Đề giao lưu đội tuyển HSG lần 1 môn Toán học Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.
KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2020-2021
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (4,0 điểm) 
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?
Câu II (4,0 điểm)
	1. Giải phương trình .
	2. Giải hệ phương trình .
Câu III (4,0 điểm)
 1. Từ các chữ số viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng
 . Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện:.
 2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách bờ 
biển một khoảng . Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí cách một khoảng.
Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí đến vị 
trí trên bờ biển với vận tốc rồi đi xe đạp
từ đến với vận tốc (hình vẽ bên).
Xác định khoảng cách từ đến để người đó đi từ
 đến là nhanh nhất.
.Câu IV (6,0 điểm)
	1. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , và vuông góc với mặt phẳng . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
2. Cho hình hộp có cạnh và diện tích tứ giác là . Mặt phẳng 
 tạo với mặt phẳng đáy một góc , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối hộp , biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng thuộc miền giữa hai đường thẳng và , đồng thời khoảng cách giữa và nhỏ hơn .
 3. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và , biết góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng .
Câu V (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
Hướng dẫn chấm
Đề chính thức
KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TỈNH 
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: TOÁN 
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang )
Câu
Nội dung
Điểm
I
4,0 điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2,0
* Tập xác định của hàm số .
* Giới hạn: .
.
0,5
* Sự biến thiên:
 Ta có 
0,5
 Bảng biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên và , hàm số nghịch biến trên .
Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại là 2. Hàm số đạt cực tiểu tại giá trị cực tiểu là -2.
0,5
* Đồ thị: Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm (0;2), giao với trục hoành tại .
0,5
2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực 
dương phân biệt?
2,0
Đặt , ta có phương trình .
0,5
Từ đồ thị hàm số , ta có
Phương trình có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm dương.
0,5
Phương trình có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm dương.
Phương trình có một nghiệm dương.
0,5
Các nghiệm của các phương trình , và đôi một phân biệt. Do đó phương trình có nghiệm thực dương phân biệt?
0,5
II
4,0 điểm
1. Giải phương trình .
2,0
Điều kiện .
Phương trình 
0,5
0,5
0,5
Đối chiếu với điều kiện ta được và 
0,5
2. Giải hệ phương trình .
2,0
Điều kiện: 
Đặt , . Khi đó phương trình (1) trở thành:
. 
0,5
Thay vào (2) ta được 
Trường hợp 1: (thỏa mãn).
0,5
Trường hợp 2: (3)
.
0,5
Vậy hệ có hai nghiệm: và .
0,5
III
4,0 điểm
1. Từ các chữ số viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác 
nhau có dạng . Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều 
kiện:.
2,0
Để viết một số có 6 chữ số khác nhau bất kì ta có số.
Gọi là biến cố: “số thỏa mãn điều kiện ” .
0,5
TH1: , ta có 
- Nếu có 1 cách chọn
Có 2 cách chọn , hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.
Tương tự có 2 cách chọn. Suy ra có số thỏa mãn.
- Nếu có 2 cách chọn , 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn. Có 2 cách chọn , hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.
Tương tự có 2 cách chọn. Suy ra có số thỏa mãn.
Vậy TH1 có: số thỏa mãn.
0,5
TH2: ta có 
Tương tự như TH1 có 40 số thỏa mãn.
0,5
TH3: , ta có 
Có 3 cách chọn , hai số này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 6 cách chọn.
Tương tự có 4 cách chọn và 2 cách chọn .
Vậy TH3 có số thỏa mãn.
 số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn 
Vậy .
0,5
2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách bờ 
biển một khoảng . Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí cách một khoảng.
Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí đến vị 
trí trên bờ biển với vận tốc rồi đi xe đạp
từ đến với vận tốc (hình vẽ bên).
Xác định khoảng cách từ đến để người đó đi từ
 đến là nhanh nhất.
2,0
Quãng đường = Þ thời gian đi quãng đường là (giờ). 
0,5
Quãng đường Þ thời gian đi quãng đường là (giờ).
Tổng thời gian đi từ đến là (với ).
0,5
Đạo hàm ; Û.
0,5
Giá trị , , . 
Vậy GTNN là , tức là khoảng cách .
0,5
IV
6,0 điểm
1. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , , và vuông góc với mặt phẳng . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng và .
2,0
Gọi là trung điểm của cạnh , ta có nên tam giác vuông tại .
0,5
Suy ra . Mặt khác nên . Gọi là hình chiếu của trên . Ta có . Mà nên từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và, bằng góc giữa và ( do ).
0,5
Gọi .Ta có (do là hình vuông nên . Suy ra . Do đó góc giữa bằng .
0,5
Ta có . Lại có , suy ra . Suy ra .
0,5
2. Cho hình hộp có cạnh và diện tích tứ giác là . Mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc , khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối hộp , biết hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng thuộc miền giữa hai đường thẳng và , đồng thời khoảng cách giữa và nhỏ hơn .
2,0
Gọi là chân đường cao của hình hộp xuất phát từ ; các điểm , và lần lượt là hình chiếu của lên , và ; là hình chiếu của lên ;
Theo giả thiết, ta có ; nên .
0,5
Mặt khác nên ; .
Ta lại có .
0,5
Đặt , với , ta có .
Trong tam giác vuông ta có .
0,5
Do đó
 (loại) hoặc (chọn).
Từ đó, ta tính được và . Vậy .
0,5
3. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , . Tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và , biết góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng .
2,0
 là hình thoi cạnh , nên tam giác , là các tam giác đều.
Gọi là trung điểm của , suy ra .
0,5
Góc giữa và là 
 là hình chiếu của lên 
0,5
 .
0,5
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng .
0,5
V
2,0 điểm
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2,0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
0,5
Từ giả thiết ta có 
; có “=” khi .
0,5
Đặt ta có .
 (với )
0,5
Ta có 
 có “=” khi .
Do đó ta có , có “=” khi 
0,5