Đề kiểm tra kiến thức đội tuyển học sinh giỏi lần 1 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Liên trường THPT Vĩnh Lộc-Thạch Thành

	ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG LẦN 1 
LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
	NĂM HỌC 2020 -2021
Môn: Toán - Lớp 12 THPT 
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra: 08 tháng 11 năm 2020
 (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)
Câu I(4 điểm). 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2. Tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu II(4 điểm).
1. Giải phương trình lượng giác: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III(4 điểm).
1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai mũ.
2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức . Trong đó, là số lượng vi khuẩn ban đầu, là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian (phút), là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có con và sau giờ có con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt con ?
Câu IV(6 điểm).
1. Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác vuông với và A’ cách đều các đỉnh Gọi lần lượt là trung điểm của Trên các đoạn lần lượt lấy sao cho Tính thể tích khối tứ diện biết 
2. Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều có cạnh bằng . Bạn cắt mảnh tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn nguyên liệu (với , thuộc cạnh ; , tương ứng thuộc cạnh và ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng . Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được.
3. Cho hình chóp có , , là điểm bất kì trong không gian. Gọi là tổng khoảng cách từ đến tất cả các đường thẳng , , , , , . Tính giá trị nhỏ nhất của .
Câu V(2 điểm). 
 Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
...HẾT...
HDC CHÍNH THỨC
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC ĐỘI TUYỂN HSG 
LIÊN TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC - THẠCH THÀNH
NĂM HỌC 2020 -2021
Môn: Toán - Lớp 12 THPT 
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra:08 tháng 11 năm 2020
 (Đáp án gồm có 09 trang, 05 câu)
Qui định chung
+) Tổng điểm của bài thi được làm tròn đến 0.25 điểm.
+) Học sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng cho điểm tối đa từng phần theo qui định.
+) Nếu bài hình nào không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không được chấm điểm bài đó.
Câu
Nội Dung
Điểm
I
(4đ)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2đ
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
+) Giới hạn và tiệm cận: đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,5
+) Chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên các khoảng và 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
0,5
ng biến thiên:
0,5
 Đồ thị: 
+)Nhận điểm uốn I(0; -2) làm tâm đối xứng.
+) Cắt Ox tại điểm , cắt Oy tại điểm
 Đồ thị như hình vẽ 
0,5
 2. Tìm giá trị của tham số để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2đ
Nhận thấy số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là số nghiệm của phương trình 
Điều kiện: .
Đặt , ta có hệ 
0,5
Từ , thay vào phương trình còn lại của hệ ta được 
.
Do nên .
Với cách đặt ta suy ra với mỗi giá trị có một và chỉ một giá trị tương ứng.
0,5
Xét hàm số trên , ta có
; 
Bảng biến thiên :
0,5
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
0,5
II
(4đ)
III
(4đ)
IV
(6đ)
1.Giải phương trình: 
2đ
Điều kiện 
0,25
Phương trình đã cho tương đương với: 
0,5
0,5
+) 
+) 
0,5
Đối chiếu điều kiện, ta có các nghiệm của phương trình đã cho là:
 và (với )
0,25
2. Giải hệ phương trình: 
2đ
ĐK:
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
 PT (1) 
 (3)
0.5
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t., t > 0.
Ta có: f’(t) = 1 + >0. Suy ra luôn đồng biến trên (0,+∞)
PT (3) 3y = 
0.25
Với thay vào (2) ta được: 
Điều kiện có nghiệm .
 .
.
0.5
.
 trên miền 
Xét .
 đồng biến.
 (nhận).
0.5
 Với 
 Với 
Vậy .
0.25
1. Bốn người khách cùng ra khỏi quán và bỏ quên mũ. Chủ quán không biết rõ chủ của những chiếc mũ đó nên gửi trả cho họ một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để cả bốn người cùng được trả sai mũ.
2đ
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi biến cố Cả bốn người cùng được trả sai mũ.”
Có ít nhất 1 người trong bốn người được trả đúng mũ.”
0.5
+) TH1: Cả bốn người cùng được trả đúng mũ có: 1 cách.
0.25
+) TH2: Chỉ có một người được trả đúng mũ có: 
Chọn 1 người trong 4 người để trả đúng mũ có: cách.
Ba người còn lại trả sai mũ có: 
Theo quy tắc nhân có: 4x2=8 cách.
0.5
+)TH3: Chỉ có đúng 2 người được trả đúng mũ có: cách.
0.25
Theop quy tắc cộng: .
0.25
Vậy 
0.25
2. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức . Trong đó, là số lượng vi khuẩn ban đầu, là số lượng vi khuẩn có được sau thời gian (phút), là tỷ lệ tăng trưởng không đổi theo thời gian và là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có con và sau giờ có con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt con ?
2 đ
Ta có 
0.5
Ta lại có:
0.5
(giờ).
0.5
 Để số lượng vi khuẩn đạt con thì cần giờ để 500 con vi khuẩn ban đầu tăng trưởng. 
0.5
1. Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác vuông với và A’ cách đều các đỉnh Gọi lần lượt là trung điểm của Trên các đoạn lần lượt lấy sao cho Tính thể tích khối tứ diện biết 
2đ
Gọi E là trung điểm AN, ta có ME//AB//LK 
ta cũng có 
0.5
+) Do và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
nên 
mà 
0.5
+) Ta có , do L là trung điểm BC.
0.5
+) Vì 
 Vậy 
0.5
2. Bạn An muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều có cạnh bằng . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật từ mảnh tôn nguyên liệu (với , thuộc cạnh ; , tương ứng thuộc cạnh và ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng . Tính thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn An có thể làm được.
2đ
Gọi là trung điểm . Suy ra là trung điểm . Đặt , .
Ta có: ; gọi là bán kính của trụ 
0.5
Thể tích của khối trụ là: 
0.5
Xét với .
, .
0.5
Khi đó suy ra Khi đó suy ra 
0.5
3. Cho hình chóp có , , là điểm bất kì trong không gian. Gọi là tổng khoảng cách từ đến tất cả các đường thẳng , , , , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
2đ
Ta có khối chóp là khối chóp tam giác đều. 
Gọi là trọng tâm tam giác . Khi đó là chiều cao của khối chóp .
Gọi ,,lần lượt là trung điểm của ,, và ,, lần lượt là hình chiếu của ,, trên ,,. 
Khi đó ,,tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh và , và , và .
Ta có . Do đó nên .
Suy ra (cùng song song với ). Do đó bốn điểm ,,, đồng phẳng. 
Tương tự ta có bộ bốn điểm ,,, và ,,, đồng phẳng.
0.5
Ba mặt phẳng ,, đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến , , . Suy ra ,, đồng quy tại điểm thuộc .
Xét điểm bất kì trong không gian.
Ta có .
0.5
Do đó nhỏ nhất bằng khi .
Ta có , , , .
0.5
Suy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là .
0.5
V.
 Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
2đ
Ta có . Mặt khác a, b, c ³ 1 nên 5 £ a + b + c + 2 £ 8.
Ta CM: (1).	 
 (2)
Vì a ³ 1, b ³ 1 nên (2) đúng . Do đó (1) đúng. Đẳng thức xảy ra Û a = b.
0.25
Áp dụng (1), ta có: 
Þ . 
0.5
Lại có: 
Þ . Đặt t = a + b + c + 2, 5 £ t £ 8, ta có: 
0.5
Xét hàm số , với t Î [5 ; 8]
 Þ f(t) nghịch biến trên đoạn [5 ; 8].
Þ Þ 
0.25
. Vậy GTNN của P là , khi .
0.5
Giáo viên thẩm định	Giáo viên ra đề
 Trịnh Đình Hiểu	 Phạm Thị Nga