Đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Luyện các bài toán ứng dụng

LUYỆN CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km	B. 6km	C. 0km	D.9km
Hướng dẫn giải
Đặt 
Chi phí xây dựng đường ống là 
Hàm , xác định, liên tục trên và 
; ; 
Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt .
Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là: 
Thời gian đi bộ đi bộ đến là: 
Thời gian từ đến kho 
Khi đó: , cho 
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi 
Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.
A: 40km 	B: 45km 	C: 55km 	D: 60km
Hướng dẫn giải
Gọi 
Ta có 
Chi phí mắc dây điện: 
Khảo sát hàm ta được: . Chọn B.
O
A
C
B
1,4
1,8
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( gọi là góc nhìn)
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = 
= = = 
Xét hàm số f(x) = 
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có
0
f(x)
+ 
2,4
+
_
0
0
0
x
f'(x)
f'(x) =, f'(x) = 0 x = 2,4
Ta có bảng biến thiên
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
A
B
C
D
E
h
Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1< v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
A
C
D
E
h
a
B
Thời gian t là: t = = =
= = 
A
B
A1
B1
d
Xét hàm số . Ứng dụng Đạo hàm ta được nhỏ nhất khi . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho .
Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
A
B
A1
B1
d
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2
Suy ra d = d(t) = .
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
khi (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý.
Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng
Cho hình chữ nhật có diện tích bằng . Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A.	B.	C.	D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: và 
Chu vi hình chữ nhật là: 
Theo đề bài thì: hay . Do đó: với 
Đạo hàm: . Cho .
Lập bảng biến thiên ta được: khi .
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy: 
Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A.	B.	C.	D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và 
Diện tích miếng đất: 
Theo đề bài thì: hay . Do đó: với 
Đạo hàm: . Cho .
Lập bảng biến thiên ta được: khi .
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.
Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo bài ra ta có . Diện tích của miếng đất là .
Ta có: 
Dấu xảy ra .
Vậy khi .
x
y
Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
A.	B.
C.	D.
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy; . Xét hàm số . Ta có = + 1 = .
= 0 , khi đó y = = .
Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là , y = thì mương có dạng thuỷ động học.
2x
S1
S2
Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là ( chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
A. chiều rộng bằng, chiều cao bằng
B. chiều rộng bằng, chiều cao bằng 
C. chiều rộng bằng, chiều cao bằng 
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là . Diện tích cửa sổ là:
.
Dễ thấy lớn nhất khi hay .(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh Parabol)
Vậy để thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng; chiều rộng bằng
y
x
x
Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là sao cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế nào?
A.	B.
C.	D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi là bán kính hình quạt, là độ dài cung tròn. Ta có chu vi cánh diều là . Ta cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính sao cho diện tích quạt lớn nhất. Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là và độ dài cung tròn, ta có diện tích hình quạt là: . Vận dụng trong bài toán nàydiện tích cánh diều là: .
Dễ thấy cực đại . Như vậy với chu vi cho trước, diện tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn.
Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu?
A. .	B. . 	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Kí hiệu cạnh góc vuông 
Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vuông kia là 
Diện tích tam giác ABC là: . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên khoảng 
Ta có 
Lập bảng biến thiên ta có:
Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi Từ đó chọn đáp án C
Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.
A. 	B. 	C.	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn .
Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: 
Diện tích hình chữ nhật: 
Ta có 
. Suy ra là điểm cực đại của hàm .
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: 
Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của trục tọa độ Oxy , nội tiếp dưới đường cong y=e-x. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng cách lập trình trên
A. 0,3679 ( đvdt) 	B. 0,3976 (đvdt)
C. 0,1353( đvdt) 	D 0,5313( đvdt)
Hướng dẫn giải
Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S = xe-x
Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = khi x=1
Đáp án A
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 7 	B. 5 	C. 	D. .
Hướng dẫn giải
Ta có nhỏ nhất lớn nhất.
Tính được (1)
Mặt khác đồng dạng nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Biểu thức nhỏ nhất . Vậy đáp án cần chọn là C.
Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích
(ĐMH)Có một tấm nhôm hình vuông cạnh Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm để hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: Diện tích đáy của cái hộp: .
Thể tích cái hộp là: với 
Ta có: Cho , giải và chọn nghiệm 
Lập bảng biến thiên ta được khi 
Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng . Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A. 	B. 	C.	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi là chiều cao của hố ga (). Ta có 
suy ra thể tích của hố ga là : 
Diện tích toàn phần của hố ga là:
Khảo sát hàm số suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng khi
Suy ra diện tích đáy của hố ga là 
Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính , chiều dài để được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta có: (đường kính của thân cây là ). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại, nghĩa là khi cực đại. Ta có: Dấu xảy ra khi .
Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: (tiết diện là hình vuông).
Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:
Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài là , khi đó chiều còn lại là , giả sử quấn cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là Ta có: 
Xét hàm số: 
Lập bảng biến thiên, ta thấy lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B
Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. và 	B. và 
C. và 	D. và 
Hướng dẫn giải
Đổi . Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là và .
Ta có thể tích thùng phi 
Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm để diện tích toàn phần bé nhất.
Đạo hàm lập BBT ta tìm đc GTNN tại , khi đó 
Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng
A. cm	B. cm	C.cm	D. cm
Hướng dẫn giải
Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức .
Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = .
Thể tích của khối nón: .
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi 
(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn)
Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A. 	 B. C.	 D. 
Hướng dẫn giải
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau:
Gọi là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
Khi đó 
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là 
Thể tích khối nón sẽ là : 
Đến đây các em đạo hàm hàm tìm được GTLN của đạt được khi 
Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là : 
Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức (là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) . Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là
A. 1m	B. 1,2m	C. 1.5 m	D. 2m
Hướng dẫn giải
Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ)
Ta có và , suy ra cường độ sáng là: .
Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó 
Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2017 , ông A quyết định mua tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có đáy hình vuông và không có nắp . Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp , biết rằng độ dạy lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau . Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là . Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của phải là ?
A. 	B. 	C. 	 D. 
Hướng dẫn giải
Ta có , để lượng vàng cần dùng là nhỏ nhất thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có
, 
Chọn đáp án B
Một người có một dải ruy băng dài 130cm, người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là là nhiêu ?
A. 	B. 	C.	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều của hình trụ .
Dải dây duy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 
Ta có 
Thể tích khối hộp quà là: 
Thể tích V lớn nhất khi hàm số với đạt giá trị lớn nhất.
, cho 
Lập bảng biến thiên, ta thấy thể tích đạt giá trị lớn nhất là .
Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:
Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1
Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.
Khi đó, tỉ số là:
A. 3	B. 2	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
.Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 
. Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 
Vậy đáp án là A.
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N .Gọi là thể tích của khối chóp . Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt khi đó ta có : 
Ta có : 
Lại có : 
Từ (1) và (2) suy ra : do 
Từ (2) suy ra 
Khảo sát hàm số 
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa với mặt phẳng bằng Gọi là điểm di động trên cạnh và là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng Khi điểm di động trên cạnh thì thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng?
A. 	B. 	C.	D. 
Hướng dẫn giải
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là 
Trong tam giác SBC có 
Trong tam giác SAB có 
Thể tích khối chóp S.ABH là: 
Ta có và theo bất đẳng thức AM-GM ta có
Đẳng thức xảy ra khi 
Khi đó 
Nhóm 4: Bài toán lãi suất ngân hàng
Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu.
A. 8	B. 9	C. 10	D.11
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03
Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là: 
.
Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.
Ông Năm gửi triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất một quý trong thời gian tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất một tháng trong thời gian tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
A. triệu và triệu.	B. triệu và triệu.
C. triệu và triệu. 	D. triệu và triệu.
Hướng dẫn giải
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là triệu đồng. Gọi (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.
Theo giả thiết ta có: 
Ta được . Vậy ông Năm gửi triệu ở ngân hàng X và triệu ở ngân hàng Y.
Đáp án: A.
Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).
A. 50 triệu 730 nghìn đồng	B. 48 triệu 480 nghìn đồng
C. 53 triệu 760 nghìn đồng	D. 50 triệu 640 nghìn đồng
Hướng dẫn giải
Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả vốn lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là: (triệu đồng).
Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: (triệu đồng)
......................................................
Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng).
Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: (50 triệu 730 nghìn đồng). Đáp án A.
Một Bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20.000.000 (đồng) .Do chưa cần dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8.5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng Bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi .Biết rằng Bác nông dân đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0.01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là . Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ hạn) , số tiền cả vốn lẫn lãi Bác nôn dân nhận được là : .Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền A được tính lãi suất không kỳ hạn trong 60 ngày là :
. Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận được là
Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi suất là:
A. 0,4%	B. 0,3%	C. 0,5%	D. 0,6%
Hướng dẫn giải
. Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3 tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền khi đó là: 
. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B tháng khi đó số tiền là: 
. Lưu ý: và B nguyên dương, nhập máy tính: thử với rồi thử B từ 1 đến 5, sau đó lại thử rồi thử B từ 1 đến 5, ... cứ như vậy đến bao giờ kết quả đúng bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Kết quả: chọn C
Nhóm 5: Bài toán liên quan đến mũ, loga
Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị nào sau?
A. 82135	B. 82335	C. 82235	D. 82435
Hướng dẫn giải
Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 = Þ r »-0,000028
Þ Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e-0,000028t
Theo giả thiết: 1 = 10. e-0,000028tÞ t » 82235,18 năm
Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: , trong đó là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu?
A.	B. 	C. D. 
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có:
suy ra 
Đáp án: A.
Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: , trong đó là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?
A.2378 năm	B. 2300 năm	C. 2387 năm	D. 2400 năm
Hướng dẫn giải
Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là , tại thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có:
(năm)
Đáp án: A.
Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.
A.	333	B. 343	C. 330	D. 323
Hướng dẫn giải
Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:
Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:
Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là:
Đáp án: A.
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức , trong đó . là số lượng vi khuẩn ban đầu, là tỷ lệ tăng trưởng , (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần
A. (giờ)	B. (giờ)	C. (giờ)	D. (giờ)
Hướng dẫn giải
thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e10r nên r = .
Do đó, 10000 = 1000. ert suy ra t = giờ nên chọn câu C.
Nhóm 6: Bài toán ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo hàm-nguyên hàm
Một vật di chuyển với gia tốc . Khi thì vận tốc của vật là . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
A..	B..	C..	D..
Hướng dẫn giải
Ta có . Theo đề ta có . Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:
.
Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
A. 2m	B.3m 	C.4m	D. 5m
Hướng dẫn giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)
Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là 
Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)
Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là :
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .
A. 10 m/s B. 12 m/s 	C. 16 m/s 	D. 8 m/s.
Hướng dẫn giải
Ta có (m/s).
Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) .
Vậy vận tốc của vật sau 2s là: (m/s).
Đáp án B.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)
A: 	B: 	C: 	D: 
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)
Gọi Parabol trên có phương trình (): (do (P) đi qua O)
là phương trình parabol dưới
Ta có ) đi qua I và A 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với là phần giới hạn bởi trong khoảng 
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
 số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu 
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần bê tông. Chọn đáp án C
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)
Hình 1 Hình 2
Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình : 
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ,
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là (xem hình).
Dễ thấy và khi đó suy ra thể tích hình nêm là : 
Nhóm 7: Bài toán kinh tế
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Gọi là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ . Khi đó :
Cân nặng của một con cá là : 
Cân nặng của con cá là : 
Xét hàm số : . Ta có : , cho 
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là con.
Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là hành khách. Nếu một chuyến xe chở hành khác thi giá cho mỗi hành khách là . Chọn câu đúng:
A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.
B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .
C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .
D. Không có đáp án đúng.
Hướng dẫn giải
Số tiền thu được là : 
Đạo hàm,lập bảng biến thiên ta tìm được GTLN của là khi 
Vậy lợi nhuận thu được nhiều nhất là khi có hành khách.
Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (, đơn vị: cái )
Số lượng ti vi trung bình gởi trong kho là nên chi phí lưu kho tương ứng là 
Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt hàng là : 
Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là: 
Lập bảng biến thiên ta được : 
Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi , đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới. Khi đó:
Số tiền đã giảm là: Số lượng xe tăng lên là: 
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: 
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:
 Doanh thu – Tiền vốn
Cho 
Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi Vậy giá bán mới là (triệu đồng)
Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống.Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? (đồng/tháng)
A. 2 250 000	B. 2 450 000	C. 2 300 000	D. 2 225 000
Hướng dẫn giải
Gọi (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi căn hộ. ()
Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ).
Khi đó, số tiền công ti thu được là:
(đồng/tháng).
Khảo sát hàm số trên .
.
.
Bảng biến thiên
x
0 250 000 
T’
0 
T
2 250 000
Do đó .
Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê một căn hộ mỗi tháng là 2 250 000 đồng.
Đáp án A
TỔNG HỢP
GV: Trần Tiến Đạt
BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích (cm3) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là.
A..	B. .
C..	D. 
Hướng dẫn giải:
Gọi R1 là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h1 là chiều cao của hình nón lúc đầu.
Gọi R2 là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h2 là chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.
Ta có: 
Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: 
Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích: 
Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: 
Hình 1
Hình 2
 Cho một tấm tôn hình tròn có diện tích 4π dm2. Người ta cắt thành một hình quạt có góc ở tâm là α ( ) như Hình 1 để làm thành một cái gầ