Bài tập Giải tích Lớp 12 - Chuyên đề: Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến - Đào Thùy Linh

GV: ĐÀO THUY LINH 
Nhắc lại kiến thức: 
Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến 
Bài tập Tìm cực trị của các hàm số sau: 
1. xyyxz 933 
2. 22422 yxyxz 
3. z= x4 + y4 - x2 - 2xy - y2 
Giải 
1. Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình: 




093
093
2
2
xy
y
z
yx
x
z
Vì hệ có hai nghiệm nên hàm số có hai điểm dừng là M1(3, 3); O(0, 0) 
Tính các đạo hàm riêng cấp hai: 
2
2
x
z


=6x; 
yx
z2


=-9; y6
y
z
2
2


+ Xét tại điểm M1: 
A = 183.6)3,3(
2
2


x
z
, B =
yx
z2


(3,3) = -9, C =
2
2
y
z


(3,3) = 18 
 AC - B2 = 243>0 
 A = 18 > 0 nên điểm M1(3, 3) là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu là: zCT = z(3,3) 
= -27 
+ Xét tại điểm O 
A = 0)0,0(
2
2


x
z
B =
yx
z2


(0,0) = -9 
C =
2
2
y
z


(0,0) = 0 
 AC-B2 = -81 < 0 
Vậy tại điểm O(0,0) hàm số không có cực trị 
2. 22422 yxyxz 
Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình: 
GV: ĐÀO THUY LINH 




024
022
y
y
z
x
x
z
Vì hệ có một nghiệm nên hàm số có một điểm dừng là M(1, 2) 
Tính các đạo hàm riêng cấp hai 
2
2
x
z


=-2; 
yx
z2


=0; 2
2
2


y
z
Tại điểm M(1, 2) 
A =
2
2
x
z


(1, 2) = -2; B = 
yx
z

 2
(1, 2) = 0; C = 2)2,1(
y
z
2
2


 AC -B2 =4>0 
A = -2 < 0 nên điểm M(1, 2) là điểm cực đại và giá trị cực đại là: 
zCĐ = 7 
3. z = x4 + y4 - x2 - 2xy- y2 
Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình sau: 




0224
0224
3
3
yxy
y
z
yxx
x
z
Hệ này có 3 nghiệm nên hàm số có 3 điểm dừng là: 
O(0,0), M(-1,-1), N(1,1) 
 Tính các đạo hàm riêng cấp hai: 
2
2
x
z


=12x2 -2; 
yx
z2


=-2; 212 2
2
2


y
y
z
2 2 2
2 2
( )
z z z
x y xy
  
  
(12x2-2)(12y2-2) -4 
+ Tại điểm M(-1,-1) và N(1, 1) ta có: 
AC - B2 = (12-2)(12-2) -4 = 96 >0 0 và A = 10 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại hai 
điểm M, N và zCT = -2 
+ Tại điểm O(0,0) ta có: 
 AC- B2 = (12.0-2)(1.0-2 )- 4= 0. 
Nên chưa có kết luận, để đưa ra được kết luận ta dựng định nghĩa để kiểm tra. 
Hàm ẩn và cực trị có điều kiện 
1. Hàm ẩn 
a. Định nghĩa: 
GV: ĐÀO THUY LINH 
Cho phương trình F(x,y)=0 (4.1) 
trong đó :F U R là hàm số xác định trên tập hợp 2U R 
.
Nếu tồn tại một hàm số :f I R xác định trên một khoảng 2I R 
sao cho , fx x U và , f 0F x x với mọi x I thì hàm số y = f(x) 
gọi là hàm số ẩn xác định bởi phương trình (4.1) 
Định lý.Giả sử F(x,y) xác định, liên tục, có các đạo hàm riêng 
liên tục trong một lân cận của điểm 0 0 0( ; )M x y thỏa mãn các điều kiện: 
'
0 0
' ( ; ) 0(x ; y ) 0, 0 0F x yF y 
Khi đó: 
- Phương trình (4.1) xác định một hàm số y=f(x) trong một lân cận V 
 của điểm x0 
- Tại x0 hàm y =f(x) nhận giá trị y0 với y0 = f(x0) 
- Hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trong lân cận V của điểm x0 
b. Đạo hàm của hàm ẩn. 
 Giả sử các giả thiết của định lí trên được thỏa mãn, khi đó phương trình 
 (4.1) xác định một hàm ẩn y=f(x), liên tục và có đạo hàm liên tục 
trong lân cận V của điểm x0.Trong lân cận đó : F(x,f(x))=0 
Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta 
có: 
𝐹′(𝑥) + 𝐹′(𝑦). 𝑦𝑥
′ = 0 
Vì 
' 0yF nên 
' '
'
' '
x x
x
y y
dy F F
y
dx F F
Ví dụ : Tinh đạo hàm của hàm ẩn 
2. Cực trị có điều kiện 
Gọi cực trị của hàm số: z = f(x, y) (4.2) với điều kiện g(x,y) = b (4.3) là cực trị có 
điều kiện. 
Nhận xét 
 Với điều kiện (4.3) miền biến thiên của (x, y) bị thu hẹp. 
Trương hợp 1 : Nếu từ (4.3) ta biểu diễn được y dưới dạng hàm hiện 
(trực tiếp) 
y = f(x) thì bài toán cực trị có điều kiện của hàm hai biến qui về 
bài toán cực trị không điều kiện của hàm số một biến số z =f[x,y(x)] = h(x) 
ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số 𝑧 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 (1) 
' ' . 0x y
dy
F F
dx
GV: ĐÀO THUY LINH 
với điều kiện 2𝑥 + 𝑦 = 10 (2) 
Giải : 
Từ (2) 𝑦 = 10 − 2𝑥 thay vào (1) ta có : 
 𝑧 = 𝑥(10 − 2𝑥) + 2𝑥 = −2𝑥2 + 12𝑥 → 𝑧′ = −4𝑥 + 12 
𝑧′ = 0 ↔ 𝑥 = 3 → 𝑦 = 4 
𝑧′′ = −4 < 0 hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 3, 𝑦 = 4 
Và giá trị cực đại 𝑧 = 18 
Trường hợp 2 : Nếu từ (4.3) ta chỉ biểu diễn được y dưới dạng ẩn y = f(x) 
thì bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến số sẽ được giải 
theo một trong hai phương pháp sau: 
Phương pháp 1:Chuyển bài toán tìm cực trị có điều kiện về bài toán tìm cực trị của 
hàm hợp một biến số 
+ Giả sử f(x,y); g(x,y) khả vi; h(x,y) = g(x,y) - b thoả mãn định lý 
về tồn tại hàm ẩn và y = y(x) là hàm ẩn được xác định bởi điều kiện (4.3). 
+ Khi đó bài toán tìm cực trị của hàm (4.2) và điều kiện (4.3) được 
đưa về bài toán tìm cực trị của hàm hợp một biến 
( ) ( , ( ))x f x y x (1) 
trong đó 
 h(x,y) = g(x,y) - b (2) 
'( ) ' ( , ) ' ( , ). ' 0x y xx f x y f x y y (3) 
 trong đó 
' ( , )
'
' ( , )
x
x
y
h x y
y
h x y
 (4) 
 Thay 4 vào 3 , khử y'(x) ta được 
' ( , ) ' ( , ) ' ( , ). ' ( , )
0 ' ( , ) ' ( , ) ' ( , ). ' ( , ) 0
' ( , )
x y y x
x y y x
y
f x y h x y f x y h x y
f x y h x y f x y h x y
h x y
 Tại (x,y) mà hàm số có thể đạt cực trị có điều kiện ràng buộc là 
( , ) 0
' ( , ) ' ( , ) ' ( , ). ' ( , ) 0x y y x
h x y
f x y h x y f x y h x y
Giải hệ này ta tìm được tọa độ các điểm dừng có điều kiện. 
Giả sử M(x0,y0) là điểm dừng có điều kiện tìm được từ hệ trên. 
Để có kết luận cuối cùng về điểm cực trị ta đi xét dấu của '' tại điểm M(x0,y0) 
Ví dụ 1: 
Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 với điều kiện 𝑥2 + 𝑦2 = 8. 
Biết rằng tại lân cận của các điểm cực trị điều kiện rằng buộc xác định 
GV: ĐÀO THUY LINH 
Một hàm ân 
Giải : 
𝑤(𝑥) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 8 
'( ) ' ( , ) ' ( , ). ' 0x y xx f x y f x y y 
= (2𝑥 − 2) + (2𝑦 − 2). (−
2𝑥
2𝑦
) = 0 
→
2(𝑥 − 𝑦)
𝑦
= 0 
Ta có hệ phương trình : {
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 8 = 0
Giải hệ ptr ta được 𝑀1(2 ; 2) ; 𝑀2(−2 ; −2) 
𝑤′′(𝑥) = 𝑓𝑥
′ + 𝑓𝑦
′. 𝑦𝑥
′ =
2(𝑥2 + 𝑦2)
𝑦3
Xét dấu của 𝑤′′ tại 𝑀1(2 ; 2) ; 𝑀2(−2 ; −2) 
𝑤′′(𝑀1) = 2 > 0 → hs đạt cực tiểu tại điểm 𝑀1. Gía trị cực tiểu 𝑧 = 
𝑤′′(𝑀2) = ⋯ . < 0 → hs đạt cực đại tại điểm 𝑀2. Gía trị cực tiểu 𝑧 = 
Phương pháp 2 (Phương pháp nhân tử Lagrange) 
Bản chất của phương pháp nhân tử Lagrange là đưa việc tìm cực trị có điều kiện 
ràng buộc của hàm hai biến sang tìm cực trị không điều kiện của hàm Lagrange. 
Qui tắc tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến 
Bước 1. Xuất phát từ hàm (4.2) và điều kiện (4.3) ta lập hàm Lagrange: 
L(x, y, ) = f(x, y) + [b-g(x, y)] 
trong đó biến  được gọi là nhân tử Lagrange. 
Định lý: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
Giả sử hàm 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 lân 
cận 
của 𝑀0(𝑥0, 𝑦0), 𝑔
′(𝑦) ≠ 0. Khi đó hàm số đạt cực trị tại 𝑀0(𝑥0, 𝑦0), 
 thì tồn tại , sao cho (x0, y0, 0) là nghiệm của hệ phương trình: 
GV: ĐÀO THUY LINH 
'
' ' '
' ' '
( , ) 0
0
0
x x x
y y y
L g x y
L f g
L f g



Bước 2. Tìm điểm dừng (nếu có) của hàm Lagrange, tức là nghiệm 
 (x0, y0, 0) của hệ phương trình: 
'
' ' '
' ' '
( , ) 0
0
0
x x x
y y y
L g x y
L f g
L f g



Định lý: Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
Giả sử hàm 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 lân cận 
của 𝑀0(𝑥0, 𝑦0), 𝑔
′(𝑦) ≠ 0. Ta có 
=
22212
12111
21
0
LLg
LLg
gg
H 
 =2 g1L12g2 – g22L11 – g12L22 
trong đó các đạo hàm riêng: 
1 0 0 2 0 0
2 2 2 2
11 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 21 22 0 0 02 2
( , ); ( , )
( , , ); ( , , ) ( , , ) L ; ( , , )
g g
g x y g x y
x y
L L L L
L x y L x y x y L x y
x x y y x y
   
 
 
   
     
Nếu H> 0 thì hàm số f(x, y) đạt giá trị cực đại tại điểm M0(x0, 
y0).
Nếu H< 0 thì hàm số f(x, y) đạt giá trị cực tiểu tại điểm 
M0(x0, y0). 
Bước 3: Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) và 
các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange 
GV: ĐÀO THUY LINH 
2 2
2 2 2 2
yx2 2
' ; '
'' ; '' L'' ; ''
x y
xyx y
g g
g g
x y
L L L L
L L L
x x y y x y
 
 
   
     
Bước 4. Tại điểm dừng có tọa độ (x0, y0, 0).Tính định thức 
22212
12111
21
0
LLg
LLg
gg
H = 2 g1L12g2 – g22L11 – g12L22 
trong đó các đạo hàm riêng: 
1 0 0 2 0 0
2 2 2 2
11 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 21 22 0 0 02 2
( , ); ( , )
( , , ); ( , , ) ( , , ) L ; ( , , )
g g
g x y g x y
x y
L L L L
L x y L x y x y L x y
x x y y x y
   
 
 
   
     
Bước 5. Xét dấu của Htại điểm dừng (x0, y0, 0) và đưa ra kết 
luận: 
Nếu H> 0 thì hàm số f(x, y) đạt giá trị cực đại tại điểm M0(x0, 
y0). 
Nếu H< 0 thì hàm số f(x, y) đạt giá trị cực tiểu tại điểm 
M0(x0, y0). 
Bài Tập 1: Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau: 
1. f(x, y) = xy + 2x với điều kiện 8x + 4y = 120. 
2. f(x, y) = 8x + 15y + 28 với điều kiện 2x2 + 3y2 = 107. 
 3.z =f(x,y)=2.x0.3.y0.5 với điều kiện 3x + y = 2400 
 4. f(x,y) = 12x+3y với điều kiện 3x0,5y0,5 = 150 (x > 0,y > 0) 
Giải 
Câu 1. Hàm Lagrange tương ứng: 
L = xy + 2x + (120 - 8x - 4y) 
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình sau: 
GV: ĐÀO THUY LINH 
2
14
8
04
082
048120
'
'
'



y
x
xL
yL
yxL
y
x 
Hàm lagrange có một điểm dừng là: (8,14,2) 
1. Tại điểm này ta có: 8x + 4y = g(x,y). 
g1 = g'x (8,14)= 8; g2 = g'y (8,14)= 4 
L11 = L’’x (8,14,2)= 0; L12 = L''xy (8,14,2) = L''yx (8,14,2) = 
L21=1; 
L22 = L''y(8,14,2) = 0 
0 8 4
8 0 1 64 0.
4 1 0
H 
Vậy hàm số đó cho đạt cực đại, giá trị CĐ: zCĐ = 128 khi x = 8; 
y = 14 
2. Hàm số Lagrange: 
L = 8x + 15y +28 + (107 - 2x2 - 3y2) 
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình sau: 
' 2 2
2 2
'
'
107 2 3 0 2 3 107
8 4 0 2 5
215 6 0
x
y
L x y x y
L x
x yL y




Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra y = 5
4
x 
Thay vào phương trình đầu ta được: 
2
2 252 3 107
16
x
x 
 32x2 + 75x2 = 16.107 
 x2 = 16 x = 4 
Với x = 4 y = 5;  = 0,5 
GV: ĐÀO THUY LINH 
Với x = - 4 y = -5;  = - 0,5 
Hàm Lagrange có hai điểm dừng: 
A1 = (4 ; 5 ; 0,5) và A2 = (-4 ; -5 ;-0,5). 
Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm Lagrange: 
g'x = 4x; g'y = 6y 
 L’'xx = - 4; L''xy = 0; L''yx = 0; L''yy = - 6 
Ta có: 
2
2
2 2 2 2
yx y
0 ' ' 0 4 6
' '' '' 4 4 0 144 96 (144 96 )
' '' '' 6 0 6
x y
x xyx
y
g g x y
H g L L x y x y x
g L L y
   

Tại điểm A1 ta có: H> 0 nên hàm số đạt cực đại zCĐ= 135. 
Tại điểm A2 ta có: H< 0 nên hàm số đạt cực tiểu zCT=-79. 
2. z =f(x,y)=2.x0.3.y0.5 với điều kiện 3x + y = 2400 
GIẢI: 
Hàm Lagrange tương ứng là: 
L(x,y, ) = 2.x0.3.y0.5 + [ 2400-3x-y ] 
 Tọa độ điểm dừng của hàm Lagrange là nghiệm của hệ phương trình: 
'
'
x
'
y
L 0
L 0
L 0

0,7 0,5
0,3 0,5
2400 3x y 0
0,6x y 3 0
x y 0
  
  
Giải hệ phương trình 0,7 0,5
0,3 0,5
3x y 2400 (1)
0,6x y
x y (2)
3
 
Từ (2) ta có: 0.2 y = x y = 5x 
Thay vào (1) ta có 
0,3 0,5
x 300
y 1500
(300) (1500) 
 
Điều kiện đủ: 
 Tính các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x, y) và các đạo hàm riêng cấp hai của 
hàm Lagrange: 
GV: ĐÀO THUY LINH 
'
xg 3 ;
'
yg 1 
2
'' 1,7 0,5
xL 0,42x y 0
 ; 2'' 0,3 1,5yL 0,5x y 0
 ; 
'' 0,7 0,5
xyL 0,3x y 0
 Tại x= 300 và y = 1500 thì 
2
''
11 xL L (300,1500) 0 
2
''
22 21yL L (300,1500) L 0 
''
12 xy 21L L (300,1500) L 0 
11 12 12 21 11 22 12 11 22
21 22
0 3 1
H 3 L L 3L 3L L 9L 6L L 9L 0
1 L L
 Vậy hàm số đạt giá trị cực đại khi 
x 300
y 1500
và ZCĐ
0,3 0,52.300 .1500 
4. f(x,y) = 12x+3y với điều kiện 3x0,5y0,5 = 150 (x>0,y>0) 
 Từ điều kiện 3x0,5y0,5= 150 (x>0,y>0) suy ra x0,5y0,5 = 50 
Lập hàm Lagrange: 
0,5 0,5( , , ) 12 3 50L x y x y x y  
Hệ phương trình của điều kiện cần là: 
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
' 50 0
L' 12 0,5 0
' 3 0,5 0
x
y
L x y
x y
L x y



0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
50 (1)
12 3
(2)
0,5 0,5
x y
x y
y x

Từ phương trình (2) suy ra: 4y x 
Thay vào phương trình (1) ta được: x = 25; 100; 12y  
Hàm Lagrange có một điểm dừng: (25;100,6)M 
 Các đạo hàm riêng cấp một của hàm g(x,y) và các đạo hàm riêng cấp hai của 
hàm Lagrange: 
2
2
0,5 0,5 0,5 0,5
1,5 0,5
0,5 0,5
y
0,5 1,5
' 0,5 y ; ' 0,5
'' 0, 25
'' '' 0, 25
'' 0, 25
x y
x
xy x
y
g x g x y
L x y
L L x y
L x y



Tại x = 25; 100; 12y  ta có: 
GV: ĐÀO THUY LINH 
2
2
0,5 0,5
1
0,5 0,5
2
11
12 y
22
' (25;100) 0,5.(25) (100) 0,5.2 1;
0,5
' (25;100) 0,5(25) (100) 0,25
2
'' ( ) 0,24
'' ( ) '' ( ) 0,06
'' ( ) 0,015
x
y
x
xy x
y
g g
g g
L L M
L L M L M
L L M
Suy ra: 
0 1 0,25
1 0,24 0,06 0,06 0
0,25 0,06 0,015
H 
 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M(25; 100) và zCT = 600 
Bài 6: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
TRONG MỘT MIỀN ĐÓNG VÀ BỊ CHẶN 
 Ta có mọi hàm số hai biến liên tục trong một miền đóng bị chặn D đều 
đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền ấy. Hàm số đạt giá trị lớn nhất 
 hay nhỏ nhất tại một điểm trong D, nhưng cũng có thể đạt giá trị lớn nhất hay 
nhỏ nhất tại một điểm trên biên của D. 
 Do đó, muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) 
trong miền đóng bị chặn D ta thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Tìm các điểm dừng của hàm f(x,y) trong miền D và tính giá trị của f 
 tại các điểm đó. 
Bước 2: Tìm điểm dừng của hàm số f(x,y) trên biên của D; tính giá trị của f 
 tại các điểm đó và tại các đầu mút ( nếu có) 
Bước 3: Giá trị lớn nhất trong các số tìm được của bước 1 và bước 2 
 chính là giá trị lớn nhất; còn giá trị nhỏ nhất trong các 
 số đó là giá trị nhỏ nhất cần tìm. 
Bài tập .Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: 
Câu 1: z = 2x2 + 2y2 + (x - 1)2 + (y- 1)2 
 trong miền tam giác OAB với O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1) 
Câu 2: 
22222 )12(138 yxyxz 
 trong miền đóng D xác định bởi: 1yx 22 
Câu 3: 
2 2( , ) 4 6z f x y x y x y 
 trong miền 50;40),(
2 yxRyxD 
GV: ĐÀO THUY LINH 
Câu 4: z = x2 + y2 trên miền 2 2 2
3
( , )
4
D x y R x x y
Giải 
CÂU 1. Vì z = 2x2 + 2y2 + (x - 1)2 + (y- 1)2 liên tục với mọi x, y nên hàm số z đạt 
giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền tam giác OAB. 
Xét trong miền tam giác OAB 
Hình 4 
Ta có: z’x = 6x – 2, z’y = 6y - 2 
Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình: 
3
1
yx
02y6
02x6
Vậy ta có 1 điểm dừng là: N (
3
1
,
3
1
) trong tam giác OAB và z(N) = 
3
4
Xét các giá trị của z trên biên: 
+ Trên cạnh OA có: 
y = 0; z = 2x2 + (x-1)2 + 1 và (0,1)x suy ra z’x = 6x - 2 khi x = 1/3. 
 Vậy trên cạnh OA có một điểm dừng M1(
3
1
; 0) và z ( M1) = 
3
5
+ Trên cạnh OB có: 
x = 0; z = 2y2 + (y-1)2 + 1 và (0,1)y suy ra z’y = 6y -2 = 0 khi y = 1/3. 
 Vậy trên cạnh OB có một điểm dừng M2(0; 
3
1
) và z(M2) = 
3
5
+ Trên cạnh AB có: 
y = 1- x, z = 3x2 + 3(x-1)2 và (0,1)x 
suy ra z’x=12x - 6 = 0 khi x =
2
1
 Vậy trên cạnh AB có một điểm dừng M3(
2
1
;
2
1
) và z(M3) = 
2
3
- Xét các giá trị của z tại các đỉnh O, A, B. 
Ta có z(O) = 2; z(A) = 3; z(B) = 3 
O 
x 
y 
A 
B 
GV: ĐÀO THUY LINH 
 So sánh tất cả các giá trị tại các điểm dừng trong miền tam giác, trên các cạnh và 
tại các đỉnh của tam giác OAB ta thấy: 
* Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại A và B: M = max ( , ) 3
D
f x y 
* Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại N(
3
1
;
3
1
) và: 
4
min ( , )
3D
m f x y 
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN 
22222 )12(138 yxyxz trong 
miền đóng D xác định bởi: 1yx
22 
GIẢI : 
Vì 22222 )12(138 yxyxz liên tục với mọi x, y nên hàm số z 
đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D. 
 Miền D được xác định bởi: 1yx 22 
Hình 5 
 + Xét các giá trị của z trong miền biên D. 
Ta có: 
)241(22)12(26
)21(84)12(216
2222
2222
yxyyyxy
y
z
yxxxyxx
x
z




Điểm dừng của hàm số là nghiệm của phương trình: 
)2(0)241(2
)1(0)21(8
0
0
22
22
'
'
yxy
yxx
z
z
y
x
GV: ĐÀO THUY LINH 
)3(
12
0
)1(
22 
yx
x
)4(
124
0
)2(
22 
yx
y
x = 0 thay vào (4) 
2
1
0,0
y
yx
y = 0 thay vào (3) 
2
1
0,0
x
yx
 Hệ 
2 2
2 2
2 1
4 2 1
x y
x y
 vô nghiệm 
Vậy ta có 5 điểm dừng là: 
)0,
2
1
();0,
2
1
();
2
1
,0();
2
1
,0();0,0(
4321
AAAAO 
Cả 5 điểm này đều nằm trong miền D 
Giá trị của z tại các điểm đó: 
z(O) = 0 ; z(A1) = z(A2) = 
4
1
 ; z(A3) = z(A4) = 1 
+ Xét các giá trị của z trên biên D. 
Trên biên D: x2 + y2 = 1 y2 = 1- x2 
Ta có : 
22222 )12(138 yxyxz 
 z = 8x2 + 3(1 - x2) + 1 - (2x2 + 1 - x2 +1 )2 = -x4 + x2 = x2(1 - x2) 
𝑧𝑥
′ = −4𝑥3 + 2𝑥 = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = ±
1
√2
 Ta phải tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng trên đoạn x1 1 
 Tại 0x thì (0) 0z 
 Tại 
2
1
 x thì 
1 1
( )
42
z 
So sánh tất cả các giá tại các điểm dừng trong miền D, trên biên của D ta thấy : 
* Hàm số z đạt giá trị nhỏ nhất m min ( , ) 0
D
f x y tại 
O(0, 0); 
GV: ĐÀO THUY LINH 
* Hàm số z đạt giá trị lớn nhất max ( , ) 1
D
M f x y tại )0,
2
1
(A);0,
2
1
(A
43
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2 2( , ) 4 6z f x y x y x y 
trong miền 50;40),(
2 yxRyxD 
Giải: 
Vì
2 2( , ) 4 6z f x y x y x y liên tục với mọi x, y nên hàm số z đạt giá trị lớn 
nhất 
M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D. 
 Miền D được xác định bởi: 
 50;40),( 2 yxRyxD 
Hình 6 
Trong miền D: 
Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình 
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x 4 2 0 2
6 2 0 3
x x
y y
trong miền D hàm số có một điểm dừng M1(2;3) và f(2;3) = 13 
Trên biên của D: 
+ Trên cạnh x = 0 
 Hàm số 
2264),( yxyxyxf trở thành 
26),0( yyyf với y )5;0( 
Điểm dừng là nghiệm của phương trình 326),0(
, yyyf y 
Giá trị hàm số tại M2( 0;3) là f(0;3) = 9 
+ Trên cạnh x = 4 
 Hàm số 
2264),( yxyxyxf trở thành 
26),4( yyyf với y )5;0( 
 Điểm dừng là nghiệm của phương trình 
, (4, ) 6 2 3yf y y y 
 Giá trị hàm số tại M3( 4;3) là f(4;3) = 8 
O 
y=5 
x 
y
y 
x=4 
GV: ĐÀO THUY LINH 
+ Trên cạnh y = 0 
 Hàm số 
2264),( yxyxyxf trở thành 
24)0,( xxxf với x )4;0( 
 Điểm dừng là nghiệm của phương trình 224)0,(
, xxxfx 
 Giá trị hàm số tại M4( 2;0) là f(2;0) = 4 
+ Trên cạnh y = 5 
 Hàm số 
2264),( yxyxyxf trở thành 
254)5,( xxxf với x )4;0( 
Điểm dừng là nghiệm của phương trình 224)5,(, xxxfx 
 Giá trị hàm số tại M5( 2;5) là f(2;5) = 9 
+ Giá trị của hàm số tại các đỉnh 
f(0,0)= 0; f(4;0) = 0; 5)5,0( f ; 5)5,4( f 
Kết luận: 
 So sánh tất cả giá trị tại các điểm dừng trong miền D, trên biên của D và 
các đỉnh của D ta có: 
13),(max yxf
D
 tại M1(2;3) 
0),(min yxf
D
 tại O( )0;0 và A(4;0) 
CÂU 4. z = x2 + y2 trên miền 2 2 2
3
( , )
4
D x y R x x y
Do 2 2 2
1
( , ) ( ) 1
2
D x y R x y
 là một miền đóng và bị chặn và z=f(x,y) là 
hàm liên tục trên D nên z có cực trị trên D 
* Trong miền D 
Điểm dừng của hàm số là nghiệm của hệ phương trình 
0),(
0),(
'
'
yxf
yxf
y
x 2 0 0
2 0 0
x x
y y
do O(0,0) thỏa mãn điều kiện 2 2 3
4
x x y nên trong miền D hàm số có một điểm 
dừng O(0,0) và f(0,0) = 0 
* Trên miền D: 
2 2 3
4
x x y 
Để tìm điểm dừng trên biên D, ta xét bài toán tìm cực trị có điều kiện 
Hàm Lagrange tương ứng: 
L = x2+y2 + (3/4 - x2+x - y2) 
GV: ĐÀO THUY LINH 
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình sau: 
' 2 2
'
'
3
0
4
2 (1 2 ) 0
2 2 0
x
y
L x x y
L x x
L y y



Nếu 0y thì 1 , lúc này phương trình theo x vô nghiệm 
Vậy phải có y = 0 ứng với 
3
2
x hoặc 
1
2
x 
Tóm lại, trong miền D hàm số có hai điểm dừng 
3
( ,0)
2
A và 
1
( ,0)
2
B 
Giá trị của hàm số tương ứng là: 
9
( )
4
f A ; 
1
( )
4
f B 
So sánh giữa các giá trị của hàm số 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tại các điểm dừng 
trong và trên biên của D, ta có 
3 9
max ( , ) f( ,0)
2 4D
f x y 
min ( , ) f(0,0) 0
D
f x y