Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Chiến-Nguyễn Hồng Quân

Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 1 
 TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TOÁN 12 
PHÆN 1. HÀM SỐ 
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
1. Đðnh nghïa 
 x x K x x
1 2 1 2
, , ( K là khoâng hoặc đoạn hoặc nửa khoâng). 
 f x f x1 2 
 y f x đồng biến trên K đồ thð đi lên tÿ trái sang phâi. 
 f x f x1 2 y f x nghðch biến trên K đồ thð đi xuống tÿ trái sang phâi. 
Chú ý: + N u  f x x a b0, ; hàm s f x đ ng bi n tr n khoâng a b; . 
 + N u 0, ;f x x a b  hàm s f x nghðch bi n trên khoâng a b; . 
 + N u  f x x a b0, ; hàm s f x
 h ng đ i trên khoâng a b; .
 + N u f x đ ng bi n trên khoâng  a b f x x a b; 0, ; . 
 + Nếu f x nghðch bi n trên khoâng a b f x x a b; 0, ; .  
2. Quy tắc và công thức tính đäo hàm 
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x v v x C; ; : là hìng số . 
Tổng, hiệu: u v u v . 
Tích: u v u v v u C u C u. . . . . . 
Thương: 
u u v v u C C u
v
v uv u2 2
. . .
, 0 
Đạo hàm hàm hợp: Nếu x u xy f u u u x y y u, . . 
Bâng công thức tính đäo hàm: 
Đäo hàm của hàm sơ cçp Đäo hàm của hàm hợp 
 C 0
(C là hìng số). x x 1. 
 x x 1. 
x
x x 2
1 1
( 0) 
 x x
x
1
0
2
 1. .u u u 
u
u
u u2
1
0
 uu u
u
0
2 
 x xsin cos u u usin .cos 
 x xcos sin u u ucos .sin 
Nguyễn Chiến - Nguyễn Hồng Quân 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 2 
 x
x2
1
tan
cos
u
u
u2
tan
cos
 x
x2
1
cot
sin
u
u
u2
cot
sin
 x xe e u ue u e. 
 x xa a a. ln u ua u a a. . ln 
 x
x
1
ln 
u
u
u
ln
1
log
lna
x
x a
a
u
u
u a
log
.ln
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: 
ax b ad bc
cx d cx d
2
. ; 
c b c
f e f
a b a
x x
d e dax bx c
dx ex f dx ex f
2
2
2 2
2
2
.
Đạo hàm cấp 2 : 
 + Đðnh nghïa: f x f x 
 + Ý nghïa cơ học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s f t täi thąi điểm t0 là: 
 a t f t0 0 . 
* Một số chú ý: 
 Nếu hàm số f x và g x cùng đồng biến (nghðch biến) tr n K thì hàm số 
 f x g x 
 cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể kh ng đúng đối vĆi hiệu 
 f x g x . 
 Nếu hàm số f x và g x là các hàm số dþĄng và cùng đồng biến (nghðch biến) tr n 
K thì hàm số f x g x. cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K. Tính chçt này cò thể 
kh ng đúng khi các hàm số f x g x, kh ng là các hàm số dþĄng trên K. 
 Cho hàm số u u x , xác đðnh vĆi x a b; và u x c d; . Hàm số f u x 
cüng xác đðnh vĆi x a b; . 
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. 
Giâ sā hàm số f cò đäo hàm trên K 
 Nếu f x' 0 vĆi mọi x K và f x' 0 chî täi một số hĂu hän điểm x K thì 
hàm số f đồng biến trên K . 
 Nếu f x' 0 vĆi mọi x K và f x' 0 chî täi một số hĂu hän điểm x K 
thì hàm số f nghðch biến trên K . 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 3 
Chú ý: 
 * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tî 
ax b d
y x
cx d c
thì dçu " " khi xét dçu đäo 
hàm y không xây ra. 
Giâ sā y f x ax bx cx d f x ax bx c3 2 23 2 . 
Hàm số đồng biến trên 
a
f x x a
b
c
0
0
0; .0
0
0
  
Hàm số nghðch biến trên 
a
f x x a
b
c
0
0
0; .0
0
0
  
 Trþąng hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c 0 thì f x d 
(Đþąng thîng song song hoðc trùng vĆi trýc Ox thì kh ng đĄn điệu) 
 * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu một chiều trên khoâng cò độ 
dài bằng l ta giâi như sau: 
 BþĆc 1: Tính y f x m ax bx c2; . 
 BþĆc 2: Hàm số đĄn điệu trên x x y1 2; 0 có 2 nghiệm phân biệt 
a
0
0
 * 
 BþĆc 3: Hàm số đĄn điệu trên khoâng cò độ dài bìng l 
 x x l x x x x l
2
2
1 2 1 2 1 2
4 2 24 S P l * * 
 BþĆc 4: Giâi * và giao vĆi * * để suy ra giá trð m cæn tìm. 
CỰC TRỊ HÀM SỐ 
1. Đðnh nghïa 
Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K và x K
0
. 
 + 
0
x là điểm cực tiểu cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng ;a b chĀa x 0 sao cho 
 ;a b K và   f x f x x a b x0 0, ; \ . 
Khi đò 0f x đþợc gọi là giá trð cực tiểu cûa hàm số f . 
 +x
0
 là điểm cực đäi cûa hàm số f nếu tồn täi một khoâng a b; chĀa x 0 sao cho 
 ;a b K và   f x f x x a b x0 0, ; \ . 
Khi đò f x0 đþợc gọi là giá trð cực đäi cûa hàm số f . 
 + Điểm căc đäi và điểm căc tiểu gọi chung là điểm cực trð. 
 + Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu gọi chung là cực trð. 
+ Điểm căc đäi và điểm căc tiểu đþợc gọi chung là điểm cực trð của hàm số và điểm 
căc trð phâi là một điểm trong têp hợp K. 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 4 
+ Giá trð căc đäi và giá trð căc tiểu đþợc gọi chung là giá trð cực trð (hay cực trð) 
của hàm số. 
+ Nếu 
0
x là điểm căc trð cûa hàm số thì điểm x f x0 0; ( ) đþợc gọi là điểm cực trð 
của đồ thð hàm số f . 
2. Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð 
Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y f x đät căc trð täi điểm x 0 . Khi đò, nếu y f x cò đäo hàm 
täi điểm x
0
 thì f x0 0. 
Chú ý: 
 Đäo hàm f x có thể bìng 0 täi điểm 0x nhþng hàm số f kh ng đät căc trð täi 
điểm 
0
x . 
 Hàm số có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm. 
 Hàm số chî có thể đät căc trð täi một điểm mà täi đò đäo hàm cûa hàm số bìng 0 
hoðc täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm. 
3. Điều iện đủ để hàm số đät cực trð 
Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x
0
. Khi đò, nếu hàm số f cò đäo hàm täi 
điểm x
0
 thì 0' 0f x . N u f x 0 tr n khoâng x h x0 0; và f x 0 trên khoâng 
 x x h0 0; thì x 0 là m t đi m cþ c đa i cûa hàm s f x . 
 N u f x 0 trên khoâng x h x0 0; và f x 0 trên khoâng 0 0;x x h thì 
x
0
 là m t đi m cþ c ti u cûa hàm s f x . 
Quy tắc tìm cực trð 
Quy tắc 1: 
 Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f x . 
 Bước 2: Tìm các điểm 
i
x i 1;2;... mà täi đò đạo hàm của hàm số bằng 0 hoðc 
hàm số liên tục nhưng không cò đạo hàm. 
 Bước 3: Lêp bâng biến thiên hoðc bâng xét dçu f x . Nếu f x đổi dấu khi đi 
qua 
i
x thì hàm số đät căc trð täi 
i
x . 
Đðnh lí 3: Giâ sā y f x có đäo hàm cå p 2 trong khoâng x h x h0 0; vĆi h 0. 
 Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đät căc đäi täi x0. 
 Nếu 0 0,f x f x0 0 thì hàm số f đät căc tiểu täi x0. 
Từ đðnh lí trên, ta cò một quy tắc khác để tìm cực trð của hàm số 
Quy tắc 2: 
 Bước 1: Tìm têp xác đðnh. Tìm f x . 
 Bước 2: Tìm các nghiệm 
i
x i 1;2;... cûa phþĄng trình f x 0. 
 Bước 3: Tính f x và tính if x . 
 Nếu if x 0 thì hàm số f đät căc đäi täi điểm ix . 
 Nếu if x 0 thì hàm số f đät căc tiểu täi điểm .ix 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 5 
MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 
I. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: 
1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước 
 ài to n t ng qua t: Cho hàm số y f x m ax bx cx d3 2; . Tìm tham số m để hàm 
số có căc đäi, căc tiểu täi x x
1 2
, thóa mãn điều kiện K cho trþĆc. 
Phương ph p: 
 ước 1: 
 Têp xác đðnh: D . 
 Đäo hàm: y ax bx c Ax Bx C2 23 2 
 ước 2: 
Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi và căc tiểu) 
y 0 có hai nghiệm phân biệt vày đổi dçu qua 2 nghiệm đò 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 
 y
A a a
m D
B AC b ac b ac2 2 2 1
3 0 0
.
4 4 12 0 3 0
 ước 3: Gọi x x
1 2
, là hai nghiệm cûa phþĄng trình y 0. 
Khi đò: 
B b
x x
A a
C c
x x
A a
1 2
1 2
2
3 .
.
3
 ước 4: Bi n đ i đi u ki n K v da ng t ng S và ti ch P . Tÿ đó giâi ra tìm đþĄ c 
m D
2
. 
 ước 5: K t luå n các giá trð m thóa mãn: m D D
1 2
.  
* Chú ý: Hàm số bêc ba: y ax bx cx d a3 2 0 . 
Ta có: y ax bx c2' 3 2 . 
Điều kiện Kết luận 
b ac2 3 0 Hàm số kh ng cò căc trð. 
b ac2 3 0 Hàm số cò hai điểm căc trð. 
 Điều kiện để hàm số có cực trð cùng dấu, trái dấu. 
 Hàm số có 2 cực trð trái dấu 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái dçu ac 0. 
 Hàm số có hai cực trð cùng dấu 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu
y
C
P x x
A1 2
0
. 0
 Hàm số có hai cực trð cùng dấu dương 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm dþĄng phån biệt 
y
B
S x x
A
C
P x x
A
1 2
1 2
0
0
. 0
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 6 
 Hàm số có hai cực trð cùng dấu âm 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt 
y
B
S x x
A
C
P x x
A
'
1 2
1 2
0
0
. 0
 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x x
1 2
, thỏa mãn: 
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
 Hai căc trð x x
1 2
, thóa mãn x x
1 2
 x x x x x x 21 2 1 2 1 20 . 0 
 Hai căc trð x x
1 2
, thóa mãn x x
1 2
 x x x x x x
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0 . 0
2 2
 Hai căc trð x x
1 2
, thóa mãn x x
1 2
 x x x x x x
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0 . 0
2 2
 PhþĄng trình bêc 3 có 3 nghiệm lêp thành cçp số cộng 
khi có 1 nghiệm là
b
x
a3
 , có 3 nghiệm lêp thành cçp số nhân khi có 1 nghiệm là 
d
x
a
3 . 
2. Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, 
khác phía so với một đường thẳng 
 i tri tương đ i giư a 2 điê m vơ i đươ ng th ng: 
Cho 2 đi m A A B BA x y B x y; , ; và đþąng thë ng ax by c: 0. 
N u A A B Bax by c ax by c 0 thi hai điểm A B, në m v 
hai phía so vĄ i đþĄ ng thë ng . 
N u A A B Bax by c ax by c 0 thi hai điểm A B, në m cu ng 
phía so vĆi đþĄ ng thîng . 
Một số trươ ng hơ p đ c biê t: 
 + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Oy 
 hàm số có 2 căc trð cùng dçu 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dçu 
 + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 2 phía đối với trục Oy 
 hàm số có 2 căc trð trái dçu 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm trái dçu 
 + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về 1 phía đối với trục Ox 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và 
CC T
y y. 0 
Đ
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 7 
Đặc biệt: 
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía trên đối với trục Ox 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và 
TC
CTC
C
y y
y y
. 0
0
Đ
Đ
 Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm cùng về phía dưới đối với trục Ox 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và 
TC
CTC
C
y y
y y
. 0
0
Đ
Đ
. 
+ Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phía đối với trục Ox 
 phþĄng trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và 
CC T
y y. 0 
Đ
 (áp du ng khi không nh m đươ c nghiê m và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai 
điểm cực trð của đồ thð hàm số) 
Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm về 2 phía đối với trục Ox 
 đồ thð cít trýc Ox täi 3 điểm phân biệt 
 phþĄng tri nh hoành đ giao đi m f x 0 co 3 nghi m phân bi t (áp du ng khi 
nh m được nghiê m) 
3. Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð 
c b bc
g x x d
a a
22 2
3 9 9
hoặc 
.
9
2
y y
g x ay hoặc 
y y
g x y
y
.
3
Khoâng cách giữa hai điểm cực trð của đồ thð hàm số ậc 3 là 
e e
AB
a
34 16 
 vĆi 
b ac
e
a
2 3
9
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y ax bx c a4 2 0 
MỘT SỐ KẾT QUÂ CÆN NHỚ 
 Hàm số có một căc trð ab 0. 
 Hàm số có ba căc trð ab 0. 
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc tiểu 
a
b
0
0
. 
 Hàm số cò đúng một căc trð và căc trð là căc đäi 
a
b
0
0
. 
 Hàm số có hai căc tiểu và một căc đäi 
a
b
0
0
. 
 Hàm số có một căc tiểu và hai căc đäi 
a
b
0
0
. 
Giâ sā hàm số y ax bx c4 2 có 3 căc trð: 
b b
A c B C
a a a a
(0; ), ; , ;
2 4 2 4
täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab 0 . 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 8 
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH 
 Tổng quát: 
b
a
3
2cot
2 8
x
y
O
A
B C
Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0 
Tam gi{c ABC vuông c}n tại A b a3 8 
Tam gi{c ABC đều b a3 24 
Tam gi{c ABC có diện tích 
ABC
S S
0 
 a S b3 2 5
0
32 ( ) 0 
Tam gi{c ABC có diện tích max S
0
( ) b
S
a
5
0 332
Tam gi{c ABC có b{n kính đường tròn nội tiếp 
ABC
r r
0 
b
r
b
a
a
2
3
4 1 1
8
Tam gi{c ABC có b{n kính đường tròn ngoại tiếp 
ABC
R R
b a
R
a b
3 8
8
 Tam gi{c ABC có độ d|i cạnhBC m0 am b
2
0
2 0 
Tam gi{c ABC có độ d|i AB AC n
0
 a n b ab2 2 4
0
16 8 0 
Tam gi{c ABC có cực trị B C Ox, b ac2 4 
Tam gi{c ABC có 3 góc nhọn b a b3(8 ) 0 
Tam gi{c ABC có trọng t}m O b ac2 6 
Tam gi{c ABC có trực t}m O b a ac3 8 4 0 
Tam gi{c ABC cùng điểm O tạo th|nh hình thoi b ac2 2 
Tam gi{c ABC có O l| t}m đường tròn nội tiếp b a abc3 8 4 0 
Tam gi{c ABC có O l| t}m đường tròn ngoại tiếp b a abc3 8 8 0 
Tam gi{c ABC có cạnh BC kAB kAC b k a k3 2 2. 8 ( 4) 0 
Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh 
hai phần có diện tích bằng nhau 
b ac2 4 2 
Tam giác ABC cò điểm căc trð cách đều trýc hoành b ac2 8 
Đồ thð hàm số C y ax bx c4 2: cít trýc Ox täi 
4 điểm phån biệt lêp thành cçp số cộng 
b ac2
100
9
Đðnh tham số để hình phîng giĆi hän bći đồ thð 
 C y ax bx c4 2: và trýc hoành cò diện tích 
phæn tr n và phæn dþĆi bìng nhau. 
b ac2
36
5
PhþĄng trình đþąng trñn ngoäi tiếp ABC : x y c y c
b a b a
2 2 2 2 0
4 4
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 9 
GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT 
I. Đðnh nghïa. 
Cho hàm số y f x xác đðnh trên têp .D 
 Số M gọi là giá trð lớn nhất cûa hàm số y f x trên D nếu: 
f x M x D
x D f x M
0 0
( ) ,
, ( )
  
 
Kí hiệu: max ( )
x D
M f x
 . 
 Số m gọi là giá trð nhỏ nhất cûa hàm số y f x trên D nếu: 
f x m x D
x D f x m
0 0
( ) ,
, ( )
  
 
Kí hiệu: 
x D
m f xmin ( )
 . 
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khâo sát trực tiếp 
 Bước 1: Tính f x và tìm các điểm nx x x D1 2, ,..., mà täi đò f x 0 hoðc hàm số 
kh ng cò đäo hàm. 
+ Bước 2: Lêp bâng biến thi n và rồi suy ra giá trð lĆn nhçt, giá trð nhó nhçt cûa hàm số. 
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một đoän 
 Bước 1: 
 Hàm số đã cho y f x xác đðnh và liên týc tr n đoän a b; . 
 Tìm các điểm 
n
x x x
1 2
, ,..., trên khoâng a b; , täi đò f x 0 hoðc f x 
kh ng xác đðnh. 
 Bước 2: Tính nf a f x f x f x f b1 2, , ,..., , . 
 Bước 3: Khi đò: 
 na bmax f x max f x f x f x f a f b1 2, , ,..., , , . 
 
na b
min f x min f x f x f x f a f b
1 2,
, ,..., , , . 
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số tr n một hoâng 
 Bước 1: Tính đäo hàm f x( ) . 
 Bước 2: Tìm tçt câ các nghiệm 
i
x a b( ; ) cûa phþĄng trình 
f x( ) 0 và tçt câ các điểm 
i
a b( ; ) làm cho f x( ) kh ng xác đðnh. 
 Bước 3. Tính 
x a
A f xlim ( )
 , 
x b
B f xlim ( )
 , 
i
f x( ) , 
i
f ( ) . 
 Bước 4. So sánh các giá trð tính đþợc và kết luên 
a b
M f x
( ; )
max ( ) , 
a b
m f x
( ; )
min ( ) . 
Nếu giá trð lớn nhất (nhó nhất) là A hoặc B thì kết luận không cò giá trð lớn nhất (nhó nhất). 
 + N u y f x đ ng bi n trên a b; thì 
a b
a b
f x f a
f x f b
;
;
min
max
. 
+ N u y f x nghi ch bi n trên a b; thì 
a b
a b
f x f b
f x f a
;
;
min ( )
.
max ( )
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 10 
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1. Đường tiệm cận ngang 
 Cho hàm số y f x( ) xác đðnh trên một khoâng vô hän (là khoâng däng 
 a b; , ; hoðc ; ). Đþąng thîng y y0 là đþąng tiệm cận ngang (hay tiệm 
cên ngang) cûa đồ thð hàm số y f x( ) nếu ít nhçt một trong các điều kiện sau thóa mãn: 
x x
f x y f x y
0 0
lim ( ) , lim ( ) 
2. Đường tiệm cận đứng 
 Đþąng thîng x x
0
 đþợc gọi là đþąng tiệm cận đứng (hay tiệm cên đĀng) cûa đồ 
thð hàm số ( )y f x nếu ít nhçt một trong các điều kiện sau đþợc thóa mãn: 
x x x x
f x f x
0 0
lim ( ) , lim ( ) ,
0 0
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x f x
Lưu ý: VĆi đồ thð hàm phån thĀc däng 
ax b
y c ad bc
cx d
0; 0 lu n cò tiệm cên 
ngang là 
a
y
c
 và tiệm cên đĀng 
d
x
c
.
KHÂO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1. Sơ đồ hâo sát hàm số 
Cho hàm số y f x . 
 Tìm tập xác đðnh của hàm số. 
 Sự biến thi n 
 Chiều biến thi n. 
i. Tính y ' . 
ii. Tìm các nghiệm cûa phþĄng trình y ' 0 và các điểm täi đò y ' không 
xác đðnh. 
iii. Xét dçu y ' và suy ra các khoâng biến thi n cûa hàm số. 
 Tìm căc trð (nếu cò). 
 Tìm các giĆi v căc; các giĆi hän täi , và täi các điểm mà hàm số 
kh ng xác đðnh. 
 Tìm các đþąng tiệm cên cûa hàm số (nếu cò). 
 Lêp bâng biến thi n. 
 Đồ thð. 
 Liệt k các điểm đðc biệt ( điểm căc đäi, điểm căc tiểu, tåm đối xĀng, ) 
 Xác đðnh giao điểm cûa (C) vĆi Ox, Oy (nếu cò). 
 Vẽ đồ thð. 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 11 
2. KHÂO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÅN THỨC: 
a) HÀM SỐ BẬC BA y ax bx cx d a3 2 0 
TRƯỜNG HỢP a 0 0a 
Phương trình y/ 0 có 
2 nghiệm ph n iệt 
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
Phương trình y/ 0 có 
nghiệm kép 
x
y
1
O
1
x
y
1
O
1
Phương trình / 0y vô 
nghiệm 
x
y
1
O
1
x
y
1
O 1
b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y ax bx c a4 2 0 
TRƯỜNG HỢP a 0 0a 
Phương trình y/ 0 có 
3 nghiệm ph n iệt 
x
y
O
1
1
x
y
1
O
1
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 12 
Phương trình y/ 0 có 
 1 nghiệm. 
x
y
1
O
1
x
y
O
1
1
c) HÀM SỐ NHÇT BIẾN 0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
 D ad bc 0 D ad bc 0 
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 
Däng 1: Tÿ đồ thð C y f x: suy ra đồ thð C y f x: . 
 Ta có 
f x khi x
y f x
f x khi x
0
0
và y f x là hàm chẵn n n đồ thð C nhên Oy làm trýc đối xĀng. 
* Cách vẽ C từ C : 
 + Giữ nguyên phæn đồ thð b n phâi Oy cûa đồ thð C y f x: . 
 + Bó phæn đồ thð bên trái Oy cûa C , lçy đối xứng phæn đồ thð được giữ qua Oy. 
Ví dụ: Tÿ đồ thð C y f x x x3: 3 
suy ra đồ thð C y x x
3
: 3 . 
Biến đổi C : 
 + Bó phæn đồ thð cûa C bên trái 
Oy, giĂ nguyên C bên phâi .Oy 
 + Lçy đối xĀng phæn đồ thð đþợc 
giĂ qua Oy . 
x
y
O
-2
2
-1
1
 C y x x
3
: 3
 C y x x3: 3
x
y
O
-2
-1 1
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 13 
Däng 2: Tÿ đồ thð C y f x: suy ra đồ thð C y f x: . 
Nội dung: Ta có: 
f x khi f x
y f x
f x khi f x
0
0
* Cách vẽ C từ C : 
 + Giữ nguyên phæn đồ thð phía tr n Ox cûa đồ thð (C): y f x . 
 + Bó phæn đồ thð phía dþĆi Ox cûa (C), lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox. 
Ví dụ: Tÿ đồ thð 3: 3C y f x x x 
suy ra đồ thð y x x3 3 . 
Biến đổi C : 
 + Bó phæn đồ thð cûa C dþĆi 
,Ox giĂ nguyên C phía trên .Ox 
 + Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó 
qua Ox . 
x
y
O
-2
2
-1
1
x
y
2
-1 O 1
Chú ý vĆi däng: y f x ta læn lþợt biến đổi 2 đồ thð y f x và y f x 
Ví dụ: Tÿ đồ thð 
 C y f x x x3: 3 suy ra đồ thð 
 y x x
3
3 . Biến đổi C để đþợc đồ 
thð C y x x
3
: 3 . Biến đổi 
 C y x x
3
: 3 ta đþợc đồ thð 
 C y x x
3
: 3 . 
x
y
2
-1 O 1
Däng 3: Tÿ đồ thð C y u x v x: . suy ra đồ thð C y u x v x: . . 
Ta có: 
u x v x f x khi u x
y u x v x
u x v x f x khi u x
. 0
.
. 0
* Cách vẽ C từ C : 
 + Giữ nguyên phæn đồ thð tr n miền u x 0 cûa đồ thð C y f x: . 
 + Bó phæn đồ thð tr n miền u x 0 cûa C , lçy đối xứng phæn đồ thð bð bỏ qua Ox. 
 3: 3C y x x 
 C y x x3: 3
 C y x x
3
: 3
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 14 
Ví dụ 
a) Tÿ đồ thð C y f x x x3 2: 2 3 1 
suy ra đồ thð C y x x x2: 1 2 1 
b) Tÿ đồ thð 
x
C y f x
x
:
1
 suy 
ra đồ thð 
x
C y
x
:
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
2
1
1 2 1
1
Đồ thð (C’): 
 + GiĂ nguy n (C) vĆi 1x . 
 + Bó (C) vĆi x 1 . Lçy đối xứng phần 
đồ thð ð ó qua Ox. 
x
y
(C)
(C')
1
O 1
Nhên xét: Trong quá trình thăc hiện phép 
suy đồ thð n n lấy đối xứng các điểm đặc 
 iệt cûa (C): giao điểm vĆi Ox, Oy, CĐ, CT 
x
 khi xx xy
xx khi x 
x
1;
1 .
1 ;1
1
Đồ thð (C’): 
 + Bó phæn đồ thð cûa C vĆi x 1 , 
giĂ nguy n C vĆi 1.x 
 + Lçy đối xĀng phæn đồ thð bð bó qua 
Ox. 
x
y
1
O
1
Nhên xét: Đối vĆi hàm phån thĀc thì n n 
lấy đối xứng các đường tiệm cận để thăc 
hiện phép suy đồ thð một cách tþĄng đối 
chính xác. 
TIẾP TUYẾN 
1. Tiếp tuyến : Cho hàm số y f x , cò đồ thð (C). Tiếp tuyến cûa 
đồ thð (C) täi điểm M x y C0 0 0; ( ) cò däng: y y x x x y0 0 0 . 
Trong đò: Điểm M x y C0 0 0; ( ) đþợc gọi là tiếp điểm. ( vĆi y f x0 0 ). 
 k f x0' là hệ số góc cûa tiếp tuyến. 
2. Điều iện tiếp xúc: Cho hai hàm số C y f x: và C y g x' : 
 Đồ thð C và C tiếp xúc nhau khi chî khi hệ phþĄng trình: 
f x g x
f x g x/ /
 cò nghiệm. 
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 
 Cho hàm số y f x( ) cò đồ thð C
1
( ) và y g x( ) cò đồ thð 
2
( )C . 
PhþĄng trình hoành độ giao điểm cûa C
1
( ) và 2( )C 
là f x g x ( ) ( ) 1 . Khi đò: 
x
y
0y
0x O
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 15 
 Số giao điểm cûa 
1
( )C và C
2
( ) bìng vĆi số nghiệm 
 cûa phþĄng trình 1 . 
 Nghiệm x
0
 cûa phþĄng trình 1 chính là 
hoành độ x
0
 cûa giao điểm. 
 Để tính tung độ y
0
 cûa giao điểm, ta thay hoành độ x
0
 vào 
 y f x hoðc y g x . 
 Điểm 0 0;M x y là giao điểm cûa C1( ) và C2( ) . 
ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 
1. Bài toán tìm điểm cố đðnh của họ đường cong 
Xét họ đþąng cong 
m
C( ) cò phþĄng trình y f x m( , ), trong đò f là hàm đa thĀc theo 
biến x vĆi m là tham số sao cho bêc cûa m không quá 2. Tìm nhĂng điểm cố đðnh thuộc họ 
đþąng cong khi m thay đổi? 
 Phương pháp giâi: 
+ Bước 1: Đþa phþĄng trình ( , )y f x m về däng phþĄng trình 
theo èn m cò däng sau: Am B 0 hoðc Am Bm C2 0 . 
+ Bước 2: Cho các hệ số bìng 0 , ta thu đþợc hệ phþĄng trình và giâi hệ phþĄng trình: 
A
B
0
0
 hoðc 
A
B
C
0
0
0
. 
+ Bước 3: Kết luên: 
 - Nếu hệ v nghiệm thì họ đþąng cong 
m
C( ) kh ng cò điểm cố đðnh. 
 - Nếu hệ cò nghiệm thì nghiệm đò là điểm cố đðnh cûa 
m
C( ) . 
2. Bài toán tìm điểm cò tọa độ nguy n: 
Cho đþąng cong C( ) cò phþĄng trình y f x( ) (hàm phån thĀc). Hãy tìm nhĂng điểm 
cò tọa độ nguy n cûa đþąng cong? 
 Những điểm cò tọa độ nguyên là những điểm sao cho câ hoành độ và tung độ của 
điểm đò đều là số nguyên. 
 Phương pháp giâi: 
+ Bước 1: Thăc hiện phép chia đa thĀc chia tā số cho méu số. 
+ Bước 2: Lêp luên để giâi bài toán. 
3. Bài toán tìm điểm cò tính chçt đối xứng: 
Cho đþąng cong ( )C cò phþĄng trình y f x( ). Tìm nhĂng điểm đối xĀng nhau qua một 
điểm, qua đþąng thîng. 
Bài toán 1: Cho đồ thð C y Ax Bx Cx D3 2: trên đồ thð C tìm những cặp điểm 
đối xứng nhau qua điểm
I I
I x y( , ) . 
 Phương pháp giâi: 
+ Gọi M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D3 2 3 2; , ; là hai điểm tr n C đối 
xĀng nhau qua điểm I . 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 16 
+ Ta có 
I
I
a b x
A a b B a b C a b D y3 3 2 2
2
( ) 2 2
. 
Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợc a b, tÿ đò tìm đþợc toä độ M, N. 
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thð C y Ax Bx Cx D3 2: . Trên đồ thð C tìm 
những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 
 Phương pháp giâi: 
 Gọi M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D3 2 3 2, , , là hai điểm tr n C 
đối xĀng nhau qua gốc tọa độ. 
 Ta có
a b
A a b B a b C a b D3 3 2 2
0
( ) 2 0
 . 
 Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợca b, tÿ đò tìm đþợc toä độ M N, . 
Bài toán 3: Cho đồ thð C y Ax Bx Cx D3 2: trên đồ thð C tìm những cặp điểm 
đối xứng nhau qua đường thẳng d y Ax B
1 1
: . 
 Phương pháp giâi: 
 Gọi 3 2 3 2; , ;M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm tr n C đối 
xĀng nhau qua đþąng thîng d . 
 Ta có: 
d
I d
MN u
(1)
. 0 (2)
 (vĆi I là trung điểm cûa MN và du là vectĄ chî phþĄng 
cûa đþąng thîng d ). Giâi hệ phþĄng trình tìm đþợc M, N. 
4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, hoâng cách 
 Lý thuyết: 
+ Cho hai điểm A x y B x y1 1 2 2; ; ; AB x x y y
2 2
2 1 2 1
Cho điểm M x y0 0; và đþąng thîng : 0d Ax By C , thì khoâng cách tÿ M đến d là 
Ax By C
h M d
A B
0 0
2 2
; . 
+ Cho hàm phån thĀc: 
ax b
y
cx d
 tiếp tuyến täi M cít TCĐ, TCN ć A và B thì M là trung 
điểm cûa AB. 
Diện tích tam giác IAB kh ng đổi: 
IAB
S ad bc
c2
2
 . 
 Các bài toán thường gặp: 
 Bài toán 1: Cho hàm số 
ax b
c ad bc
cx d
y 0, 0 cò đồ thð C . Hãy tìm trên C( ) 
hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thð hàm số sao cho khoâng cách AB ngắn nhất. 
 Phương pháp giâi: 
+ C cò tiệm cên đĀng 
d
x
c
 do tính chçt cûa hàm phån thĀc, đồ thð nìm về hai phía 
cûa tiệm cên đĀng. N n gọi hai số ,  là hai số dþĄng. 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 17 
 Nếu A thuộc nhánh trái: 
A A
d d d
x x
c c c
; 
A A
y f x( ) . 
 Nếu B thuộc nhánh phâi:  
B B
d d d
x x
c c c
; 
B B
y f x( ) . 
 Sau đò tính:  B A B A B AAB x x y y a a y y
22 2 2
2 . 
 Áp dýng bçt đîng thĀc Cauchy sẽ tìm ra kết quâ. 
Bài toán 2: Cho đồ thð hàm số C cò phương trình y f x( ). Tìm tọa độ điểm M 
thuộc ( )C để tổng khoâng cách từ M đến hai trục tọa độ nhó nhất. 
 Phương pháp giâi: 
 Gọi M x y; và tổng khoâng cách tÿ M đến hai trýc tọa độ là d thì d x y . 
 Xét các khoâng cách tÿ M đến hai trýc tọa độ khi M nìm ć các vð trí đðc biệt: 
Tr n trýc hoành, tr n trýc tung. 
 Sau đò xét tổng quát, nhĂng điểm M cò hoành độ, hoðc tung độ lĆn hĄn hoành độ 
hoðc tung độ cûa M khi nìm tr n hai trýc thì loäi đi kh ng xét đến. 
 NhĂng điểm cñn läi ta đþa về tìm giá trð nhó nhçt cûa đồ thi hàm số dăa vào đäo 
hàm rồi tìm đþợc giá trð nhó nhçt cûa d . 
Bài toán 3: Cho đồ thð C( ) cò phương trình ( )y f x . Tìm điểm M trên C( ) sao cho 
khoâng cách từ M đến Ox ằng k lần khoâng cách từ M đến trụcOy . 
 Phương pháp giâi: 
Theo đæu bài ta cò 
y kx f x kx
y k x
y kx f x kx
. 
Bài toán 4: Cho đồ thð hàm số C( ) cò phương trình 
 ( ) 0, 0
ax b
y f x c ad bc
cx d
. Tìm tọa độ điểm M trên ( )C sao cho độ dài MI ngắn 
nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận). 
 Phương pháp giâi: 
 Tiệm cên đĀng 
d
x
c
; tiệm cên ngang 
a
y
c
. 
 Ta tìm đþợc tọa độ giao điểm 
d a
I
c c
; cûa hai tiệm cên. 
 Gọi M MM x y; là điểm cæn tìm. Khi đò: 
M M M
d a
IM x y g x
c c
2 2
2
 Sā dýng phþĄng pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu đþợc kết quâ. 
Bài toán 5: Cho đồ thð hàm số C( ) cò phương trình y f x( ) và đường thẳng 
 d Ax By C: 0 . Tìm điểm I trên C( ) sao cho khoâng cách từ I đến d là ngắn nhất. 
 Phương pháp giâi: 
 Gọi I thuộc C( ) I x y y f x0 0 0 0; ; ( ) . 
 Khoâng cách tÿ I đến d là 
Ax By C
g x h I d
A B
0 0
0 2 2
( ) ; 
 Khâo sát hàm số y g x( ) để tìm ra điểm I thóa mãn y u cæu. 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 18 
PHÆN II. MŨ VÀ LOGARIT 
LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA. 
1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA. 
 Lũy thừa với số mũ nguyên. 
Cho n là một số nguy n dþĄng. 
VĆi a là số thăc tùy ý, lüy thÿa bêc n cûa a là tích cûa n thÿa số a . 
 n
n
a a a a. ...... (n thÿa số). 
VĆi a 0. 
 n
n
a a
a
0 11 
Ta gọi a là cĄ số, m là mü số. Và chú ý 00 và 0 n kh ng cò nghïa. 
+ Một số tính chất của lũy thừa 
 Giâ thuyết rìng mỗi biểu thĀc đþợc xét đều cò nghïa: 
    a a a ; 
 

a
a
a
;   a a .( ) ; ab a b( ) ; 
a a
b b
; 
  
a b
b a
 Nếu a 1 thì   a a ; 
 Nếu a0 1 thì   a a . 
 VĆi mọi a b0 , ta có: m ma b m 0 ; m ma b m 0 
 Chú ý: 
 + Các tính chçt tr n đúng trong trþąng hợp số mü nguy n hoðc kh ng nguy n. 
 + Khi xét lüy thÿa vĆi số mü 0 và số mü nguy n åm thì cĄ số a phâi khác 0 . 
 + Khi xét lüy thÿa vĆi số mü kh ng nguy n thì cĄ số a phâi dþĄng. 
 Phương trình nx b. 
Ta có kết quâ biện luên số nghiệm cûa phþĄng trình 
nx b nhþ sau: 
 Trþąng hợp n lẻ: 
VĆi mọi số thăc b , phþĄng trình cò nghiệm duy nhçt. 
 Trþąng hợp n chïn: 
 + Với 0b , phþĄng trình v nghiệm. 
+ Với b 0 , phþĄng trình cò một nghiệm x 0. 
+ Với b 0 , phþĄng trình cò hai nghiệm trái dçu, kí hiệu giá trð dþĄng là n b , còn 
giá trð âm là 
n b . 
Một số tính chçt của căn bậc n 
VĆi a b *, ;n , ta có: 
+ 
n na a a2 2 ; + n na a a2 1 2 1 . 
+   n n nab a b ab2 2 2 , 0 ; +  n n nab a b a b2 1 2 1 2 1 , . 
+ 

  

n
n
n
a a
ab b
b b
2
2
2
, 0, 0 ; + 
   
n
n
n
a a
a b
b b
2 1
2 1
2 1
, 0 . 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 19 
+  
m
n nma a a, 0 , n nguy n dþĄng, m nguyên. 
+  
n m nma a a, 0 , n ,m nguy n dþĄng. 
+ Nếu 
p q
n m
 thì  
n mp qa a a m n, 0, , nguy n dþĄng p q, nguyên. 
Đðc biệt: 

m nn ma a . 
2. HÀM SỐ LŨY THỪA. 
 Khái niệm. 
Xét hàm số 
 y x , vĆi là số thăc cho trþĆc. 
Hàm số 
 y x , vĆi , đþợc gọi là hàm số lüy thÿa. 
Chú ý. 
Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa 
 y x tùy thuộc vào giá trð cûa . Cý thể. 
 VĆi nguy n dþĄng, têp xác đðnh là . 
 VĆi nguyên âm hoðc bìng 0 , têp xác đðnh là \ 0 . 
 VĆi không nguyên, têp xác đðnh 0; . 
 Khảo sát hàm số lũy thừa. 
 Têp xác đðnh cûa hàm số lüy thÿa y x luôn chĀa khoâng 0; 
vĆi mọi . Trong trþąng hợp tổng quát, ta khâo sát hàm số y x trên khoâng này. 
 y x , 0. y x , 0. 
1. Têp xác đðnh: 0; . 
2. Să biến thiên 
  y x x1' . 0 0. 
GiĆi hän đðc biệt: 
xx
x x
0
lim 0, lim . 
Tiệm cên: không có. 
3. Bâng biến thiên. 
x 0 
y’ 
y 
0 
1. Têp xác đðnh: 0; . 
2. Să biến thiên 
  y x x1' . 0 0. 
GiĆi hän đðc biệt: 
0
lim , lim 0.
xx
x x 
Tiệm cên: 
Ox là tiệm cên ngang. 
Oy là tiệm cên đĀng. 
3. Bâng biến thiên. 
x 0 
y’ 
y 
 0 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 20 
Đồ thð của hàm số. 
Đồ thð cûa hàm số lüy thÿa y x lu n đi qua điểm I 1;1 . 
 Khâo sát hàm số mü , 0, 1xy a a a . 
 xy a a, 1 , 1xy a a 
1. Têp xác đðnh: . 
2. Să biến thiên. 
' ln 0, .xy a a x  
GiĆi hän đðc biệt: 
 x
x x
a alim 0, lim . 
Tiệm cên: 
Ox là tiệm cên ngang. 
3. Bâng biến thiên. 
x 
 0 1 
y ' 
y 
 a 
 1 
0 
Đồ thð nhþ hình sau. 
1. Têp xác đðnh: . 
2. Să biến thiên. 
 xy a a x' ln 0, 
GiĆi hän đðc biệt: 
 x x
x x
a alim , lim 0. 
Tiệm cên: 
Ox là tiệm cên ngang. 
3. Bâng biến thiên. 
x 
 0 1 
y ' 
y 
 1 
 a 
0 
Đồ thð nhþ hình sau. 
Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 
Page | 21 
LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT 
1. KHÁI NIỆM –TÍNH CHÇT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT. 
 Khái niệm Logarit. 
Cho hai số dþĄng a b, vĆi 1a . Số thóa mãn đîng thĀc a b đþợc gọi là logarit cĄ số 
a cûa b và đþợc kí hiệu là 
a
blog . 
log .
a
b a b 
Không cò logarit của số m và số 0. 
Bâng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp: 
 a a0 1, 0 . 
 a a
1
 a
a
1
 

a
a
a
 .a b a
   
 a b ab. . 
 , 0
a a
b
bb
  a a *, 
 
 a a 
a
a b blog 
 a alog 1 0, 0 1 
 a a alog 1, 0 1 
 a a alog , 0 1 
1
log , 0 1
a
a a 
 log .log , , 0, 1a ab b a b a
 

aa
b b
1
log .log 
 log .log
aa
b b

 a a ab c bclog log log 
a a a
b
b c
c
log log log 
a
b
b
a
1
log
log
. 
2. BÇT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 
 Bất phương trình mũ cơ bản. 
Bçt phþĄng trình mü cĄ bân có däng xa b (hoðc , ,x x xa b a b a b ) vĆi a a0, 1. 
Ta xét bçt phþĄng trình cò däng xa b. 
 Nếu b 0 , têp nghiệm cûa bçt phþĄng trình là , vì  xa b x, . . 
 Nếu b 0 thì bçt phþĄng trình tþĄng đþĄng vĆi a bxa a log . 
VĆi a 1 , nghiệm cûa bçt phþĄng trình là 
a
x blog . 
VĆi a0