Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức về lũy thừa
Với a, b là những số thực dương, m và n là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
2. Công thức liên quan đến căn bậc n
Chú ý: Trong hai công thức đầu, nếu n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 thì a, b là số thực bất kì, 
nếu n là số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 thì a, b là số thực không âm.
3. Công thức về lôgarit
Với a, b và c là những số thực dương; . Ta có:
Định nghĩa
Công thức tính lôgarit
Công thức đổi cơ số 
có nghĩa khi 
Lôgarit thập phân (cơ số 10): hay .
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số , viết tắt là 
4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
Hàm số mũ: với Tập xác định Tâp giá trị 
 Hàm số đồng biến trên khi, nghịch biến trên khi 
Hàm số lôgarit: với Tập xác định . Tâp giá trị 
 Hàm số đồng biến trên khi nghịch biến trên khi 
5. Phương trình và bất phương trình mũ
6. Phương trình và bất phương trình lôgarit	
	7. Công thức lãi kép
 a) Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của kì trước.
 b) Công thức: Giả sử số tiền gốc là ; lãi suất /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm). 
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau kì hạn gửi là 
● Số tiền lãi nhận được sau kì hạn gửi là 
B. LUYỆN TẬP
1. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Áp dụng lý thuyết Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Do đó hàm số xác định khi . Chọn D.
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số .
	A. 	B. 	
	C. 	D. .
Lời giải. Áp dụng lý thuyết Lũy thừa với số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
Do đó hàm số đã cho xác định khi Chọn B.
Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải. Hàm số xác định khi Chọn B.
Câu 4. Rút gọn biểu thức với 
 A. 	 B. 	C. 	D. 
Lời giải. Cách dùng MTCT. Chọn ví dụ như chẳng hạn.
Tính giá trị rồi lưu vào 
Tiếp theo ta tính hiệu, ví dụ như đáp án A ta cần tính . Nếu màn hình máy tính xuất hiện kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đáp án A đúng. 
Đáp số chính là B. Chọn B.
Câu 5. Rút gọn biểu thức với .
 A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn C.
Câu 6. Với giá trị nào của thì đẳng thức đúng?
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Ta có Chọn B.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của thỏa mãn .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Ta có Chọn C.
Câu 8. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
 	A. 210 triệu. 	B. 220 triệu. 	C. 212 triệu. 	D. 216 triệu.
Lời giải. Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là triệu.
Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là triệu.
Vậy tổng số tiền là triệu.Chọn C.
Câu 9. Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn một tháng với lãi suất một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác An.
	A. đồng.	B. đồng.	
	C. đồng.	D. đồng.
Lời giải. Số tiền nhận về sau 15 tháng của 140 triệu gửi trước là triệu.
Số tiền nhận về sau 15 tháng của 180 triệu gửi sau là triệu.
Suy ra tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác An thu được là
 triệu.
Suy ra số tiền lãi: đồng. Chọn D.
Câu 10. Để quảng bá cho sản phẩm A, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức . Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 
	. Vậy cần phát ít nhất 203 lần quảng cáo. 
Chọn B.
Câu 11. Tập xác định của hàm số bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Điều kiện xác định: . Chọn C
Câu 12. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương. (II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
	(III). với mọi . (IV) , với mọi .
Số mệnh đề đúng là:
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Lời giải. Cơ số của lôgarit phải là số dương khác . Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.
Ta có với mọi . Do đó (III) sai.
Ta có với mọi . Do đó (IV) sai. 
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng. Chọn A.
Câu 13. Với là một số thực dương tùy ý, bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Ta có : . Chọn D
Câu 14. Tính giá trị của biểu thức với 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Ta có . Chọn B. 
Cách trắc nghiệm: Chọn và bấm máy.
Câu 15. Cho là số thực dương và khác . Tính giá trị biểu thức 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Với , ta có Chọn D. 
Câu 16. Cho hàm số với . Tính giá trị biểu thức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Khi đó 
Suy ra Chọn C. 
Câu 17. Xét các số thực và thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Ta có: 
 . Chọn D.
Câu 18. Cho ba điểm , với , . Biết là trọng tâm của tam giác với là gốc tọa độ. Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Vì là trọng tâm của tam giác nên 
 Chọn A.
Câu 19. Cho là các số thực dương thỏa mãn Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn D.
Câu 20. Cho là các số thực khác thỏa mãn . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Giả sử 
Ta có 
 Chọn C. 
Câu 21. Đặt Tính theo và 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn D.
Câu 22. Cho . Tính giá trị biểu thức 
	A. 	B. . 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có . Chọn C.
Câu 23. Cho và , với . Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn D.
Câu 24. Cho . Tính giá trị biểu thức theo và .
	A. . 	B. . 	
	C. . 	D. .
Lời giải. Ta có 
 Chọn C.
Cách 2. Dùng MTCT:
Bấm máy và lưu vào biến A; Bấm máy và lưu vào biến B.
Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu phải bằng 0.
Nhập vào màn hình với A, B là các biến đã lưu và nhấn dấu =. 
Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.
Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.
Câu 25. Với mọi là các số thực dương thoả mãn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Ta có .Chọn D.
Câu 26. Cho là các số thực dương và khác . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Lời giải. Ta có A sai.
 D sai.
 C sai.
 B đúng. Chọn B.
Câu 27. Cho hai số thực và , với . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Lời giải. Ta có Chọn D.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên thỏa ?
A.	B.	C.	D.Vô số.
Lời giải. Ta có .
Từ đó suy ra có giá trị nguyên thỏa đề bài. Chọn A.
Câu 29. Tìm tập xác định của hàm số .
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Lời giải. Hàm số xác định 
Vậy tập xác định của hàm số là . Chọn C.
Câu 30. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. .	B. . 	
	C. .	D. .
Lời giải. Hàm số xác định . Chọn D.
Câu 31. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Hàm số xác định Chọn D.
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có tập xác định là .
	A. ; . 	B. . 	C. ; . 	D. .
Lời giải. Ycbt . Chọn B.
Câu 33. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Hàm số xác định . Chọn A.
Câu 34. Tìm tập xác định của hàm số 
	A. . 	B. . 
	C. . 	D. .
Lời giải. Hàm số xác định 
. Chọn C.
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số 
	A. . 	 B. . 	 C. . 	 D. .
Lời giải. Áp dụng công thức , ta có 
. Chọn B.
Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Chọn C. 
Câu 37. Tính đạo hàm của hàm số 
	A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Lời giải. Áp dụng , ta được Chọn C.
Câu 38. Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Lời giải. Ta có 
Lại có 
Ta thấy . Chọn B.
Câu 39. Gọi và lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên đoạn . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. . 	B. 	C. . 	D. .
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn .
Đạo hàm . Do đó hàm số nghịch biến trên . 
Suy ra Chọn C. 
Câu 40. Biết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn tại . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn .
Đạo hàm .
Suy ra 
Ta có GTLN của hàm số bằng , đạt tại . Chọn D.
Câu 41. Tính giá trị cực tiểu của hàm số 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên 
Ta có 
Bảng biến thiên 
y'
y
x
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị cực tiểu . Chọn C. 
Câu 42. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ?
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Lời giải. Áp dụng lý thuyết 
Hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi .
Trong các hàm số đã cho chỉ có hàm số đồng biến vì cơ số . Chọn C.
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến.
	A. . 	B. . 	
	C. .	D. 
Lời giải. Hàm số đồng biến khi Chọn D. 
Câu 44. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 
	A. .	 B. .
	 C. .	 D. .
Lời giải. Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: tăng nhưng giảm. Suy ra hàm số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến. Loại A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 45. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Lời giải. Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng . Loại đáp án A, C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ nên chỉ có D thỏa mãn. Chọn D.
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
	Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là . Chọn B.
Câu 2. Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Ta có . Chọn A.
Câu 3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình .
	A. 	B. 	C. 	D. 
	Lời giải. Ta có 
	 Chọn A.
Câu 4. Biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất . Khẳng định nào sau đây đúng?
	A. là số nguyên tố. 	B. là số chính phương.
	C. chia hết cho 	D. là số chẵn. 
Lời giải. Phương trình 
. Chọn C.
Câu 5. Biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất . Tính giá trị biểu thức 
	A. 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Ta có 
	Khi đó Chọn A.
Câu 6. Cho phương trình . Khi đặt , ta được:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
	Khi đặt , thay vào phương trình ta được . Chọn C.
Câu 7. Tính là tích tất cả các nghiệm của phương trình 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. 
Lời giải. Phương trình .
	Đặt Phương trình trở thành hoặc .
Với 
	Với 
	Vậy Chọn B.
Câu 8. Phương trình có bao nhiêu nghiệm không âm?
	A. 0. 	B. 1. 	C. 2. 	D. 3.
Lời giải. Phương trình tương đương với .
	Đặt , . Phương trình trở thành .
Với , ta được .
	Vậy chỉ có duy nhất nghiệm là nghiệm không âm. Chọn B.
Câu 9. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Điều kiện: 
	Ta có 
	Vì Chọn C.
Câu 10. Tính là tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có .
	Đặt . Phương trình trở thành 
 Chọn C.
Câu 11. Gọi là tập nghiệm của phương trình . Tập có bao nhiêu phần tử?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Phương trình 
	Đặt Phương trình trở thành 
 Chọn C.
Câu 12. Gọi lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình . Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Phương trình 
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Ta có: . 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . Chọn C
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của thỏa mãn 
A. 	B. 	
C. 	D. ; 
Lời giải. Do nên bất phương trình 
	 Chọn D
Câu 15. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của thỏa mãn bất phương trình ?
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Bất phương trình 
	.
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
	Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc là Chọn A.
Câu 16. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình . Khi đó có dạng với . Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Bất phương trình 
	Đặt , . Bất phương trình trở thành .
 Chọn C.
Câu 17. Gọi lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình . Tính 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Bất phương trình tương đương với .
Đặt , . Bất phương trình trở thành .
 Chọn C.
Câu 18. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
	A. 1.	B. 2.	C. 3.	D. 0.
Lời giải. Điều kiện: 
Phương trình 
 Chọn A.
Câu 19. Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Điều kiện: 
	Phương trình 
Câu 20. Số nghiệm của phương trình là:
	A. 0. 	B. 1. 	C. 2. 	D. Nhiều hơn .
Lời giải. Điều kiện: .
	Phương trình 
	 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 21. Biết rằng phương trình có hai nghiệm và Hãy tính tổng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Điều kiện: 
Phương trình 
Ta có Chọn A.
Câu 22. Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số . Tìm điều kiện của để điểm nằm phía trên đường thẳng .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Lời giải. Đồ thị nằm ở phía trên đường thẳng khi .Chọn B.
Câu 23. Tìm tập nghiệm của bất phương trình , biết thuộc 
	A. .	B. . 	C. .	D. .
Lời giải. Điều kiện: 
Do là nghiệm của bất phương trình đã cho nên 
Vì nên bất phương trình 
 Chọn A.
Câu 24. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 
	A. . 	B. . 	C. .	D. 
	Lời giải. Điều kiện: 
	Bất phương trình .
	Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bpt là . Chọn D.
Câu 25. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình Kí hiệu lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 	B. . 	C. 	D. 
Lời giải. Điều kiện: 
Bất phương trình 
 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .
Suy ra và nên Chọn A.
Câu 26. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình ?
	A. 20.	B. 18.	C. 21.	D. 19.
Lời giải. Điều kiện: .
Bất phương trình 
	Kết hợp với điều kiện, ta được . Chọn B.
Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm.
	A. . 	B. . 	C. ; . 	D. .
Lời giải. Ta có 
Vì có miền giá trị là nên có miền giá trị là , do đó phương trình có nghiệm Chọn B.
Chúy ý: Cần phải nói rõ có miền giá trị là thì mới kết luận được có miền giá trị là . Sai lầm hay gặp là phương trình có nghiệm thì đúng, còn phương trình có nghiệm nói chung không đúng. Ví dụ như hàm số có miền giá trị là 
Câu 28. Tìm giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm thực thỏa mãn 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
	Đặt , phương trình trở thành .	 
	Để phương trình đã cho có hai nghiệm phương trình có hai nghiệm dương
Theo định lí Viet, ta có (thỏa). Chọn C.
	Cách trắc nghiệm. Thử lần lượt 4 đáp án để chọn.
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình có nghiệm thực.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Điều kiện: . Đặt , với suy ra . 
Bất phương trình đã cho trở thành .
Ycbt phương trình có nghiệm với .
Ta có . Suy ra .
Từ đó suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Câu 30. Tính giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 
A. 	B. 	C. 	D. 
 ..