40 Chuyên đề ôn thi THPT môn Toán học Lớp 12 - Năm 2021

DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Biện luận m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện k (hàm số khác)
 (Mã 101 2019) Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình 
(1)
Hàm số .
Ta có 
nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , , , , .
Mặt khác ta có và .
Bảng biến thiên hàm số :
Do đó để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt .
 (Mã 103 2019) Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Xét 
Ta có 
Có 
Dễ thấy , ta có bảng biến thiên
Hai đồ thị cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biện khi và chỉ khi phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt, từ bảng biến thiên ta có: .
 (Mã 102 2019) Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng 4 điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện và .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm
Đặt tập và .
Đặt .
.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
; nên ta có bảng biến thiên
Do đó để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì .
 (Mã 104 2019) Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hoành độ
(1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của
Ta có .
Mặt khác 
.
Bảng biến thiên
Để phương trình có 4 nghiệm thì .
Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số để và cắt nhau tại nhiều hơn hai điểm phân biệt.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
 (1).
Đặt .
Ta có với mọi thuộc các khoảng sau , , ,và nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có và .
Bảng biến thiên hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại năm điểm phân biệt nên và luôn cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt với mọi giá trị của . Kết hợp điều kiện nguyên thuộc nên . Khi đó tổng tất cả các giá trị là .
Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Có bao nhiêu số nguyên thuộc để và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
 (1).
Đặt .
Ta có với mọi thuộc các khoảng sau , , và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có và .
Bảng biến thiên hàm số
Do đó để và cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi .
Do nguyên thuộc nên . Vậy có tất cả 2692 giá trị thỏa mãn.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại điểm phân biệt?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
Điều kiện: 
Ta có:
Xét hàm số trên 
Nhận thấy, hàm số liên tục trên các khoảng 
Ta có, 
 với 
Suy ra, hàm số đồng biến trên .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại điểm phân biệt khi .
Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
.
Đặt .
Ta có 
với mọi thuộc các khoảng sau , , và nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó
Mặt khác ta có và và .
Bảng biến thiên hàm số
Do đó để và cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 5 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 5 điểm phân biệt khi và chỉ khi 
Cho hai hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là và . Số các giá trị nguyên thuộc khoảng để và cắt nhau tại năm điểm phân biệt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
 (1).
Đặt .
Ta có 
với mọi thuộc các khoảng sau ,, ,,và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Mặt khác ta có và và .
Bảng biến thiên hàm số
Do đó để và cắt nhau tại đúng năm điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có năm nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại năm điểm phân biệt khi , do nguyên thuộc nên . Vậy có tất cả 21 giá trị thỏa mãn.
Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình
 nghiệm đúng với mọi . Số phần tử của tập là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt 
Ta có . Giả sử không phải là nghiệm của phương trình thì hàm số sẽ đổi dấu khi qua điểm , nghĩa là không có nghiệm đúng với mọi .
Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là phải có nghiệm , suy ra 
Điều kiện đủ:
Với khi đó không thỏa mãn điều kiện nghiệm đúng với mọi . (loại)
Với , .
Vậy .
Có bao nhiêu cặp số thực để bất phương trình nghiệm
đúng với mọi 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt 
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình thì hàm số sẽ đổi dấu khi qua điểm , nghĩa là không có nghiệm đúng với mọi .
Do đó, để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là có nghiệm suy ra (1)
Lí luận tương tự có cũng phải nhận là nghiệm, suy ra (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ 
Điều kiện đủ:
Với có , .
Vậy không tồn tại cặp số thực nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong số các cặp số thực để bất phương trình nghiệm đúng với mọi , tích nhỏ nhất bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt và 
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình thì hàm số sẽ đổi dấu khi qua điểm , nghĩa không có nghiệm đúng với mọi .
Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là có nghiệm suy ra hoặc hoặc là phương trình có hai nghiệm và 
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: phương trình có hai nghiệm và 
Ta thay vào phương trình có . Với có phương trình 
Vì cũng là nghiệm của phương trình nên .
Trong trường hợp 1: suy ra tích nhỏ nhất khi 
Và với , tích thì bất phương trình đã cho tương đương với
 thỏa mãn với mọi (nhận)
Trong trường hợp 2: Tích 
Vậy tích nhỏ nhất khi .
Cho 2 hàm số và ( là tham số thực) có đồ thị lần lượt là , . Tập hợp tất cả các giá trị của để cắt là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
.
Xét hàm số .
Ta có .
.
; .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình luôn có nghiệm với mọi .Vậy để cắt thì .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực thuộc đoạn để phương trình có nghiệm thực?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Đk: .
Phương trình đã cho . (*)
Đặt , với .
Có . Suy ra nghịch biến trên khoảng .
: .
Từ (*) .
Nếu (vô lí).
Nếu , ta có .
Có .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi .
Do đó .
Vậy có giá trị nguyên của tham số thực .