Đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 4: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

CHUYÊN ĐỀ 4
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. LŨY THỪA
1. Các công thức:
(1) ( số )	(2) 	(3) 
(4) 	(5) 	(6) 
(7) 	(8) 	(9) 
(7) 	(8) 	(9) 
(10) 	(11) 	(12) 
2. Các tính chất 
 (1) Tính đồng biến, nghịch biến: 
(2) So sánh lũy thừa khác cơ số: Với thì 
3. Tập xác định của hàm số :
	 nếu là số nguyên dương. 
	 với nguyên âm hoặc bằng 
	 với không nguyên.
4. Đạo hàm: Hàm số có đạo hàm với mọi và ;
5. Khảo sát hàm lũy thừa trên khoảng 
1. Tập khảo sát: 
1. Tập khảo sát: 
2. Sự biến thiên: 
 Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận: Không có
2. Sự biến thiên:
 Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận:
Trục là tiệm cận ngang.
Trục là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên:
3. Bảng biến thiên:
4. Đồ thị:
 Đồ thị của hàm số lũy thừa luôn đi qua điểm 
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: 
Lưu ý: Đẳng thức chỉ xảy ra nếu, do đó hàm số không đồng nhất với hàm số 
	II. LÔGARIT: Cho, 
(1) 	(2) 
(3) 	(4) 
(5) 	(6) 
(7) 	(8) 
(9) 	(10) 
(11) (đổi cơ số)	(12) 
(13) 	(14) 
	(15) 
III. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
1. Tính chất:
Hàm số mũ: 
Hàm số logarit: 
1. TXĐ: ; Tập giá trị: 
1. TXĐ: ; Tập giá trị: 
2. Sự biến thiên: 
+ .
+ .
+ Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận: trục là tiệm cận ngang
2. Sự biến thiên: 
+ .
+ .
+ Giới hạn đặc biệt: 
Tiệm cận: trục là tiệm cận đứng
3. Bảng biến thiên:
+ 
+ 
3. Bảng biến thiên:
+ 
+ 
4. Đồ thị: Đồ thị hàm số nằm phía trên trục ; luôn đi qua các điểm và 
4. Đồ thị: Đồ thị hàm số nằm phía bên phải trục ; luôn đi qua các điểm và 
2. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Hàm sơ cấp
Hàm số hợp
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình mũ
Phương trình lôgarit
1. Phương trình mũ cơ bản:
 ()
1. Phương trình lôgarit cơ bản
()
2. Phương pháp giải:
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
(1) , đặt 
(2) , quy đồng đưa về (1). 
 (3) , trong đó .
Đặt .
(4). 
Chia hai vế cho và đặt .
c) Lôgarit hóa hai vế
Có dạng hoặc (với UCLN của (a, b) = 1)
Khi đó lôgarit hai vế cơ số a hoặc b (nên chọn cơ số có số mũ phức tạp)
d) Sử dụng hàm số và đánh giá
(1) : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
(2) 
Xét hàm đặc trưng . CM hàm số đơn điệu 
2. Phương pháp giải:
a) Đưa về cùng cơ số
b) Đặt ẩn phụ
Đối với các phương trình biến đổi phức tạp thì ta đặt 
c) Mũ hóa hai vế
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau:
* 
* . 
Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x.
d) Sử dụng hàm số và đánh giá
V. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình mũ
Phương trình lôgarit
1. Phương trình mũ cơ bản:
(1) Dạng: (hoặc ) với 
1. Phương trình lôgarit cơ bản
 ()
2. Phương pháp giải:
(1) Dạng 1: 
(2) Dạng 2: 
 (3) Dạng 3: 
2. Phương pháp giải:
(1) 
(2) 
(3) thì 
(4) thì 
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
MỨC ĐỘ 1
Cho là một số dương, biểu thức viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là các số thực dương, là các số thực tùy ý. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Viết biểu thức () dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.
A. .	B. .	C. .	D. .
Kết quả phép tính: bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các số thực . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Kết luận nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Với các số thực , bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là các số thực thỏa điều kiện và .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. và .	B. và .
C. và .	D. và .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập xác định của hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập xác định của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Giá trị của với và bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Giá trị của với là
A. .	B. .	C. .	D. .	
Giá trị của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .	
Cho là số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20. Cho và là hai số thực dương thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Gọi là tập tất cả những giá trị của để có nghĩa. Tìm ?
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Tập xác định của hàm số là: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hàm số có tập xác định là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Điều kiện nào của cho dưới đây làm cho hàm số đồng biến trên ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các số thực thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. khi .
B. Đồ thị của hàm số nhận trục làm tiệm cận đứng.
C. Nếu thì .
D. khi .
Tính đạo hàm của hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Tính đạo hàm của hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập xác định của hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập xác định của hàm số: là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Với là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Đạo hàm của hàm số là:
 A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm tập xác định của hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là số thực dương khác . Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho . Giá trị của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Với và là các số thực dương. Biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung.
C. Đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành.
Cho , , hệ thức nào sau đây là đúng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là số thực dương khác . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho và , biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tính đạo hàm của hàm số với 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các số thực dương , thỏa mãn , . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Giá trị thực của để hàm số có đồ thị là hình bên dưới?
A. .	B. .	C. .	D. .
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A. .	B. .	C. .	D. .
Hàm số nào sau đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ.
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải phương trình .
A. 	B. .	C. .	D. .
Giải phương trình 
A. , .	B. , 	C. ,	D. , 
Tìm nghiệm thực của phương trình ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có hai nghiệm. Tính giá trị của tích 
A..	B..	C..	D..
Phương trình có nghiệm là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho phương trình . Khi đặt ta được phương trình nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Khi đặt , phương trình trở thành phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm số nghiệm của phương trình 
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. {1}.	B. {-2}.	C. {5}.	D. {-3}.
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. {8}.	C. {}.	D. { }.
Cho , . Viết biểu thức về dạng và biểu thức về dạng . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Với , , ta có 
.
.
Do đó .
Cho hàm số với , . Tính giá trị .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn.	B
Ta có: .
Nên .
Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Với và , giá trị của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Cho hàm số . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Trắc nghiệm 
Bấm máy nên chọn D.
Cách 2: Ta có .
Hoặc nên . Do đó 
Cho , , là các số thực dương thỏa mãn , , . Tính giá trị .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho các số thực dương , , thỏa mãn: 
Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A 
Ta có 
.
Cho các số thực , . Giá trị của biểu thức bằng giá trị của biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A 
Ta có .
Giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có 
 .
Với hai số thực dương tùy ý và . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Ta có 
. 
Cho hàm số . Tìm các giá trị của để .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: .
.
Nhận xét : do 
Do đó .
Cho hàm số . Với giá trị nào của thì . 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D 
Ta có . Khi đó . 
Cho , và khác 1 thỏa mãn ; . Tính tổng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có ; 
Cho , là các số hữu tỉ thoả . Khi đó tổng có giá trị là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có: 
Đồng nhất hệ số ta có: , . Do đó .
Cho các số thực , thỏa mãn , . Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A 
Ta có mà ,. Suy ra: .
Cho thỏa mãn . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có: 
. 
Cho , , là các số thực dương khác . Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số .
Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B 
Vì hàm số nghịch biến nên , các hàm số đồng biến nên nên là số nhỏ nhất trong ba số.
Đường thẳng cắt hai hàm số tại các điểm có tung độ lần lượt là và , dễ thấy (hình vẽ). Vậy 
Cho là các số thực dương khác . Đồ thị hàm số , , được cho trong hình bên. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Đồ thị hàm số đi xuống lên hàm số nghịch biến, suy ra .
Đồ thị hàm số và đi lên do đó hàm số và đồng biến, suy ra và .
Với ta thấy . Suy ra . 
Do đó đáp án đúng là D. 
Biết hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số qua đường thẳng . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Trên đồ thị hàm số lấy và gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số và đối xứng với qua đường thẳng .
Khi đó .
Thay vào hàm số ban đầu ta được: .
Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình bằng:
A. 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Phương trình tương đương .
Tổng bình phương các nghiệm là: .