Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề số phức

Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 1 
CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 
Câu 1. Cho số phức z a bi= + , 0z ( a , b là các số thực) thỏa mãn 
1 i
z
−
 là số thực và 
3 3 2 2z i z i− − − − = . Đặt 2 2T a b= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. ( )4;8T . B. ( )8;9T . C. ( )11;14T . D. ( )17;20T . 
Câu 2. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hiệu bình phương phần thực và phần ảo bằng 
1
2
 và 
( ) ( )3 2 1z z i z z i− = − − + ? 
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. 
Câu 3. Cho 1z , 2z là hai số phức thỏa mãn ( ) ( ) ( )3 9 13 1 2 3 1i z i z z i− + = − + − và ( )3w z z i= + là một 
số thực. Mệnh đề nào sau đây sai? 
A. 1 2 0z z+ = . B. 1 2 26z z+ = . C. 1 2 0z z− = . D. 1 2 0z z− = . 
Câu 4. Có bao nhiêu số phức z thoả mãn 3z = và 2 2 4z i z i+ + − = ? 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Câu 5. Có bao nhiêu số phức z x yi= + , với x , y thỏa mãn: 
2
1 2
1 4
z i
z z i
 − − 
− + − 
? 
A. 10. B. 8. C. 6. D. 5. 
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn: 
1 2 1
1 2 3 2
z i
z i z i
 − − 
− + + − 
. Gọi S là diện tích phần mặt phẳng chứa các 
điểm biểu diễn của số phức z . Tính S . 
A. S = . B. 2S = . C. 
2
S
= . D. 
4
S
= . 
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn 2 5 2 5z i− + = . Biết rằng số phức ( )( )20212 3 2021w i z i= − − + có 
tập hợp các điểm biểu diễn thuộc đường tròn ( )C . Tính bán kính của ( )C . 
A. 20 . B. 100 . C. 220 . D. 36 . 
Câu 8. Gọi 1z , 2z là hai trong số các số phức thỏa mãn 1 2 5z i− + = và 1 2 8z z− = . Biết tập hợp điểm 
biểu diễn số phức 1 2w z z= + là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 
A. 3. B. 5. C. 8. D. 6. 
Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn 2 3z i z z i− − − và z z− có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng 
chứa các điểm biểu diễn cho số phức z có diện tích là 
A. 
5 5
12
. B. 
5 5
4
. C. 
5 5
8
. D. 
5 5
6
. 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 2 
Câu 10. Xét các số phức z thoả mãn 
( )
2
2
z i
z z i
− +
+ +
 là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 2z 
là parabol có toạ độ đỉnh ( );I a b . Tính S a b= + . 
A. 0. B. 1− . C. 2− . D. 3− . 
Câu 11. Biết rằng z a bi= + , với a , b là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn 
2021 2020 2019 6062z i z i− − = + − , hãy tính a b+ . 
A. 1− . B. 2. C. 1. D. 2− . 
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 3z − = . Giá trị lớn nhất của 2 3T z i z i= + + − − là số 
có dạng 
a
b
 với a , *b , 3b . Giá trị của a b− là 
A. 230. B. 234. C. 232. D. 236. 
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10z z− + + = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 
của .z Khi đó 2 2M m+ bằng 
 A. 25. B. 34. C. 32. D. 36. 
Câu 14. Cho số phức 1z , 2z thỏa mãn 
1 1 1
2 2
1 2
5 5
z z z i
z z i
 − = − 
= −
+
+ 
. Với 2z a bi= + , a , b thì biểu thức 
1 2P z z= − đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của 2 3a b+ là 
A. 2 3 0a b+ = . B. 2 3 1a b+ = . C. 2 3 3a b+ = . D. 2 3 2a b+ = . 
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn 3 2 3z i z z i+ = − + , gọi A , B là các điểm biểu diễn số phức z sao 
cho OA vuông góc với OB . Tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất bằng 
A. 
81
4
. B. 
81
2
. C. 
81
16
. D. 
81
8
. 
Câu 16. Cho các số phức z thoả mãn 5z = . Đặt ( )1 2 1 2w i z i= + − + . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . 
A. 2 5 . B. 5 5− . C. 2. D. 3 5− . 
Câu 17. Xét số phức z thỏa mãn 3 3z i+ − = , giá trị lớn nhất của 2 3z i+ − bằng 
A. 3 2+ . B. 3 3+ . C. 5 3+ . D. 3. 
*************MÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH BỘ ĐỀ THI THỬ TNTHPT************ 
ĐỀ THI CÁC TRƯỜNG- SỞ . 
ĐỀ THI GK-HK CÁC KHỐI 10-11-12(LÀM THEO YÊU CẦU-THEO MA TRẬN) 
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TNTHPT 
LÀM THEO YÊU CẦU CỦA THẦY CÔ 
**************THẦY CÔ LIÊN HỆ ZALO: 0984.553.433************** 
Câu 18. Gọi 1z , 2z , 3z , 4z là 4 nghiệm phức của phương trình ( )
4 24 4 0z m z m+ − − = . Tìm tất cả các 
giá trị m để 1 2 3 4 6z z z z+ + + = . 
A. 1m = − . B. 2m = . C. 3m = . D. 1m = . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 3 
Câu 19. Cho phương trình ( ) ( )3 21 1 1 0z m z m mi z mi− + + + + − − = trong đó z , m là tham số thực. 
Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu 
diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là 
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 
Câu 20. Cho số phức z a bi= + , với a , b sao cho 
2
1
z
z i
+
=
−
 và 
2 2
2
1
z i
z
−
=
−
. Tính giá trị của biểu 
thức S a b= + . 
A. 0S = . B. 1S = . C. 2S = . D. 1S = − . 
Câu 21. Cho ,  ,  là các nghiệm thuộc tập số phức của phương trình 3 23 3 7 0x x x− + + = . Gọi  là 
số phức thỏa mãn 3 1 = và 1 . Tính giá trị 
1 1 1
1 1 1
  
  
− − −
+ +
− − −
 theo  . 
A. 
8

. B. 2 . C. 22 . D. 23 . 
Câu 22. Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo: ( ) 4 23 6 3 0m z z m− + + + = . 
A. 3 2 3m− − . B. 3 3 2m . C. 
3 2 3
3 3 2
m
m
 − − 
. D. 3 3 2m . 
Câu 23. Cho số phức z a bi= + với a , b thỏa mãn 2 3 20201 2 3 4 ... 2021z i i i i= + + + + + . Tính 
S a b= + . 
A. 2021. B. 2020. C. ( )
2020
1 i+ . D. 1. 
Câu 24. Cho 0 2 4 6 12 14
15 15 15 15 15 153 5 7 ... 13 15A C C C C C C= − + − + + − và 
1 3 5 7 13 15
15 15 15 15 15 152 4 6 8 ... 14 16B C C C C C C= − + − + + − . Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. 0A . B. 0B . C. A B . D. A B . 
Câu 25. Tính tổng 
0 2 4 6 2022
2022 2022 2022 2022 2022
1 1 1 1
...
3 5 7 2023
S C C C C C= − + − + −
. 
A. 
10122
2023
S = − . B. 
20232
2023
S = − . C. 
20212
2023
S = − . D. 
10112
2023
S = − . 
Câu 26. Cho số phức z a bi= + với a , b và thỏa mãn 4 3 5z i− − = . Tính P a b= + khi 
1 3 1z i z i+ − + − + đạt giá trị lớn nhất. 
A. 10P = . B. 4P = . C. 6P = . D. 8P = . 
Câu 27. Tính tổng 2 4 6 8 20202020 2020 2020 2020 20202 4.3 6.5 8.7 ... 2020.2019S C C C C C= − + − + − . 
A. 10082020.2019.2 . B. 1. C. 10092020.2 . D. 10082020.2− . 
Câu 28. Tính tổng 
0 2 4 98 100
100 100 100 100 100...S C C C C C= − + − − + . 
A. 502 . B. 502− . C. 252 . D. 252− . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 4 
Câu 29. Cho các số phức z , w thỏa mãn 
5 13
2
9
w i− = và ( )( )3 4 1 3 2w z i− = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
1
2 2 9 30 4
3
P z i z i= − + + − + . 
A. 
6 5
3
. B. 
( )10 3 10
9
+
. C. 6 5 . D. 
( )10 1 10
3
+
. 
Câu 30. Cho hai số phức z và w thỏa mãn 2 8 6z w i+ = + và 4z w− = . Khi đó điểm ( );M z w luôn 
thuộc elip ( )E có tâm sai là 
A. 
1
2
. B. 
6
2
. C. 
2
2
. D. 
3
2
. 
Câu 31. Tính 
2 4 6 2018 2020
0 2 4 6 2018 2020
2021 2021 2021 2021 2021 2021
3 5 2019 2021
1 3 5 2019 2021
2021 2021 2021 2021 2021
3 3 3 ... 3 3
3 3 3 ... 3 3
C C C C C C
P
C C C C C
− + − + − +
=
− + − − +
. 
A. 
1
3
−
. B. 
1
3
. C. 3 . D. 3− . 
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm ( )1;1A , ( )1;2B − , ( )3; 1C − lần lượt là điểm biểu 
diễn số phức 1z , 2z , 3z . Tìm môđun của số phức z thỏa mãn 46 40 929z i+ − = và
2 2 2
1 2 33 5 7P z z z z z z= − + − − − đạt giá trị nhỏ nhất. 
A. 129z = . B. 2 29z = . C. 3 929z = . D. 929z = . 
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn 3
3
1
2z
z
+ và 
1
maxM z
z
= + . Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. 1 2M− . B. 
7
2
2
M . C. 
5
1
2
M . D. 3 2 3M M M+ + . 
Câu 34. Hai điểm N , M trong hình vẽ bên dưới lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1z , 2z . 
Biết 3 3 5ON OM= = , góc 60MON =  . Giá trị của 2 21 2z z+ bằng 
A. 5 73 . B. 5 37 . C. 5 21 . D. 5 11 . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 5 
Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ( )0m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn 
( ) ( )2 2
1 2 2
2 2
2 2 2 2 2
z i
z i m
z m m m i z m m m i
 + − =
− − = 
− − + − = − + + + + 
? 
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. 
Câu 36. Quỹ tích các điểm N biểu diễn cho số phức 
2
2
1
1
z z
w
z z
− +
=
+ +
 là trục Oy . Có bao nhiêu số phức z 
sao cho z là số nguyên? 
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Câu 37. Chọn hai số phức trong các số phức có phần thực và phần ảo là các số nguyên thỏa mãn điều 
kiện 2 4 5 1 3 2 4z i i z i− − − − − + . Xác suất để trong hai số chọn được có ít nhất một số phức 
có phần thực lớn hơn 2 là 
A. 
27
110
. B. 
34
55
. C. 
1
2
. D. 
2
3
. 
Câu 38. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để có tất cả bốn số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều 
kiện: z m= và 3 4 20z z z z+ + − = ? 
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. 
Câu 39. Cho hai số phức u , v thỏa mãn 10u v= = và 3 4 50u v− = . Tính 4 3 .M u v= + 
A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. 
Câu 40. Xét số phức z thỏa 2 1 3 2 2z z i− + − . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. 
3
2
2
z . B. 2z . C. 
1
2
z . D. 
1 3
2 2
z . 
 HẾT  
*************MÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH BỘ ĐỀ THI THỬ TNTHPT************ 
ĐỀ THI CÁC TRƯỜNG- SỞ . 
ĐỀ THI GK-HK CÁC KHỐI 10-11-12(LÀM THEO YÊU CẦU-THEO MA TRẬN) 
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TNTHPT 
LÀM THEO YÊU CẦU CỦA THẦY CÔ 
**************THẦY CÔ LIÊN HỆ ZALO: 0984.553.433************** 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 6 
BẢNG ĐÁP ÁN 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
D A D D D C B D D C C C B A A B C D D D 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
D D D C D A B B C C A D C A D B B B C D 
Câu 1. [2D4-3.3-3] Cho số phức z a bi= + , 0z ( a , b là các số thực) thỏa mãn 
1 i
z
−
 là số thực và 
3 3 2 2z i z i− − − − = . Đặt 2 2T a b= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. ( )4;8T . B. ( )8;9T . C. ( )11;14T . D. ( )17;20T . 
Lời giải 
Chọn D 
Vì 
1 i
z
−
 là số thực với z a bi= + nên tồn tại số thực k ( )0k sao cho: 
( )1z k i a bi k ki= − − = − 
a k
a b
b k
= 
 = 
− = − 
 ( )1 . 
3 3 2 2z i z i− − − − = ( ) ( ) ( )
2 2 22 3 3 2 2a b a b + − − − + − = ( )2 . 
Thế ( )1 vào ( )2 ta được: 
( ) ( ) ( )
2 2 22 3 3 2 2b b b b+ − − − + − = ( ) ( ) ( )
2 2 22 3 2 3 2b b b b + − = + − + −
2 2 22 6 9 4 2 10 13 4 2 10 13b b b b b b − + = + − + + − + 24 8 4 2 10 13b b b − = − +
( ) ( )2 2
2 0
2 2 10 13
b
b b b
− 
− = − + 
2
2
6 9 0
b
b b
− + = 
2
3
b
b
= 
 3b = 3a = . 
2 23 3 18T = + = . 
Câu 2. [2D4-3.3-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hiệu bình phương phần thực và phần ảo bằng 
1
2
và ( ) ( )3 2 1z z i z z i− = − − + ? 
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có ( ) ( )3 2 1z z i z z i− = − − + ( ) ( ) ( )1 3 2 1 1z i z z i + = − + + 
( ) ( )
2 2
2 2 1 1z z z = − + + . 
Đặt z t= , 0t , phương trình trở thành: ( ) ( )
2 2
2 2 1 1t t t= − + + 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 7 
( ) ( )
2 224 2 1 1t t t = − + + 2 2 3 0t t + − = 
1
3
t
t
= 
 = − 
 1t = (thỏa mãn điều kiện). 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Ta có 2 21 1z x y= + = , kết hợp giả thiết ta có hệ phương trình 
2 2
2 2
1
1
2
x y
x y
 + =
− = 
2
2
3
4
1
4
x
y
= 
 =
3
2
1
2
x
y
= 
 = 
3 1
2 2
3 1
2 2
3 1
2 2
3 1
2 2
z i
z i
z i
z i
= + 
= − 
= − + 
= − − 
. 
Thử lại ta thấy chỉ có số phức 
3 1
2 2
z i= + thỏa mãn đề. 
Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
*************MÌNH ĐÃ HOÀN THÀNH BỘ ĐỀ THI THỬ TNTHPT************ 
ĐỀ THI CÁC TRƯỜNG- SỞ . 
ĐỀ THI GK-HK CÁC KHỐI 10-11-12(LÀM THEO YÊU CẦU-THEO MA TRẬN) 
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TNTHPT 
LÀM THEO YÊU CẦU CỦA THẦY CÔ 
**************THẦY CÔ LIÊN HỆ ZALO: 0984.553.433************** 
Câu 3. [2D4-3.3-3] Cho 1z , 2z là hai số phức thỏa mãn ( ) ( ) ( )3 9 13 1 2 3 1i z i z z i− + = − + − và 
( )3w z z i= + là một số thực. Mệnh đề nào sau đây sai? 
A. 1 2 0z z+ = . B. 1 2 26z z+ = . C. 1 2 0z z− = . D. 1 2 0z z− = . 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi số phức z a bi= + , với a , b . 
Ta có: ( )3 . 3 .w z z i z z i z= + = + . Mà 
2
. 3 .z z z i z z bi z bi= = − = . 
( ) ( ) ( )3 9 13 1 2 3 1i z i z z i− + = − + − 3 27 13 2 3iz i z z i iz i − + = − + − 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 8 
( ) ( ) ( )1 3 44 2 1i z z z i − = − − + ( )* . 
Lấy môđun 2 vế của ( )* ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 3 44 2 1 10 44 2 1i z z z i z z z− = − − + = − + + 
( ) ( )
2 22 2
13
10 44 2 1 5 84 1937 0 149
5
z
z z z z z
z
 =
 = − + + + − = 
 = −
. 
Vì 0z nên 13z =
13
13
b
b
= 
 = − 
. 
Vì 1z , 2z có vai trò như nhau nên 1 13z i= , 2 13z i= − . 
Khi đó 
( )1 2 13 13 0z z i i+ = + − = . 
1 2 13 13 26z z i i+ = + − = . 
1 2 13 13 0z z i i− = − − = . 
( )1 2 13 13 26 26z z i i i− = − − = = . 
Vậy phương án D sai. 
Câu 4. [2D4-3.3-3] Có bao nhiêu số phức z thoả mãn 3z = và 2 2 4z i z i+ + − = ? 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi z a bi= + , với a , b . 
Theo giả thiết ta có: 
( ) ( )
2 2 3
2 2 4
a b
a b i a b i
 + = 
+ + + + − = 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
3
2 2 4
a b
a b a b
 + =
+ + + + − = 
2 2
2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 4
a b
a b b a b b
 + = 
+ + + + + − + = 
2 2 3
5 2 2 5 2 2 4
a b
b b
 + = 
+ + − = 
2 2
2
3
5 2 2 5 2 2 2 25 8 16
a b
b b b
 + = 
+ + − + − = 
2 2
2
3
25 8 3
a b
b
 + = 
− = 
2 2
2
3
2
a b
b
 + = 
= 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 9 
2
2
1
2
a
b
 = 
= 
1
2
1
2
1
2
1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
 = 
= 
= − 
 = 
 = 
= − 
= − 
 = − 
. 
Vậy có 4 số phức thoả mãn đề bài là: 1 2z i= + , 1 2z i= − + , 1 2z i= − và 1 2z i= − − . 
Câu 5. [2D4-5.1-3] Có bao nhiêu số phức z x yi= + , với x , y thỏa mãn: 
2
1 2
1 4
z i
z z i
 − − 
− + − 
? 
A. 10. B. 8. C. 6. D. 5. 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: 2 1z z i− + − ( ) ( )2 2 2 1z z z i= − + + − − 
( )( ) ( )1 1 1z i z i z i= − − − + + − − ( )( )1z i z i= − − + . 
Mặt khác: 
2
1 2
1 4
z i
z z i
 − − 
− + − 
 ( )* 
( )( )
1 2 1 2
1 4 2
z i z i
z i z i z i
 − − − − 
− − + + 
 ( )** . 
Xét 1 2z i− − có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài hình tròn ( )1C : ( )1 1;1I , 
1 2R = (kể cả đường tròn ( )1C ). 
Xét 2z i+ có tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền ngoài hình tròn ( )2C : ( )2 0; 1I − , 
2 2R = . 
 Tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ( )** được giới hạn bởi miền ngoài đường tròn 
( )1C : ( )1 1;1I , 1 2R = (kể cả đường tròn ( )1C ) và hình tròn ( )2C : ( )2 0; 1I − , 2 2R = như hình 
vẽ. 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 10 
 Có 10 điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn ( )** là: 
( )2; 1− − , ( )1;0− , ( )1; 1− − , ( )1; 2− − , ( )0; 1− , ( )0; 2− , ( )0; 3− , ( )1; 1− , ( )1; 2− và ( )2; 1− . 
Thử lại điều kiện ( )* ta được 5 điểm thoả mãn là: ( )1;0− , ( )1; 1− − , ( )0; 1− , ( )0; 2− , ( )1; 1− . 
Vậy có tất cả 5 số phức z thỏa mãn đề bài. 
Câu 6. [2D4-5.1-3] Cho số phức z thỏa mãn: 
1 2 1
1 2 3 2
z i
z i z i
 − − 
− + + − 
. Gọi S là diện tích phần mặt 
phẳng chứa các điểm biểu diễn của số phức z . Tính S . 
A. S = . B. 2S = . C. 
2
S
= . D. 
4
S
= . 
Lời giải 
Chọn C 
Giả sử z x yi= + , với x , y . 
Khi đó ( ) ( )1 2 1 1 2 1z i x y i− − − + − ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1x y x y − + − − + − 
Và ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 2 1 2 3 2z i z i x y x y− + + − − + + + + − 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 2 1x y x y y x − + + + + − + . 
Gọi ( )T là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d : 1y x= + , không chứa gốc tọa độ ( )0;0O . 
Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề là nửa hình tròn ( )C tâm ( )1;2I , bán 
kính 1R = và thuộc ( )T (như hình vẽ). 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 11 
Vì đường thẳng d đi qua tâm ( )1;2I của hình tròn ( )C nên diện tích cần tìm là một nửa diện 
tích hình tròn ( )C . Do đó 
2
S
= . 
Câu 7. [2D4-2.4-3] Cho số phức z thỏa mãn 2 5 2 5z i− + = . Biết rằng số phức 
( )( )20212 3 2021w i z i= − − + có tập hợp các điểm biểu diễn thuộc đường tròn ( )C . Tính bán kính 
của ( )C . 
A. 20 . B. 100 . C. 220 . D. 36 . 
Lời giải 
Chọn B 
Đặt w x yi= + , với x , y . 
Ta có: 2 5 2 5z i− + = 2 5 2 5z i− + = 2 5 2 5z i − − = . 
Mà ( )( ) ( )( )20212 3 2021 2 2 5 2 2 2021w i z i i z i i= − − + = − − − + + + 
( )( ) ( )( )2 2 5 2 2 2 2021w i z i i i = − − − + − + + ( )( )2027 2 2 2 5w i i z i − − = − − − . 
Suy ra: ( )( )2027 2 2 2 5w i i z i− − = − − − 2027 2 2 2 5w i i z i − − = − − − 
2027 2 5.2 5w i − − = 2027 2 10w i − − = ( ) ( )
2 2
2027 2 100x y − + − = . 
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn ( )C tâm ( )2027;2I và bán kính 10R = . 
Vậy bán kính của ( )C là 10R = . 
Câu 8. [2D4-2.4-3] Gọi 1z , 2z là hai trong số các số phức thỏa mãn 1 2 5z i− + = và 1 2 8z z− = . Biết 
tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2w z z= + là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 
A. 3. B. 5. C. 8. D. 6. 
Lời giải 
Chọn D 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 12 
Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1z , 2z . 
Do 1z , 2z thỏa mãn 1 2 5z i− + = nên A , B thuộc đường tròn tâm ( )1; 2I − , bán kính 5R = . 
Mà 1 2 8z z− = suy ra 8AB = . 
Gọi E là trung điểm của AB . Ta có 2 2 2 25 4 3IE IA EA= − = − = . 
Như vậy khi A , B thay đổi trên ( )C và thỏa mãn 8AB = thì E thay đổi trên đường tròn ( )1C 
tâm I bán kính 1 3R IE= = . 
Gọi F là điểm biểu diễn số phức w . Ta có 1 2w z z= + 2OF OA OB OE = + = . 
Suy ra F là ảnh của E qua phép vị tự V tâm O tỉ số 2k = . 
Do đó khi E chạy trên đường tròn ( )1C thì F sẽ chạy trên đường tròn ( )1C là ảnh của ( )1C 
qua phép vị tự V tâm O tỉ số 2.k = 
Gọi I và 1R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ( )1C . 
Ta có 
( )
11 1
2; 42
62
IOI OI
RR R
 − = 
 == 
. 
Vậy tập hợp điểm F biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính bằng 6. 
Câu 9. [2D4-3.4-3] Biết số phức z thỏa mãn 2 3z i z z i− − − và z z− có phần ảo không âm. Phần 
mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn cho số phức z có diện tích là 
A. 
5 5
12
. B. 
5 5
4
. C. 
5 5
8
. D. 
5 5
6
. 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 13 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Ta có: 2 3z i z z i− − − ( ) ( )
2 222 1 2 3x y y + − − ( ) ( )
2 224 1 2 3x y y + − −
2 2 2 2 2 54 4 8 4 4 12 9 4 4 5
4
x y y y y y x y x + − + − + − + − + ( )1 . 
Số phức 2z z yi− = có phần ảo không âm 0y ( )2 . 
Từ ( )1 và ( )2 ta suy ra phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn cho số phức z là hình phẳng 
giới hạn bởi Parabol ( )P : 2
5
4
y x= − + và trục hoành. 
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và trục hoành là 2
5 5
0
4 2
x x− + = = . 
Gọi S là diện tích cần tìm 
5 5
32 2
2
0 0
5 5 5 5
2. d 2.
4 3 4 6
x
S x x x
 = − + = − + = 
 . 
Câu 10. [2D4-3.4-3] Xét các số phức z thoả mãn 
( )
2
2
z i
z z i
− +
+ +
 là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của 
số phức 2z là parabol có toạ độ đỉnh ( );I a b . Tính S a b= + . 
A. 0. B. 1− . C. 2− . D. 3− . 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Khi đó 
( )
( ) ( ) ( )
( )2
2 1 12 12
2 2 2 2 1
x y i xix y iz i
z z i xi x
− + + − − + +− + = =
+ + + +
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 14 
( ) ( )
( )2
2 1 2 1
2 1
x x y x x y i
x
− + + + − − + + =
+
. 
( )
1
1
z i
z z i
− +
+ +
 là số thực ( )2 1 0x x y − − + + = 2 2 1y x x = − − 2
1
2 .4 2.2 2
2
y x x = − − . 
Số phức 2z có điểm biểu diễn ( )2 ;2M x y 
 Quỹ tích các điểm M là parabol có phương trình 2
1
2 2
2
y x x= − − . 
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 2z là parabol có toạ độ đỉnh ( )2; 4I − 
( )2 4 2S = + − = − . 
Câu 11. [2D4-5.1-3] Biết rằng z a bi= + , với a , b là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn 
2021 2020 2019 6062z i z i− − = + − , hãy tính a b+ . 
A. 1− . B. 2. C. 1. D. 2− . 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi ( )2021;2020A , ( )2019;6062B − và ( );M a b . 
Ta có 2021 2020 2019 6062z i z i− − = + − 
( ) ( ) ( ) ( )2021 2020 2019 6062a b i a b i − + − = + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2021 2020 2019 6062a b a b − + − = + + − MA MB = . 
Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực d của đoạn thẳng AB . 
Ta có phương trình :2020 2021 8164841 0d x y− + = . 
Khi đó z OM= nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d . 
Đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d có phương trình 2021 2020 0x y+ = . 
M là giao điểm của hai đường thẳng d và OM . 
Hệ phương trình 
2020 2021 8164841 0 2020
2021 2020 0 2021
x y x
x y y
− + = = − 
+ = = 
Suy ra ( )2020;2021M − . Khi đó 2020 2021z i= − + . 
Vậy 2020 2021 1a b+ = − + = . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 15 
Câu 12. [2D4-5.2-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 3z − = . Giá trị lớn nhất của 
2 3T z i z i= + + − − là số có dạng 
a
b
 với a , *b , 3b . Giá trị của a b− là 
A. 230. B. 234. C. 232. D. 236. 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Ta có ( )
2 2 2 22 3 2 9 4 5z x y x y x− = − + = + = + ( )1 . 
( ) ( ) ( )
2 2 222 3 2 3 1T z i z i x y x y= + + − − = + + + − + − 
2 2 2 24 4 6 2 10x y y x y x y= + + + + + − − + ( )2 . 
Thế ( )1 vào ( )2 ta được: 
4 4 9 2 2 15T x y x y= + + + − − +
1
1. 4 4 9 . 4 4 30
2
x y x y= + + + − − + . 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copski ta được: 
2
2 1 1 1171. 4 4 9 . 4 4 30 1 .39
2 22
T x y x y
= + + + − − + + = 
. Suy ra 
234
2
T . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 
2 2
25 3 23
4 4 9 2. 4 4 30 8
4 5 9 3 23
8
x
x y x y
x y x
y
 +
= + + = − − + 
+ = + − =
 hoặc 
25 3 23
8
9 3 23
8
x
y
 −
= 
+ 
=
. 
Vậy 234a = , 2 232b a b= − = . 
Câu 13. [2D4-5.1-3] Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10z z− + + = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất 
và nhỏ nhất của .z Khi đó 2 2M m+ bằng 
 A. 25. B. 34. C. 32. D. 36. 
Lời giải 
Chọn B 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Đặt ( )1 4;0F − , ( )2 4;0F , ( );M x y . Khi đó, 1 24 4 10 10z z MF MF− + + = + = . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 16 
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Elip có phương trình chính tắc 
2 2
1
25 9
x y
+ = . 
Do đó, z OM= nhỏ nhất bằng 3 khi M Oy hay ( )0;3M hoặc ( )0; 3M − ; 
z OM= lớn nhất bằng 5 khi M Ox hay ( )5;0M hoặc ( )5;0M − . 
Vậy 2 2 25 9 34M m+ = + = . 
Câu 14. [2D4-5.1-3] Cho số phức 1z , 2z thỏa mãn 
1 1 1
2 2
1 2
5 5
z z z i
z z i
 − = − 
= −
+
+ 
. Với 2z a bi= + , a , b thì 
biểu thức 1 2P z z= − đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của 2 3a b+ là 
A. 2 3 0a b+ = . B. 2 3 1a b+ = . C. 2 3 3a b+ = . D. 2 3 2a b+ = . 
Lời giải 
Chọn A 
Gọi 1z x yi= + , với x , y . 
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn hình học của hai số phức 1z , 2z . 
Ta có ( );M x y , ( );N a b và 
1
2 2
111 2
5 5
z z z i
z z i
 − = − 
= −
+
+ 
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
2 22 2
2 1 4 2 1
55 5
x y y y x x
b aa b a b
 − + = + = − 
= −+ = − + + 
. 
Khi đó bài toán trở thành tìm M trên parabol ( )P : 2y x x= − và N trên đường thẳng 
: 5d y x= − sao cho 1 2P z z MN= − = đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 17 
Khi đó M là điểm trên parabol ( )P sao cho tiếp tuyến với parabol tại M có hệ số góc bằng 1. 
Ta có ( )1 1 2 1 1 1y x x = − = = . 
Suy ra ( )1;0M . 
Khi đó điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d : 5y x= − . 
Đường thẳng MN qua M và vuông góc với đường thẳng ( )d . 
Ta có MN : 1y x= − + . 
N MN d=  nên tọa độ điểm N thỏa hệ 
5 3
1 2
y x x
y x y
= − = 
= − + = − 
. 
Khi đó ( )3; 2N − hay 2 3 2z i= − . 
Vậy ( )2 3 2.3 3. 2 0a b+ = + − = . 
Câu 15. [2D4-3.3-3] Cho số phức z thỏa mãn 3 2 3z i z z i+ = − + , gọi A , B là các điểm biểu diễn số 
phức z sao cho OA vuông góc với OB . Tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất bằng 
A. 
81
4
. B. 
81
2
. C. 
81
16
. D. 
81
8
. 
Lời giải 
Chọn A 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 18 
Ta có: ( ) ( ) ( )3 2 3 3 2 3z i z z i x yi i x yi x yi i+ = − + + + = − − + + 
( ) ( )
2 22 23 1 3 3x y x y + + = + − ( ) ( )
2 22 29 1 3 3x y x y + + = + −
22
.
9
x
y = − 
Khi đó: 2
2
;
9
A a a
− 
 và 2
2
;
9
B b b
− 
. 
( )2 2
4 81
0 do 0 .
81 4
OA OB ab a b ab ab⊥ + = = − 
Ta có: 2
2
;
9
OA a a
= − 
, 2
2
;
9
OB b b
= − 
. 
( ) ( ) ( )
2 22 21 2 2 1 9 9 9 814 81 .
2 9 9 9 4 4 4 4
OABS ab a b ab a b a b a b ab a b= − + = − = − = + − = + + 
Dấu bằng đạt tại 
9
0
2
81
9
4
2
a b a
ab
b
+ = = 
= − = 
. 
Vậy tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất bằng 
81
4
. 
Câu 16. [2D4-5.1-3] Cho các số phức z thoả mãn 5z = . Đặt ( )1 2 1 2w i z i= + − + . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của w . 
A. 2 5 . B. 5 5− . C. 2. D. 3 5− . 
Lời giải 
Chọn B 
Gọi số phức z a bi= + với a , b . 
Ta có 
2 25 5z a b= + = 2 2 5a b + = ( )* . 
Ta có ( )1 2 1 2w i z i= + − + ( )( )1 2 1 2w i a bi i = + + − + ( ) ( )2 1 2 2w a b a b i = − − + + + . 
Giả sử số phức w x yi= + , với x , y . Khi đó 
2 1 1 2
2 2 2 2
x a b x a b
y a b y a b
= − − + = − 
= + + − = + 
. 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 2x y a b a b+ + − = − + + 
( ) ( )
2 2 2 2 2 21 2 4 4 4 4x y a b ab a b ab + + − = + − + + + 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 5x y a b + + − = + ( ) ( )2 21 2 25x y + + − = (theo ( )* ). 
Suy ra tập hợp điểm ( );M x y biểu diễn số phức w là đường tròn tâm ( )1;2I − , bán kính 
25 5R = = . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 19 
w đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất. 
( )
2 21 2 5OI R O= − + = nằm trong đường tròn tâm ( )1;2I − , bán kính R . 
Mặt khác OM OI IM − 5 5OM − 5 5OM − . 
Do vậy w nhỏ nhất bằng 5 5− . 
Câu 17. [2D4-5.1-3] Xét số phức z thỏa mãn 3 3z i+ − = , giá trị lớn nhất của 2 3z i+ − bằng 
A. 3 2+ . B. 3 3+ . C. 5 3+ . D. 3. 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi z x yi= + , với x , y . 
Theo đề bài ta có: 3 3 3 3z i x yi i+ − = + + − = ( ) ( )
2 2
3 1 9x y + + − = . 
Suy ra tập hợp điểm ( );M x y biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy là đường tròn tâm 
( )3;1I − bán kính 3R = . 
Xét 2 3 2 3z i x yi i+ − = + + − ( ) ( )
2 2
2 3x y AM= + + − = với ( )2;3A − . 
2
-1
y
x
O
I
M
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 20 
5AI R= nên A nằm trong đường tròn tâm ( )3;1I − bán kính 3R = . 
AM lớn nhất 5 3AM AI R = + = + . 
Câu 18. [2D4-2.2-3] Gọi 1z , 2z , 3z , 4z là 4 nghiệm phức của phương trình ( )
4 24 4 0z m z m+ − − = . Tìm 
tất cả các giá trị m để 1 2 3 4 6z z z z+ + + = . 
A. 1m = − . B. 2m = . C. 3m = . D. 1m = . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: ( ) ( )( )
( )
( )
2
4 2 2 2
2
4 1
4 4 0 4 0
2
z
z m z m z z m
z m
 = −
+ − − = + − = 
= 
. 
Ta có: 
nnz z= . 
1z , 2z là nghiệm của phương trình ( )1 . Ta có: 1 2 4 2z z= = − = . 
3z , 4z là nghiệm của phương trình ( )2 . Ta có: 3 4z z m= = . 
Theo đề ra ta có: 1 2 3 4 6 2 4 6 1 1z z z z m m m+ + + = + = = = (thỏa mãn). 
Kết luận 1m = . 
Câu 19. [2D4-2.3-3] Cho phương trình ( ) ( )3 21 1 1 0z m z m mi z mi− + + + + − − = trong đó z , m là 
tham số thực. Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các 
điểm biểu diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là 
A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 
Lời giải 
Chọn D 
Xét phương trình: 
( ) ( )3 21 1 1 0z m z m mi z mi− + + + + − − =
2
1
1 0
z
z mz mi
= 
− + + = 
( ) ( )( )2 2
1
1 1
00
z
z z
z i
z i z i mz i mz mi
z m i
= 
= = = − + − =− − − = = − 
. 
Đặt ( )1;0A , ( )0;1B , ( ); 1C m − lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm 1z = , z i= , z m i= − 
trên mặt phẳng phức. 
Ta có: ( )1;1AB = − , ( )1; 1AC m= − − , ( ); 2BC m= − . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 21 
2AB = , 2 4BC m= + , ( )
2
1 1AC m= − + . 
Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác khi và chỉ khi AB và AC không cùng phương hay 
2m . 
Tam giác ABC cân 
AC AB
BC AB
AC BC
= 
 =
 = 
( )
( )
2
2
2 2
1 1 2
4 2
1 1 4
m
m
m m
 − + =
 + = 
− + = + 
2 2 0
2 2
m m
m
 − =
− = 
0
2
1
m
m
m
= 
 =
 = − 
. 
Kết hợp với điều kiện 2m ta được 0; 1m − . 
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề. 
Câu 20. [2D4-3.3-3] Cho số phức z a bi= + , với a , b sao cho 
2
1
z
z i
+
=
−
 và 
2 2
2
1
z i
z
−
=
−
. Tính giá 
trị của biểu thức S a b= + . 
A. 0S = . B. 1S = . C. 2S = . D. 1S = − . 
Lời giải 
Chọn D 
Điều kiện 1z , z i . 
Ta có ( )
2
1 2 2 1
z
z z i a bi a b i
z i
+
= + = − + + = + −
−
( ) ( )
2 22 22 1a b a b + + = + − 4 2 3 0a b + + = ( )1 . 
2 2
2 1
1
z i
z i z
z
−
= − = −
−
 ( )1 1a b i a bi + − = − + 
( ) ( )
2 22 21 1a b a b + − = − + 0a b − = ( )2 . 
Từ ( )1 và ( )2 ta có hệ phương trình 
1
4 2 3 2
0 1
2
a
a b
a b
b
= − + = − 
− = = −
, (thỏa điều kiện). 
Vậy 1S a b= + = − . 
Câu 21. [2D4-3.3-3] Cho ,  ,  là các nghiệm thuộc tập số phức của phương trình 
3 23 3 7 0x x x− + + = . Gọi  là số phức thỏa mãn 3 1 = và 1 . Tính giá trị 
1 1 1
1 1 1
  
  
− − −
+ +
− − −
 theo  . 
A. 
8

. B. 2 . C. 22 . D. 23 . 
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 22 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: ( )( )3 2 21 1 1 0 1 0     = − + + = + + = . 
Nhận xét: Nếu  là nghiệm của phương trình 2 1 0 + + = thì 2 cũng là nghiệm phương trình 
2 1 0 + + = (vì ( )
2
2 2 3 2 21 0 . 1 0 1 0     + + = + + = + + = ). 
Do đó phương trình 3 1 = có ba nghiệm là 1 ,  , 2 . 
Ta có: 3 23 3 7 0x x x− + + = ( )
3
3 1
1 8 1
2
x
x
− 
 − = − = 
− 
. 
Do đó: 
2
1
1
2
1
2
1
2
x
x
x


− 
= −
− =
 −
−
 =
 − 
2
1
1 2
1 2
x
x
x


 = −
 = − 
 = − 
. 
1 1 1
1 1 1
  
  
− − −
+ +
− − −
2
2
1 1 1 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1 1 1
 
 
− − − − − −
= + +
− − − − − −
22 

= +
3
22 3 3


 
+
= = = . 
Câu 22. [2D4-4.2-3] Tìm m để các nghiệm của phương trình sau đều là số ảo: 
( ) 4 23 6 3 0m z z m− + + + = . 
A. 3 2 3m− − . B. 3 3 2m . C. 
3 2 3
3 3 2
m
m
 − − 
. D. 3 3 2m . 
Lời giải 
Chọn D 
* Nếu 3m = : Phương trình trở thành 26 6 0z z i+ = = (thỏa mãn). 
* Nếu 3m : Đặt z xi= ( )x , phương trình ( ) 4 23 6 3 0m z z m− + + + = ( )1 trở thành 
( ) 4 23 6 3 0m x x m− − + + = ( )2 . 
Đặt 2t x= ( )0t , phương trình ( )2 trở thành ( ) 23 6 3 0m t t m− − + + = ( )3 . 
Phương trình ( )1 chỉ có nghiệm ảo phương trình ( )2 chỉ có nghiệm thực. 
 Phương trình ( )3 có 2 nghiệm thực thỏa mãn 1 20 t t 
0
0
0
S
P
Giáo viên: Võ Kim Ái ZALO: 0984.553.433 
Trang 23 
218 0
6
0
3
3
0
3
m
m
m
m
 − 
− 
+ 
 − 
3 2 3 2
3
3
3
m
m
m
m
− 
 − 
3 3 2m . 
Vậy 3 3 2m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 23. [2D4-3.2-3] Cho số phức z a bi= + với a , b thỏa mãn 2 3 20201 2 3 4 ... 2021z i i i i= + + + + + . 
Tính S a b= + . 
A. 2021. B. 2020. C. ( )
2020
1 i+ . D. 1.