Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Phương phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Tọa độ vectơ: Cho . Ta có
 ·	·
 · · cùng phương
 ·	·
 ·	· 
2. Tọa độ điểm: Cho 
M là trung điểm của AB 
°G là trọng tâm tam giác ABC
Điểm M thuộc trục tọa độ: 
·M OxM(x;0;0). 	 ·M OyM(0;y;0). 	·M OzM(0;0;z).	
NX: có cái gì giữ nguyên cái đó.vắng cái gì cái đó bằng 0.
Điểm M thuộc mặt phẳng tọa độ:
·M (Oxy)M(x;y;0). · M (Oyz)M(0;y;z). ·M (Oxz)M(x;0;z). 
NX: có cái gì giữ nguyên cái đó.vắng cái gì cái đó bằng 0.
M’ là hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên mp tọa độ: 
 (Oxy)Þ M’(a;b;0); ·(Oyz) Þ M’(0;b;c). ·(Ozx) Þ M’(a;0;c).
M’ là hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên trục tọa độ: 
OxÞM’(a;0;0). ·OyÞ	M(0;b;0). ·OzÞM’(0;0;c). 
3. Tích có hướng của hai vectơ: 
Tích có hướng của hai vec tơ và là một vectơ, k/h: 
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: đồng phẳng 
- cùng phương 
- Diện tích hình bình hành ABCD	: 
- Diện tích tam giác ABC	: 
- Thể tích tứ diện ABCD	: 
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': 
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng hàng: 
Ÿ 3 điểm A,B,C thẳng hàng
Ÿ3 điểm A,B,C không thẳng hàng k
2.là đỉnh hình bình hành ABCD
3. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng
Ÿ4 điểm A,B,C,D đồng phẳng
Ÿ4 điểmA,B,C,D không đồng phẳng (A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD) 
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 Cho vectơ .Tìm tọa độ điểm M ?
A. B. C. D. 
Trong không gian Oxyz cho Tính tọa độ của vectơ 
A.B.C.D.
Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3) Tìm tọa độ điểm M’ là hình chiếu của M trên trục Ox. M’(0;1;0). B.M’(0;0;1). C. M’(1;0;0). D. M’(0;2;3).
Trong không gian Oxyz .Cho M( 2 ; -5 ; 7 ) Tìm tọa độ hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy .A. ( -22 ; 15 ; -7 )	B. ( -4 ; -7 ; -3) C. ( 2 ; -5 ; 0) D. ( 1 ; 0; 2)
Trong không gian Oxyz cho M(1;-2;4) và N(-2;3;5). Tính tọa độ của 
A.(-3;5;1). B. (3;-5;-1). C. (-1;1;9). D. (1;-1;-9)
Cho = (2; –1; 2). Tìm y, z sao cho = (–2; y; z) cùng phương với 
A. y = –1; z = 2	B. y = 2; z = –1	C. y = 1; z = –2	D. y = –2; z = 1
Tính góc giữa hai vector = (–2; –1; 2) và = (0; 1; –1)
A. 135°	B. 90°	C. 60°	D. 45°
Cho;.Tìm m để . A. B. C. D.
Cho = (1; –3; 2), = (m + 1, m – 2, 1 – m), = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.
A. m = 0 V m = –2	B. m = –1 V m = 2	C. m = 0 V m = –1	D. m = 2 V m = 0
Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;-2;1), B(5;6;3) . Tọa độ trung điểm I của AB là
A.(6;4;4)	B. (3;2;2)	 C. (4;8;2)	 D. (2;4;1)
Câu 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;1), B(5;5;4) và C(3;2;-1). Tọa độ tâm G của tam giác ABC là
A. 	B. 	 C. 	 D. 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hành ABDC với A(1; 2; 1), B(1;1; 0),C(1; 0;2).Tọa độ đỉnh D là
A. (1; –1; 1)	B. (1; 1; 3)	C. (1; –1; 3)	D. (–1; 1; 1)
Trong không gian Oxyz . Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A( 1 ;0 ; 1 ), B( 2 ; 1 ; 2 ), D ( 1 ; -1 ; 4 ) , C’ ( 4 ; 5 ;-5 ) Tọa độ điểm A’ là : 
A. ( 3 ; 5 ; -6 ) B . (-2 ; 1 ; 1 ) C( 5 ; -1 ; 0 ) D. ( 2 ; 0 ; 2 )
Trong không gian Oxyz .Cho hai điểm A ( 2 ; 5 ; 1) , B( -1 ; 7 ; -3) . Điểm nào sau đây thẳng hàng với A, B. 
A. ( -4 ; 9 ; -7)	B. ( 11 ; -1 ; 12)	C. ( 14 ; -3 ; 16)	 D . ( 0 ; 2 ; 0)
Cho 2 điểm . Tìm điểm M thỏa 3
A. B. C. D.
Cho tứ diện OABC với A(m;0;0), B(0;6;0), C(0;0;6). Tìm m để thể tích tứ diện bằng 6.
A. 	B. m=1.	C. m=-1. 	D. m=6.
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1:Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r có phương trình:
ŸMặt cầu tâm O, bán kính r: 
Dạng 2:Phương trình dạng ; điều kiện 
 là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính 
II. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
a/
b/
c/
Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r và 
 mặt phẳng 
Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) trên m. 
 Ta có: 
a/ và mặt cầu (S) không có điểm chung.
b/ và mặt cầu (S) có 1 điểm chung duy nhất 
 ( tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H )
Ÿ H : Gọi là tiếp điểm Ÿ: Gọi là tiếp diện 
Điều kiện mp tiếp xúc mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: 
c/ cắt mặt cầu (S) theo 1 đường tròn (C) có
 phương trình: (C):
 (C) có tâm H, bán kính 
Ÿ Khi cắt mặt cầu (S) theo đường 
 tròn lớn tâm , bán kính 
C. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình: 
Phương pháp giải:
Tìm tâm: Đổi dấu các số trong ngoặc Þ Tâm mặt cầu là I(a ;b ;c).
 Tìm bán kính: lấy số bên phải. Bán kính là r.
Dạng toán 2: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình: 
Phương pháp giải:
Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số của z chia (-2)Þ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
Tím bán kính 
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) 
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầulà: 
Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là: 
Dạng toán 3:Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và mp(a):
Phương pháp giải:
+ Tìm tâm H 
B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(a) 
B2: Tâm H là giao điểm của d và mp(a). 
+ Bán kính 
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : và mặt phẳng . Chứng minh rằng (S) và (a) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính đường tròn (T)
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có : <10=RÞ mc(S) cắt (a) theo giao tuyến là đường tròn (T). 
Mp có 1 VTPT là 
Đường thẳng d qua I vuông góc với mp có một VTCP là Þ phương trình
tham số là: . Gọi H= dÇÞ HÎd ÞH(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác HÎmpÞ ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0Û9t=18 Û t=2 ÞH(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là H(7;-6;-1)
Bán kính đường tròn giao tuyến là : 
Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu 
Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:
Cách 1:Tìm tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu Þphương trình là:
Cách 2:Tìm các hệ số A, B, C, D trong phương trình:Þptr mặt cầu
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là : 
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ:Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
Bán kính mặt cầu là: 
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)2+ (y+3)2 + (z-1)2 = 5
Bài toán 2:Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
Tìm trung điểm I của đoạn AB với , tính đoạn
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính 
Ví dụ:Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5), 
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính phương trình của mặt cầu là :
Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(a)
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là : 
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ:Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là : 
Phương trình mặt cầu là : 
Bài toán 4:Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng (1). A,B,C,DÎ mc(S) thế tọa độ các điểm A,B,C,D vào (1). Giải hệ pt, tìm A, B, C, D.
Ví dụ:
Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ); D( 4 ; 1 ; 0 ).
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng: , ta có :
 .Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:
Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z2-4x+2y-6z-3=0
Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P) 
Phương pháp giải:
 Mc(S) có ptr: (2)
A,B,CÎ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr mp(P)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D Þ phương trình mặt cầu. 
Ví dụ:Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0 
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng: , ta có :
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
Vậy phương trình mặt cầu là: x2+y2+z2- x +y - 6z=0
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): (x-1)² + (y+2)² +z² = 25.
	A. I(-1; 2; 0), R = 25	B. I(–1; 2; 0), R =5	C. I(1; –2; 1), R = 5	D. I(1; -2; 0), R = 5
Câu 2.Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0.
	A. I(4; –1; 0), R = 4	B. I(–4; 1; 0), R = 4	C. I(4; –1; 0), R = 2	D. I(–4; 1; 0), R = 2
Câu 3. Mặt cầu tâm bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng . Bán kính R bằng:	A. 	B.	C. 	D.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm M tiếp xúc với mặt phẳng .
	A. 	B. 
	C.	D. 
Câu 5. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 5; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x + y + 3z + 1=0
	A. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 16	B. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 12
	C. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 14	D. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 10
Câu 6. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)
	A. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 3	B. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 4 = 0
	C. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 6	D. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 10 = 0
Câu 7. Cho hai điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là
	A. x² + (y + 3)² + (z – 1)² = 9	B. x² + (y – 3)² + (z – 1)² = 36
	C. x² + (y - 3)² + (z + 1)² = 9	D. x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 36
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 
2x + y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính R= 1. Phương trình của mặt cầu (S) là
	A. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 8	B. (S): (x + 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 10
	C. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 8	D. (S): (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 10
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d:. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với d.
	A. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49	B. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 7
	C. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 50	D. (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 25
Câu 10. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S): với mặt phẳng 2x-2y-z-4=0. 
	A. 	B. 	C. 	 D. 
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ cho và đường thẳng . Phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với và cắt theo một đường tròn có chu vi là:
	A.	B.
	C.	D.
Câu 12.Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và điểm . Gọi K là điểm đối xứng với I qua d. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm K cắt d tại hai điểm A và B, biết đoạn AB=4 là.
 B.
C.D.
Câu 13. Cho bốn điểm A(2;-1;2), B(-1;2;8), C(4;-4;3), D(0;-5;8). Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là.
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 14. Cho bốn điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0). Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp diện ABCD là. 
	A. B. 	C. D. 
Câu 15. Cho A(1;2;0), B(-1;1;3), C(2;0;-1). Pt mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (Oxz) là:
	B. 	
C. 	D. 
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Vectơ pháp tuyến của mp(a) :¹ là véctơ pháp tuyến của mp(a) Giá của^ mp(a)
Chú ý: Hai vectơ không cùng phương có giá nằm trong hoặc song song với (). Khí đó: là vectơ pháp tuyến của ()
2.P.trình tổng quát của mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 (Với A2 + B2 + C2).
 + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: 
 + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là thì có pt:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng 
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D¹0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D¹0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D¹0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c): với a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
4. Vị trí tương đối của hai mp (a):A1x+B1y+C1z+D1 = 0 và (b):A2x+B2y+C2z +D2 = 0
·
·
·
· 
5.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
6.Góc giữa hai mặt phẳng : với là VTPT của 2 mặt phẳng
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Chú ý :
- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến
-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x0;y0;z0) và có 1véctơ pháp tuyến = (A; B; C) phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)= 0.
-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(a) ta đi tìm 2 véctơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(a) khi đó là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(a).
Dạng 1:Viết phương trình mp điểm đi qua M0(x0;y0;z0) và 1 véctơ pháp tuyến . 
Phương pháp giải:	
B1: Mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có 1 véctơ pháp tuyến .
B2: Viếtphương trình mp() theo công thức: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ: 
Viết phương trình mặt phẳng () đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là 
Giải:
Mặt phẳng () đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT Þ phương trình là:
 2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 Û 2x-3y+5z-12 =0 
Dạng 2:Viết phương trình mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:	
B1: Tìm toạ độ 
	B2: Tìm 
	B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có: 
Þ
Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT Þ phương trình là:
 -5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 Û -5x+4y-2z =0 Û 5x-4y+2z=0.
Dạng 3:Viết phương trình mp(a) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0 .
Phương pháp giải:
	B1:Do mp//mp(): Ax+By+Cz+D=0Þ phương trình mpcó dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m¹D)
	B2: mp đi qua điểm M0Þ ta có Ax0 + By0 + Cz0 + m=0Þ m thoả điều kiện m¹D
Þ phương trình mp
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0 (D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 Û D=7 (nhận). Vậy phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
Dạng 4:Viết phương trình mp song song với mp(): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).
Phương pháp giải:
	B1: Do mp//mp(): Ax+By+Cz+D=0Þ phương trình mpcó dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m¹D)
	B2: Giải phương trình d(M;)= k tìm được m thoả m¹DÞphương trình mp(). 
Ví dụ:: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp():5x+y-7z+3=0. Viết phương trình mp(a) //mp() và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2. 
Giải
Mp(b) có một VTPT là , mp (a) //mp() Þ phương trình mp(a) có dạng:
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
 Do mp(a) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 Û d(A;(a))=2 Û (nhận)
Þ phương trình của mp(a) là: 
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. ()	
Phương pháp giải:
	B1: Tìm toạ độ điểm M0 d và VTCP của d. Tìm 
	B2: Tìm 
 B3: Viết PT mặt phẳng()đi qua điểm A và nhận làm VTPT.
Ví dụ:Lập phương trình mặt phẳng (a) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.
Giải
Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP , 
Þ=(0;3;-2). Mặt phẳng () đi qua điểm A và nhận =(0;3;-2) làm một VTPT, phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 Û 3y-2z=0.
Cách khác: 
Phương trình mặt phẳng() chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1)
Do mặt phẳng() đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 Þ C= -2 Þ phương trình mặt phẳng () là: 3y-2z=0.
Dạng 6:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
	B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận làm VTPT.
	B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1), .
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là Þ phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 Û 2x-4y+2z-2=0
Dạng 7: 
 Viết phương trình mặt phẳng//: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
	B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp()//mpÞphương trình mặt phẳng() có dạng Ax+By+Cz+m=0(*) (m≠D)
B3: Mặt phẳngtiếp xúc với mặt cầu (S)Û d(I,())=R giải phương trình này tìm được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng().
Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) : và mặt cầu (S) : . Viết phương trình mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 
HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và 
 Phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 
Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: 
Giải phương trình ta được: . Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương trình là: và .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?
	A.	B.	C.	D.
Câu 1’: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)
	A.	B.	C.	D.
Câu 2: Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
A.Phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: B.phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: 
C.phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: D.phương trình của mặt phẳng (Oxy) là: 
Câu 2: Mặt phẳng nào sau đây chứa trục Oy ?
A. -2x – y = 0.	B. -2x + z =0.	C. –y + z = 0.	D. -2x – y + z =0.
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
	A.	B.	C.	D.
Câu 4. Mặt phẳng qua 3 điểm có phương trình.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng và là:
	A.	B.	C.	D.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và song song với đường thẳng .
	A.	B.
	C.	D.
Câu 7: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng và . Phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 có dạng:
	A.	B.
	C.	D.
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;-3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ , vuông góc với mặt phẳng đồng thời cách điểm I một đoạn bằng 4 .
A. (P): hoặc (P): .	
B. (P): hoặc (P): .	
C. (P): hoặc (P): .	
D.(P): hoặc (P): .
Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng .
A. ,	 B. ,	
C. ,	D. ,
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng .
	A. (Q):	B. (Q):	
 C. (Q):	D. (Q):
Câu 11. Trong không gian cho mặt phẳng và hai điểm Viết Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng .
	A.	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Cho hai đường thẳng 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (D1) và song song với (D2)
	A.	B.
	C.	D.
Câu 13. Phương trình mặt phẳng chứa và là.
	A. 	B. 
 C. 	D. Tất cả đều sai.
Câu 14. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 điểm A(1;0;1) và B(-1;2;2) và song song với trục Ox.
A. x + 2z – 3 = 0. B.y – 2z + 2 = 0. C. 2y – z + 1 = 0. D. x + y – z = 0.
Câu 15. Trong không gian oxyz cho đường thẳng d: và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất .
A.	B. 	C. 	D. 
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng:là VTCP của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với đường thẳng d.
Chú ý. Hai vectơ không cùng phương có giá ^d thì là VTCP của d.
2) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số: , với là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc: . 
3) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: 
Cho đường thẳng (d) qua M(x0 ;y0 ;z0), có VTCP = ( a; b; c) và mặt phẳng (a ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT 
 (d) cắt (a ) ÛÛ Aa +Bb +Cc ¹ 0
Û
ÛÛ
Đặc biệt d^(a )Ûvà cùng phươngÛ
4) Vị trí tương đốicủa hai đường thẳng: 
Cho đường thẳng qua điểm có VTCP và đường thẳng qua điểm có VTCP . Khi đó:
- cùng phương và hoặc 	
- cùng phương và hoặc 
- và cắt nhau . 
- và chéo nhau 
Đặc biệt 
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP :
Chú ý :
 - Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ chỉ phương
 - Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có 1 véctơ chỉ phương phương trình tham số là: . Nếu a.b.c ¹ 0 thì phương trình chính tắc là:
	-Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 véctơ không cùng phương có giá vuông góc với d khi đó là một véctơ chỉ phương của d.
Dạng 1:Đường thẳng d đi qua A có một véctơ chỉ phương 
Phương pháp giải:
B1:Chỉ rõ (d) đi qua A(x0;y0;z0) có một véctơ chỉ phương 
B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP .
Giải:
Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP . Phương trình chính tắc là :. Phương trình tham số là 
Dạng 2:Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B.
Phương pháp giải:
	B1 : Tìm véctơ 
B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)
Giải:
Ta có:
Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là Phương trình tham số là 
Dạng 3:Đường thẳng d qua A và song song D
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương của D
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với D: 
Giải:
Đường thẳng D có 1 VTCP là 
Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là Þ phương trình là: 
Dạng 4:Đường thẳng d qua A và vuông góc mp(a)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của mp(a)
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P): 
Giải:
Mp(P) có 1 VTPT là: 
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) vuông góc với (P) nên có 1 VTCP là: Þ phương trình chính tắc là: 
Dạng 5:Đường thẳng d qua A và vuông góc d1, d2 ( d1 không song song hoặc trùng d2)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương của (d1),véctơ chỉ phương của (d2)
B2: Tính 
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d1): và (d2): 
Giải:
Đường thẳng d1 có 1 VTCP là . 
Đường thẳng d2 có 1 VTCP là Þ.
 Đường thẳng d có 1 VTCP là và đi qua M(1;1;4) Þ phương trình là: 
Dạng 6:Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: 
B2: Tính 
B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y0; z0ÞA(0; y0; z0) là một điểm thuộc giao tuyến
B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ :
 Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là . 
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là . Þ.
Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ :Þd đi qua A(0 ;4 ;3). Mặt khác d có 1 VTCP Þphương trình là: 
Dạng 7:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P), (Q).
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: 
B2: Tính 
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Giải .
Ta có P = (2; 3; -2); Q=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là = [P, Q] = (-3; - 4; -9).
 Phương trình tham số của d là: 
Dạng 8:Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng D.
Phương pháp giải:
B1:Đưa phương trình đường thẳng D về dạng tham số .
B2 :Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng D.
	B3: Gọi B= dÇDÞB(x0+at ; y0+bt ; z0+ct) Þ
	B4: Do d vuông góc với DÛ.= 0 Þ t Þ
	B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình 
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), cắt và vuông góc với d’.
Giải
Đường thẳng d’ có 1VTCP là (1; -1; 2) 
Gọi B= dÇd’Þ BÎd’ Þ B(t ; 1 - t ; 2t) Þ(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
Do dd’ Û 6t + 4 = 0 Û t = =>
Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP 
Vậy phương trình của d là : 
Dạng 9:Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc với đường thẳng D.
Phương pháp giải:
B1:Tìm giao điểm A của (P) và D.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng D.VTPT của mp(P)	
B3: 
	B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP 	
Ví dụ:Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với và cắt .
Giải
Gọi A= Ç(P) Þtoạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ 
ÞA(0 ;-1 ;4)
đường thẳng có 1 VTCP =(-1;2;1), mp(P) có một VTPT 
d nằm trong (P) vuông góc với Þ d có 1 VPCP và d đi qua A(0 ;-1 ;4) Þ phương trình tham số của d là 
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là:
A.	B.	C.	D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Vectơ nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A.	B.	C.	D.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng (d).
A.	B.	C.	D.
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với là:
A.	B.
C.	D.
Đường thẳng d cắt tại điểm M. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng có phương trình là
A.	B.	C.	D. 
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2;3) và có VTCP là 
 A. B. C. D. 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ: .
	A. (d): 	B. (d): 
	C. (d): 	D. (d): 
Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(3;2;4) và vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x-2y+4z-1=0
A.	B. 	C. D.
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1; 2; –3) và B(3; –1; 1) là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương trình chính tắc của d đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1) là:
 A. B. 
 C. D. 
Viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0; (Q): x + y + z – 1 = 0
	A. (d): 	B. (d): 
	C. (d): 	D. (d): 
Cho đường thẳng .Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox .
A.	B.	C.	D.
Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (d1): và (d2): 
	A. (d):	B. (d): 	C. (d): 	D. (d): 
Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Cho mặt phẳng và đường thẳng . Đường thẳng d đi qua điểm , cắt đường thẳng và song song với mặt phẳng có phương trình là
A. 	B. 
C. 	D. 
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỂM:
A.Một số bài toán về tìm điểm:
Daïng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp giải:
Cách 1: Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ 
Cách 2:
B1: Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số. 
B2: Gọi M=dÇ(a) Þ MÎd Þ toạ độ M theo tham số t.
 B3: Mặt khác MÎ(a), thế toạ độ M vào phương trình mặt phẳng (a) giải phương trình tìm được t Þ M. 
Ví dụ : Cho đường thẳng D: và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0. Tìm toạ độ giao điểm H của D và mặt phẳng (P)
Giải :
Cách 1: Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ 
Cách 2 :
Đường thẳng D có phương trình tham số là: . Do H=DÇ(P)ÞHÎDÞH(2+t;1+2t;t). Mặt khác HÎ(P) nên ta có: 2 + t +1+2t – t +3 = 0 Û t = -3 ÞH(-1;-5;-3)
Dạng 2:Tìm hình chiếu H cuûa M trên mp(P)
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTPT của mp(P)
B2: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc mp(P) .
B3: Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)
Ví dụ :
Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A(0, 0, 1) trên mặt phẳng (P)
Giải:
 Ta có Mp(P) có VTPT = (6, 3, 2)
 Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)Þ d có VTCP Þ phương trình là:
 H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Þ H=d Ç(P)Þ HÎd ÞH(6t;3t;1+2t). Mặt khác HÎ(P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0ÞÞ H 
Dạng 3:Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) 
Phương pháp giải:
Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) .
M/ đối xứng với M qua (P) Û H là trung điểm của MM/ nên : 
Ví dụ : Cho mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với qua mặt phẳng (P).
Giải:
. Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta có (đã giải trong bài tìm hình chiếu của M trên mp). 
Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’ÞÞ
Dạng4:Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d 
Phương pháp giải:
Cách 1 :
Tìm VTCP của d
Viết phương trình mp(a) qua M và vuông góc với đường thẳng d: ta có 
Toạ độ H là nghiệm cûa hpt :
Cách 2 :
Phương trình tham số của d là , d có VTCP = (a, b, c)
Do H là hình chiếu của A trên d Þ HÎd Þ H(x0 +a t; y0+bt ; z0+ct) Þ
Mặt khác ta có : Þ H.
Ví dụ: Cho đường thẳng và điểm . Tìm tọa độ hình chiếu của A lên đường thẳng d.
Cách 1 :
Giải:
. d có VTCP 
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc dÞ (P) có VTPT , phương trình mặt phẳng (P):
. H là hình chiếu của A lên d nên H=dÇ (P) Þ HÎd ÞH(2+t;-3-t;-t) mặt khác HÎ(P) Þ ta có phương trình 2+t+3+t+t+7=0 Þ t= -4 Þ
Cách 2 :
Giải:
. Phương trình tham số của d có VTCP 
. 
. H là hình chiếu của A lên d nên H=dÇ (P) Þ HÎd ÞH(2+t;-3-t;-t) Þ Mặt khác ta có AH^d ÞÛ 1+t+6+t+5+t=0 Þ t= -4 Þ
Daïng 5:Tìm điểm M / đối xứng với M qua đt d
Phương pháp giải:
Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
M/ đối xứng với M qua d Û H là trung điểm của MM/ nên : 
Ví dụ: Cho đường thẳng và điểm . Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng d.
Giải:
 H là hình chiếu của A lên d, ta có H(-2;1;4) (Trong ví dụ bài toán hình chiếu của A trên d đã giải). 
 Vì A’ đối xứng A qua đường thẳng d nên nên H là trung điểm của AA’ nên ta có: . Vậy 
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và
(Q): mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0.
	A. m = –2 V m = 2	B. m = –2 V m = 4	C. m = 2 V m = 4	D. m = –4 V m = 2
Câu 2. Xác định m ,n ,p để cặp mặt phẳng sau song song 
( P ) : 2x -3y -5z + p = 0, ( Q ) : ( m+2 ) x + ( n – 1 )y +10z -2 = 0
 A . m = 2 , n = -3 , p 5 B . m = - 2 , n = 3 , p 1
 C . m = -6 , n = 7 , p 1	 D. m = 6 , n = -4 , p 2
Câu 3. Cho đường thẳng và mặt phẳng . Trong các khẳng định sau, tìm