Ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số xác định trên khoảng . Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số nếu với mọi . Nếu là một nguyên hàm của thì cũng là nguyên hàm của . Ký hiệu: . 
Như vậy: .
2. Định nghĩa tích phân: Cho là hàm số liên tục trên . Giả sử là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến . Kí hiệu: .
Như vậy: .
3. Tính chất:
§ Quy ước: , .
§ ( là hằng số).
§ .
§ . ().
§ Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm và các cận mà không phụ thuộc vào ký hiệu biến số , tức là .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
 ( hằng số)
Câu 1. [ Tham khảo 2018] Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 3. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 
A. .	B. 
C. 	D. 
Câu 4. [ĐỀ 2017] Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tìm .
A. B. C. 	D. 
Câu 5. [ Đề 2018 ] Nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6. [ Đề 2018 ] Nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7. [THAM KHẢO 2019] Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. [ĐỀ 2017] Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 9. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 10. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. B. C. 	D. 
Câu 11. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn .
A. 	B. 
C. 	 D. 
Câu 12. Cho hàm số có đạo hàm là và thì có giá trị bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. [ Tham khảo 2018] Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13*. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14. [THAM KHẢO 2019] Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15. [ĐỀ 2017] Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 16. [ĐỀ 2017] Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 17. [THAM KHẢO 2019] Cho và khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18. Cho biết và . Giá trị của bằng
A. 1.	B. 2.	C. .	D. .
Câu 19. [ĐỀ 2017] Cho . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20. [ĐỀ 2017] Cho và . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21. [ Đề 2018 ] bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. [ Tham khảo 2018] Tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23. [ĐỀ 2017] Cho là nguyên hàm của hàm số . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 24. [ĐỀ 2017] Cho . Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25. Biến đổi thành , với . Khi đó là hàm nào trong các hàm số sau?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 26. Biến đổi thành , với . Khi đó là hàm nào trong các hàm số sau?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 27. Đổi biến thì tích phân thành:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28. Cho và . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. 	B. 	C. .	D. 
Câu 29. Cho với . Giá trị của là
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
II. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍHH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH
1. Công thức tính diện tích hình phẳng
(, liên tục trên đoạn )
Cho hình phẳnggiới hạn bởi các đường: 
(Ta kí hiệu ), với là các hàm số liên tục trên đoạn . 
Khi đó diện tích hình được cho bởi công thức: (*).
2. Công thức tính thể tích khối tròn xoay
Cho hình phẳng 
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là : 
3. Mở rộng: 
► Cho hình phẳng , trong đó trên hai đồ thị hàm số và nằm về cùng phía đối với trục Ox 
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là : 
► Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục tung và hai đường quanh trục được tính theo công thức .
Câu 30. Cho đồ thị hàm số . Diện tích của hình phẳng [phần tô đậm trong hình dưới] là
A. .	 B. .
C. . D. .
Câu 31. (ĐỀ 2019) Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dướiđây là đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 32. [THAM KHẢO 2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 33. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và được tính theo công thức:
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 34. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35. [ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 36. [ Đề 2018] Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37. [ Đề 2018 ] Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 38. [ Tham khảo 2018] Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol , cung tròn có phương trình [với ] và trục hoành [phần tô đậm trong hình vẽ]. Diện tích của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 39. [ Đề 2018 ] Cho hai hàm số và với . Biết rằng đồ thị của hàm số và cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là [tham khảo hình vẽ]. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?
A. B. C. 	 D. 
Câu 40. (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2019) Cho đường thẳng và parabol ( là tham số thực dương). Gọi và lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 41. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường . Đường thẳng () chia thành hai phần là () và () (hình vẽ bên). Cho hai hình () và () quay quanh trục ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là và . Xác định để . 
y
x
O
1
k
5
S1
S2
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 42. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
A
B
C
D
F
I
E
N
M
4 m
12 m
6 m
A. 20.400.000 đồng.	B. 20.600.000 đồng.	C. 20.800.000 đồng.	D. 21.200.000 đồng.
Câu 43. [THAM KHẢO 2019] 
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh , , , như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là đồng/ và phần còn lại là đồng/. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết , và tứ giác là hình chữ nhật có ?
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng.	D. đồng.
Câu 44. Cho hình phẳng trong hình [phần tô đậm] quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
A.. B. .
C. . D. .
Câu 45. [ Đề 2018] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. . C. .	D. 
Câu 46. [ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017] Viết Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục tung và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 47. Viết công thức tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là .
A. 	B. C. 	D. 
Câu 48. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm và , có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng và , bằng
A. .	B. 	C. 	D. 
Câu 49. [ĐỀ 2017] Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50. [ĐỀ 2017] Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 51. [ĐỀ 2017] Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Gọi là hàm quãng đường, là hàm vận tốc, là hàm thời gian.
► , 
► Quãng đường vật đi được từ thời điểm đến thời điểm được tính bằng công thức: 
Câu 1. Một vật chuyển động xác định bởi phương trình , t được tính bằng giây (s), S được tính bằng (m) . Tính vận tốc của vật tai thời điểm t = 4 (s) (Đ/s: 140 m/s)
Câu 2. Vận tốc chuyển động của máy bay là . Hỏi quãng đường máy bay bay từ giây thứ 5 đến giây thứ 15 là bao nhiêu?
A. 2400m B. 1202m C. 6510m D. 1134m
Câu 3. Một vật chuyển động với vận tốc . Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? [Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm].
A. m.	B. m.	C. m.	D. m.
Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc , có gia tốc . Vận tốc ban đầu của vật là . Vận tốc của vật sau 10 giây là [làm tròn kết quả đến hàng đơn vị]:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5 : Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian . Biết tại thời điểm t = 2s vật đi được quãng đường 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường bao nhiêu ?
(Đ/s : 1410m)
Câu 6. [ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc [m/s], trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2 m.	B. 2 m.	C. 10 m.	D. 20 m.
Câu 7. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc (Đ/s: 4300/3s)
Câu 8. (ĐỀ 2017) Một vật chuyển động trong3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. B. C. D. 
Câu 9. [ Đề 2018] Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó [giây] là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn 10 giây so với và có gia tốc [ là hằng số]. Sau khi xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp .Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
DẠNG 1: Tìm a, b, c
Câu 1. [ĐỀ 2017] Cho với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Câu 2. Kết quả của tích phân được viết ở dạng với là các số nguyên. Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Kết quả của tích phân được viết ở dạng với a và b là các số nguyên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Kết quả của tích phân được viết dưới dạng với . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Kết quả của tích phân có dạng với . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 	B. .	C. 	D. .
Câu 6. Biết với a, b, c là các số nguyên. Tính a + b + c.
A. 3.	B. 0.	C. 1.	D. 2.
Câu 7. Biết với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính a + b + c.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Biết với với a, b, c là các số nguyên dương. Tính a + b + c.
A. 39.	B. 27.	C. 33.	D. 41.
Câu 9. Biết với với a, b, c là các số nguyên. Tính a + b + c.
A. -1.	B. 0.	C. 1.	D. 2.
Câu 10. Biết với với a, b, c là các số nguyên dương và c < 4. Tính a + b + c.
A. 13.	B. 16.	C. 25.	D. 28.
Câu 11. [ Đề 2018] Cho với là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12. Kết quả của tích phân được viết ở dạng với là các số hữu tỉ. Hỏi tổng bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. [THAM KHẢO 2019] Cho với , , là các số hữu tỷ. Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14. [ Đề 2018] Cho với là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15. Biết với với a, b là các số nguyên dương. Tính a + 2b
A. 1.	B. 5.	C. 7.	D. 8.
Câu 16. Biết , trong đó và a, b, c là các số nguyên. 
Tính a + b + c.
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Câu 17. Biết với , , là các số nguyên dương. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18. [ Tham khảo 2018] Biết với , , là các số nguyên dương. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19. Biết với , , là các số nguyên dương và tối giản. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20. Biết với , , là các số nguyên. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 21. Biết với , , , d là các số nguyên và tối giản. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 22. Biết với , , , d là các số nguyên dương và tối giản. Chọn khẳng định đúng.
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 2: Đổi biến
Câu 1. Cho . Tính .
A. 1.	B. 2.	C. 4.	D. 5.
Câu 2. Cho và . Tính .
A. 5.	B. 8.	C. 10.	D. 16.
Câu 3. Cho và . Tính .
A. -7.	B. 7.	C. 5.	D. -5.
Câu 4. Cho và . Tính .
A. 6.	B. 2.	C. 3.	D. 1.
Câu 5. [ Đề 2018] [2D3-0.0-3] Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6. [2D3-0.0-3] Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính 
A. -6.	 B. 0.	 C. -2.	 D. 6.
Câu 7. [2D3-0.0-3] Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính 
A. .	 B. .	 C. 2.	 D. 3.
Câu 8. [2D3-0.0-3] Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính 
A. 2 .	 B. .	 C. 10.	 D. 72.
Câu 9. [2D3-0.0-3] Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Biết rằng Tính 
A. .	 B. .	 C. 2.	 D. 3.
Câu 10. [2D3-0.0-3] Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính 
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
DẠNG 3: Từng phần
Câu 1. Cho 2 số thực a, b thỏa mãn và . Tính .
A. 11.	 B. -7.	 C. 4.	 D. -18.
Câu 2. Cho và . Tính .
A. -1.	 B. 1.	 C. -2.	 D. 2.
Câu 3. Cho và . Tính .
A. -1.	 B. 1.	 C. 3.	 D. 2.
Câu 4. Cho hàm số biết rằng và và . Tính 
A. -3.	 B. .	 C. 1.	 D. .
Câu 5. Cho và . Tính .
A. -1.	 B. 1.	 C. 3.	 D. 2.
Câu 6. (ĐỀ 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Biết và , khi đó bằng 
A. .	 B. .	 C. .	 D. .	
DẠNG 4: Phương trình hàm
Câu 1. Cho hàm số liên tục trên và . Tính .
A. -2.	 B. .	 C. .	 D. 2.
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính .
A. 2.	 B. .	 C. .	 D. 1.
Câu 3. Cho hàm số liên tục trên và với mọi . Tính .
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
GIỚI THIỆU ĐỀ THPT QG 2020
Câu 1. bằng
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 2. Biết . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Cho hàm số . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là
	A. .	B. .	C. .	D. .