Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề ôn thi theo các mức điểm - Đối tượng học sinh giỏi mức 9-10 điểm (Có lời giải)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ
 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho là số thực dương, . Biết bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Số thuộc tập hợp nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Ta có: với thì 
Ta sẽ tìm để đường thẳng nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
Có 
Phương trình tiếp tuyến 
Vậy để đường thẳng nhận làm tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì 
Thử lại ta sẽ chứng minh 
Có 
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra 
 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn . Giá trị của xấp xỉ bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Từ giả thiết .
Đặt .
Ta được bất phương trình: .
.
Đặt .
, .
Vậy là hàm số nghịch biến trên . Và ta lại có.
Từ .
Suy ra mà là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra .
Vậy .
 (Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình có nghiệm với mọi 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đk: .
Ta có: 
Xét hàm trên . Ta có 
Bảng biến thiên:
Để phương trình có nghiệm với mọi ta phải có .
 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Gọi là tổng tất cả các giá trị nguyên của để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thuộc . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi khi và chỉ khi các bất phương trình đúng với mọi
.
Xét .
+ Khi ta có trở thành . Do đó không thỏa mãn.
+ Khi ta có đúng với mọi 
 .
Xét .
+ Khi ta có trở thành . Do đó không thỏa mãn.
+ Khi ta có đúng với mọi 
 .
Từ và ta có . Do nên . Từ đó .
(Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Bpt: 
Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi 
Ÿ Trường hợp 1: 
Vậy không thỏa yêu cầu bài toán.
Ÿ Trường hợp 2: 
Vậy không thỏa yêu cầu bài toán.
Ÿ Trường hợp 3: 
Khi đó: 
Do nên .
Cách 2:
 (*)
Xét hàm số trên .
Bảng biến thiên
Vậy đk (*) 
Do nên .
 (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình có nghiệm.
A. .	B. .
C. .	D. Không tồn tại .
Lời giải
Chọn A
Điều kiện .
Phương trình tương đương
Khi đó ta có
Ta có
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn .
 (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta thấy 
Do đó bất phương trình .
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi 
 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập tất cả các giá trị thực của số để tồn tại duy nhất cặp số thỏa mãn và .
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy với mọi nên:
 (*).
Khi thì (*). Cặp không là nghiệm của phương trình .
Khi , tập hợp các điểm thỏa mãn (*) là hình tròn tâm , bán kính là . Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm để đường tròn tâm , bán kính và hình tròn tâm , bán kính có đúng một điểm chung (hình vẽ)
Điều này xảy ra khi (thỏa mãn ).
Vậy .
 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình .
Đặt , vì .
Bất phương trình trở thành .
Đặt với .
Bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng khi và chỉ khi bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
Ta có .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng khi và chỉ khi .
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình thỏa mãn với mọi . Tính tổng các giá trị trong tập hợp S.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt . Ta có liên tục, có đạo hàm trên và .
Bất phương trình đã cho viết thành . Giả sử có đồ thị là (C).
 với mọi khi và chỉ khi đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox.
Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là . Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía dưới trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) tại .
Suy ra, .
Với ta có bất phương trình đã cho trở thành .
.
Bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên ta có . Suy ra thỏa mãn điều kiện.
Với ta có bất phương trình đã cho trở thành .
Ta có .
Suy ra . Bảng biến thiên của hàm số như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có . Suy ra thỏa mãn điều kiện.
Vậy .
 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng ?
A. .	B. .	C. .	D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Xét , có 
Do đó .
Xét , có .
Do đó .
Do và nên ta được tập các giá trị của là .
Vậy có tổng cộng giá trị của thỏa yêu cầu bài toán.
 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi là giá trị nhỏ nhất để bất phương trình
 có nghiệm. Chọn đáp án đúng trong các khẳng định sau
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
+ Điều kiện xác định: .
+ Với điều kiện trên bất phương trình:
 .
+ Ta thấy các nghiệm của trong khoảng luôn thỏa mãn .
+ Đặt với .
Xét với .
.
.
Bảng biến thiên:
Suy ra khi thì .
+ Ta có .
+ trở thành .
+ có nghiệm có nghiệm .
+ Xét hàm số trên .
Bảng biến thiên:
+ Do đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
Suy ra .
 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong đó là các số nguyên thoả mãn điều kiện với là tham số. Có bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn để tập có không quá phần tử?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn C
 Để bất phương trình có 5 phần tử thì 
Vậy có 2021 số nguyên thuộc đoạn để tập có không quá phần tử.
 (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho bất phương trình . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 
A. .	B. .	C. .	D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định .
Khi đó 
.
Khi đó .
Vậy có giá trị nguyên của thỏa 
 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Điều kiện: 
.
Đặt .Vì nên . Do đó 
 thành 
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm để bpt (2) có nghiệm thuộc .
Xét bất phương trình (2) có: .
 có nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Khi đó cần .
Cách 2: 
Khảo sát hàm số trong ta được .
 (Chuyên Vinh - 2018) Gọi là số thực lớn nhất để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Đặt suy ra 
Bất phương trình 
Trường hợp 1: khi đó luôn đúng với mọi .
Trường hợp 2: 
Ta có 
Xét hàm số do đó 
Trường hợp 3: 
Ta có 
Xét hàm số .
Xét hàm số 
Vậy có tối đa một nghiệm.
Vì vậy có duy nhất một nghiệm trên 
Do đó có duy nhất một nghiệm là . Khi đó suy ra 
Bảng biến thiên
Vậy .
Vậy .
Vậy số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử là tập nghiệm của bất phương trình . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Điều kiện: 
.
.
· Giải hệ (I).
Giải .
Xét hàm số với 
Ta có .
Lập bảng biến thiên
Vậy .
Xét bất phương trình (2): 
.
Vậy nghiệm của hệ là .
· Hệ vô nghiệm.
Vậy .
.