC
S AI BC
R R
 0,5 
Suy ra 
2
.
AI
R
AB AC
2
4
2
1
m
m m
4 22 0m m m 
0,5 
0 ( )
1 ( )
1 5
( )
2
1 5
( )
2
m l
m n
m l
m n
 Vậy 
1 5
, 1
2
m m
 0,5 
Câu 3 Giải phương trình 2 2sin 3 cos 2 sin 0.x x x 2.0 
Có: 3 2sin 3 3sin 4sin (3 4sin )sin (1 2cos 2 )sin ,x x x x x x x 0,5 
nên PT 2 2[(1 2cos 2 ) cos 2 1]sin 0x x x 0,5 
3 2 2
2 2
(4cos 2 4cos 2 cos 2 1)sin 0
(1 cos 2 )(1 4cos 2 )sin 0
x x x x
x x x
 0,5 
sin 0
2
cos 2 1
x
x k
x
 (với k nguyên) 0,5 
Câu 4 
Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
1 1 (1)
1 (2)
x x y y
x y xy
 2,0 
ĐK: 1y . 2 2(1) 1 1x y y x 
2 2 2 2 2 22 1 1 2 ( 1)( 1)x xy y y x y x 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1)( 1) 1 1xy y x x y x y y x x y 
0,5 
Kết hợp với (2) ta được 
2 2
2
2 2
1 0
2 0
21
x y x
x xy
y xx y xy
 0,5 
20 & (2) 1 1x y y 
2 2 1 1 22 & (2) 3 1
3 3 3
y x x x x y 
0,5 
Thử lại ta có 0, 1x y và 
1 2
,
3 3
x y thỏa mãn hệ pt 
Vậy hệ có 2 nghiệm như trên 
0,5 
Câu 5 Hai bạn Kiên và Nhẫn mỗi người viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 4 
chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để hai bạn đó viết ra hai số có đúng 
một chữ số giống nhau và ở cùng một hàng (hoặc giống nhau ở hàng đơn vị, 
hoặc hàng chục, hoặc hàng trăm, hoặc hàng ngàn). 
2,0 
Số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau có: 399.A số. 
Hai người mỗi người viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 4 chữ số đôi 
một khác nhau, nên số cách viết là 
2 23 3
9 99. ( ) 9.A n A  
0,5 
TH1: Hai số được viết giống nhau ở chữ số đầu tiên (hàng ngàn) 
+ Chọn chữ số hàng ngàn cho hai số được viết có 9 cách chọn (vì khác số 0). 
+ Chọn 6 chữ số để xếp vào 6 vị trí còn lại ( hàng trăm, hàng chục, hàng đv của 
hai số), có 69 .6!C cách. 
0,5 
Vậy trường hợp này có: 699. .6!C 
TH2: Hai chữ số giống nhau không ở vị trí đầu tiên 
+ Chọn chọn hai chữ số (khác 0) và xếp vào hai vị trí đầu tiên của hai số được 
viết có 29 .2!C cách. 
+ Chọn 1 chữ số giống nhau của cả hai số được viết, và xếp vào 1 trong ba vị trí 
giống nhau của cả hai số được viết, có 18.3C cách. 
+ Chọn 4 chữ số để xếp vào 4 vị trí còn lại của hai số được viết, có 47 .4!C 
Vậy trường hợp này có 29 .2!C .
1
8.3C .
4
7 .4!C 
0,5 
Vậy xác suất cần tính là: 
6 2 1 4
9 9 8 7
23
9
9. .6! .2!. .3. .4! 55
5679.
C C C C
P
A
 0,5 
Câu 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC 
nằm trên đường thẳng có phương trình 2 2 0x y . Đường cao kẻ từ B có 
phương trình 1 0x y , điểm 1;1M thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác 
định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC 
2,0 
Toạ độ B là nghiệm của hệ 
1 0
2 2 0
x y
x y
 Suy ra 3; 4B 
Gọi d là đường thẳng qua M song song với 
BC : 2 3 0d x y 
0,5 
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ 
2 3 0
1 0
x y
x y
 Suy ra 4; 5N 
Gọi I là trung điểm MN 
5
; 2
2
I
. 
0,5 
Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, 
IE đi qua I vuông góc với BC 
13
: 2 0
2
IE x y . 
Toạ độ E là nghiệm của hệ
13
2 0 21 11
,2
10 5
2 2 0
x y
E
x y
6 2
;
5 5
C
. 
0,5 
CA đi qua C vuông góc với BN suy ra 
8
: 0
5
CA x y 
Toạ đô A là nghiệm của hệ 
13
2 0
2
8
0
5
x y
x y
33 49
;
10 10
A
0,5 
Câu 7 Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 2, 0 
I
B C
A
NM
E
37
3
a
. Gọi M là trung điểm cạnh SA . Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng AC và BM . 
Gọi N là trung điểm SC . Suy ra 
 d , d , d , d ,AC BM AC BMN A BMN S BMN . 
0,5 
Ta có, . .3. 3.d ,
4.
S BMN S ABC
BMN BMN
V V
S BMN
S S
 . 
Ta có 
3
2
.
1 1 5 5 3
. . . . 3
3 3 3 9
S ABC ABC
a a
V SO S a . 
0,5 
Ta có 
2 2 2 109
2 4 6
BS BC SC a
BM BN
 , MN a suy ra 
25
6
BMN
a
S . 0,5 
Vậy 
3
d ,
2
a
AC BM . 
0,5 
Câu 8 Cho hình chóp .S ABC có mặt phẳng ( )SAC vuông góc mặt phẳng ( )ABC , 
tam giác SAB đều cạnh 3a , 3BC a , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng 
( )ABC một góc 060 . Tính thể tích khối chóp .S ABC . 
0,5 
Ta có 3BA BC a nên tam giác ABC cân tại B. Gọi H là trung điểm của 
AC thì .BH AC Lại có ( ) ( )BAC SAC nên ( )BH SAC . 
0,5 
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng ( )ABC là góc 060SCA 
Ta có 3BS BA BC a HS HA HC SAC  vuông tại S. 
0,5 
Trong tam giác vuông SAC có: 
0
2
sin 60
AS
AC a 
02 .cos 60SC a a , 
1
2
SH AC a 
Nên 2 2 2HB BS HS a 
0,5 
Vậy: 3
1 1 1 6
. . 3. . 2
3 3 2 4
SACV S BH a a a a  0,5 
Câu 9 
Cho hàm số 3 22 6 1f x x x và các số thực m , n thỏa mãn 
2 24 5 2 2 1m mn n n . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2m
f
n
. 
2,0 
+) Xét hệ thức 2 24 5 2 2 1m mn n n , 1 . 
+) Đặt 
2 2m
t
n
 . Ta có 2 2m nt 2 2m nt . 
0,5 
+) Thay vào 1 ta được: 
2
22 2 4 2 2 5 2 2 1nt nt n n n 
 2 24 5 2 2 5 2 9 0 22t t n t n . 
+) Có các số thực m , n thỏa mãn 1 phương trình 2 có nghiệm 0 
2
22 2 5 2 9 4 5 0t t t  2 4 5 0 5;1t t t . 
0,5 
+) Xét hàm số 3 22 6 1f t t t trên đoạn  5 ;1 . 
 26 12f t t t ; 
 
 
0 5 ;1
0
2 5 ;1
t
f t
t
. 
0,5 
Ta có 5 99f , 2 9f , 0 1f , 1 9f . 
Suy ra 
 
5;1
min 99f t
 khi 5t . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
2 2m
f
n
bằng 99 . 
0,5