Bài giảng Hình học 12 - Chương III - Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

HÌNH HỌC 
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
LỚP 
12 
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẮNG 
I 
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẮNG SONG SONG, CHÉO NHAU, 
 CẮT NHAU 
II 
Cầu Tràng Tiền – Huế 
Cầu Hàm Rồng – Thanh Hóa 
Tháp Cầu (Bridge Tower – London) Don) 
Cầu Cổng Vàng (Mỹ) 
 Vectơ khác được gọi là VTCP của đường thẳng nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. 
O 
x 
y 
z 
y 
x 
o 
 Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng? 
O 
x 
y 
M 
Ta cần 1 vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng 
 PTTS của đường thẳng 
Nêu các yếu tố xác định phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng? 
Trong không gian cho vectơ và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương? 
O 
x 
y 
z 
M 
Theo em ta cần những yếu tố nào 
để xác định được một đường 
thẳng trong không gian ? 
Ta chỉ cần một vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng đó 
O 
x 
y 
z 
M 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có , là vectơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để điểm M (x;y;z) nằm trên d. 
Bài toán 	 
Giải 
Điểm 
Đây là PTTS của d 
hay 
x 
y 
z 
O 
M 0 
M 
d 
 Định lý: Cho đường thẳng d đi qua và có VTCP là . 
 Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên d là có một số thực sao cho . 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
 Định nghĩa: 
 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương , là: 
 Nếu a 1 , a 2 , a 3 đều khác không thì phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau: 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Giải: 
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là 
 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , viết phương trình chính tắc của đường thẳng 
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Giải: 
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là 
 . 
 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với 
mặt phẳng . 
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Giải: Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : . 
Vì 
nên phương trình tham số của là . 
  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và 
 có vtcp và đi qua M o ; d’có vtcp và đi qua M o ’. Ta có: 
Nếu , cùng phương thì d // d’ d ≡ d’ 
Nếu , không cùng phương thì xét hệ phương trình (I) 
 d chéo d’ Hệ Ptrình (I) vô nghiệm; 
 d cắt d’ Hệ Ptrình (I) có một nghiệm. 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 
Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song: 
 và 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 
 đi qua điểm , có véc tơ chỉ phương là 
 có véc tơ chỉ phương là 
Vì nên 
Ví dụ 1 
Bài giải 
Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau: 
 và 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 
 đi qua điểm , có véc tơ chỉ phương là 
 có véc tơ chỉ phương là 
Vì nên 
Ví dụ 2 
Bài giải 
Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: 
 và 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 
Xét hệ phương trình 
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn. 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
Thay và phương trình của suy ra và cắt nhau tại 
Ví dụ 3 
Bài giải 
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: 
 và 
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 
 Ta có: , lần lượt là vectơ chỉ phương của và . 
 nên và không cùng phương. 
Xét hệ phương trình: 
Từ hai phương trình đầu ta được: , thay vào phương trình cuối không thỏa mãn. 
Ta suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm 
Vậy hai đường thẳng và chéo nhau. 
Ví dụ 4 
Bài giải 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
a) Phương trình tham số 
 Viết PTTS của đường thẳng (d) trong trường hợp sau: 
a) (d) đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . 
 b) (d) đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng . 
b) (d) vuông góc với mặt phẳng nên (d) nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm một vectơ chỉ phương, do vậy phương trình tham số của 
Bài 1.T91 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
c) Đường thẳng có vectơ chỉ phương . 
(d) // nên (d) nhận làm vectơ chỉ phương 
(d) đi qua nên có phương trình tham số : 
c) (d) đi qua điểm và song song với đường thẳng . 
d) (d) đi qua hai điểm và . 
d) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm nên nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. 
Ta có: 
(d) đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương nên có PT 
Bài 1.T91 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và d' cho bởi các phương trình sau: a) và 
 và không cùng phương. 
Ta xét hệ: 
Hệ cho ta một nghiệm duy nhất . Vậy và d' cắt nhau. 
Bài 3.T91 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và d' cho bởi các phương trình sau: b) và 
Ta có: có vectơ chỉ phương 
 có vectơ chỉ phương 
 cùng phương 
 đi qua điểm . Nếu ' thì hệ phương trình 
phải có nghiệm. Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. 
Vậy nhưng Suy ra . 
Bài 3.T91 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . 
Thế các biểu thức theo trong phương trình tham số của vào phương trình của , ta có: 
Phương trình này vô nghiệm. Vậy 
Đường thẳng nên khoảng cách giữa và thì bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đến . 
Ta có điểm thuộc nên: 
Bài 6.T91 
Bài giải 
III 
BÀI TẬP SGK 
Cho điểm và đường thẳng 
a) Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng . 
b) Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua đường thẳng . 
a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương: 
Mặt phẳng (P) qua và vuông góc với đường thẳng d nhận làm vectơ pháp tuyến, có phương trình: 
Giá trị tham số ứng với hình chiếu của trên là nghiệm của phương trình: 
Từ đây ta được tọa độ của hình chiếu là 
Bài 7.T91 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
C âu 1 
Trong không gian đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là 
A. .	B. .	 
C. .	D. . 
B 
Bài giải 
Chọn B 
Bài giải 
C âu 2 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian , cho đường thẳng . Điểm nào dưới 
đây thuộc ? 
A. . 	 B. . 	 C. . 	 D. . 
C 
Chọn C 
Bài giải 
C âu 3 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là 
A. .	B. .	 
C. .	D. . 
D 
Chọn D 
C âu 4 
Bài giải 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian, cho điểm và mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là 
A. . 	 B. . 	C. .	 D . 
C 
Gọi là đường thẳng đi qua 
và vuông góc với mặt phẳng 
Phương trình tham số của đường thẳng là 
Chọn C 
Bài giải 
C âu 5 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian , cho ba điểm , và . Đường thẳng đi qua và song song với có phương trình là 
Gọi là phương trình đường thẳng qua và song song với . 
A. . 	B. . 	 C. . D. . 
A 
Nên nhận làm vectơ chỉ phương. 
Vậy . 
Chọn A 
Bài giải 
C âu 6 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt . 
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là: 
A. . 	 B. . 
 C. . 	 D. 
D 
Gọi giao điểm của đường thẳng và là . 
Vì đường thẳng vuông góc với đường thẳng nên: 
 . 
Do đó , . 
Đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương là nên có phương trình chính tắc: 
Chọn D 
Bài giải 
C âu 7 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng ? 
A. và chéo nhau . 	 B. . 	C. . 	D. . 
B 
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là , đường thẳng có một vectơ chỉ phương là . 
Ta có , và nên 
Chọn B 
Bài giải 
C âu 8 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian , cho hai đường thẳng 
và . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. .	 B. .	 C. và chéo nhau.	 D. . 
C 
Ta có: 
Ta thấy: Loại B. và D. 
Ta thấy: Loại A. 
Chọn C 
Bài giải 
C âu 9 
IV 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Trong không gian , cho điểm và đường thẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Khi đó tọa độ của điểm là 
A. . 	 B. . 	C. . D. . 
A 
Vì là hình chiếu vuông góc của lên nên . 
Do đó tọa độ điểm có dạng là . 
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là . 
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là . 
Vì nên 
 . 
Vậy tọa độ của điểm là . 
Chọn A