Sáng kiến kinh nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI
 ---------------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 	Lĩnh vực / Môn	 : Toán
	Cấp học	 : THPT
	Tác giả	 : Nguyễn Thị Thuỷ
	Đơn vị công tác	 : Trường THPT Chương Mỹ A – Hà Nội
	Chức vụ 	 : Giáo viên
NĂM HỌC: 2020 - 2021
MỤC LỤC
 Trang
Đặt vấn đề .... .. 1
Lý do chọn vấn đề . 1
Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu . 1
Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ... .. 1 
Giải quyết vấn đề 3
Thực trạng vấn đề .. 3
Phương pháp nghiên cứu ..... 3
Kiến thức bổ trợ để giải quyết vấn đề . .. 3
Nội dung thực hiện . 5
Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng .. 14
Kết luận và khuyến nghị 15
Tài liệu tham khảo
 Phụ lục: Phiếu điều tra sau khi thực hiện đề tài.
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn vấn đề:
	Trong chuyên đề “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” của chương trình Đại số và giải tích lớp 12, có một số bài tập vận dụng liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyết đối”. Đây là một vấn đề hay và khó thường xuất hiện trong các đề tham khảo của Bộ giáo dục, cũng như đề thi thử của các sở giáo dục và các trường phổ thông. Tuy nhiên, học sinh ít được thực hành trong các tiết dạy trên lớp và các tiết ôn tập. Sách giáo khoa và sách bài tập hầu như không có các ví dụ theo hệ thống từ dễ đến khó. 
	 Để giải bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cũng như các kiến thức về hàm trị tuyệt đối, đạo hàm, Điều này sẽ giúp các em trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi THPTQG sau này. 
	Với những lý do trên nhằm giúp học sinh không bị lúng túng, bỡ ngỡ và khắc sâu kiến thức cũng như làm tốt bài tập phần Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nên tôi chọn đề tài “Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” để nghiên cứu.
Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu: 
	- Giúp học sinh nắm vững kiến thức và đưa ra cách giải phù hợp cho các bài toán liên quan đến Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
	- Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán của trường.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
	- Nghiên cứu cơ sở lý luận về giải bài tập toán học
	- Xây dựng hệ thống các dạng bài tập về Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh dễ tiếp thu.
	- Với mỗi dạng bài, nghiên cứu phương pháp giải tối ưu kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
Thời gian, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 8/2020 đến tháng 02/2021.
Đối tượng nghiên cứu: 
	- Nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
	- Đối tượng khảo sát là hai lớp 12A1, 12A9 trong đó lớp thực nghiệm là lớp 12A1 và lớp đối chứng là lớp 12A9 trường THPT Chương Mỹ A Hà Nội năm học 2020 – 2021.
Phạm vi nghiên cứu
	Do khuôn khổ không gian và thời gian thực hiện, đề tài xin được rút gọn trong phạm vi với kiến thức ở bài “ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ” của Đại số và giải tích lớp 12 ban cơ bản chương trình chuẩn.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Thực trạng vấn đề:
 	 Hiện nay, kỹ năng giải bài tập của học sinh còn nhiều hạn chế, đặc biệt là kỹ năng giải bài tập liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối rất yếu kém. Bên cạnh đó các em học sinh không nắm chắc kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và kỹ năng giải toán nên việc giải các bài tập liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối gặp nhiều khó khăn. Hơn nữa, các ví dụ về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối không được trình bày trong sách giáo khoa cơ bản mà chỉ xuất hiện trong các đề thi thử nên làm cho học sinh khó nắm bắt cách giải, lúng túng không biết bắt đầu từ đâu khi làm bài tập phần này.
Phương pháp nghiên cứu:
 	- Phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo, ). Từ đó dùng phương pháp phân tích, tổng hợp đưa ra các dạng bài tập và phương pháp giải phù hợp.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn giảng dạy, lắng nghe ý kiến thắc mắc của học sinh các lớp qua nhiều năm giảng dạy. Từ đó tôi rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy của bản thân.
Kiến thức bổ trợ để giải quyết vấn đề:
	Ngoài các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được trình bày trong sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 12 ban cơ bản, tôi bổ sung thêm cho học sinh một số kiến thức sau:
Bổ đề 1: Cho hàm số . Biết rằng . Khi đó .
Chứng minh:
Ta có (*) 
 và (**).
Do đó nên luôn tồn tại (1).
Giả sử , khi đó .
Kết hợp với (*), (**) suy ra (mâu thuẫn).
Vậy (2).
Từ (1),(2) suy ra .
Bổ đề 2: Cho hàm số . Biết rằng . Khi đó xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: thì .
Trường hợp 2: thì .
Trường hợp 3: thì .
Chú ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số thì ta nên sử dụng bổ đề 1, tuỳ từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng 2 bổ đề trên một cách hợp lí.
Nội dung thực hiện 
Tôi phân loại bài tập thường gặp cho học sinh và phương pháp giải từng loại bài. Trong bài viết này tôi đưa ra 6 bài toán như sau: 
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên 
Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
Bài toán 3: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên không vượt quá , là biểu thức của .
Bài toán 4: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng , là biểu thức của .
Bài toán 5: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên đạt nhỏ nhất, là biểu thức của . 
Bài toán 6: Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đạt nhỏ nhất, là biểu thức của .
Sau đây tôi xin đề cập chi tiết đến từng loại bài tập trên và trong mỗi loại bài tập tôi đều thiết kế phương pháp giải, có ví dụ minh họa và bài tập luyện tập cho học sinh thực hành.
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Tìm và . Giả sử .
Bước 2: 	.
Ví dụ minh họa: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 0 	B. 4 	C. 2	D. 3 
Bài giải:
Đặt ; 
Ta có: . Suy ra .
Do đó . Đáp án B.
	Bài tập luyện tập
Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 13 	B. 	C. 5	D. 15 
Bài 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 70 	B. 7 	C. 71	D. 96 
Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên .
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Tìm và . Giả sử .
Bước 2: 
Trường hợp 1: thì .
Trường hợp 2: thì .
Trường hợp 3: thì .
Ví dụ minh họa: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 5 	B. 7 	C. 0	D. 4 
Bài giải:
Đặt ; 
Ta có: . Suy ra .
Do đó .
	Bài tập luyện tập
Bài 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 0 .	B. 1. 	C. .	D. 
Bài 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
 A. 66 .	B. 3. 	C. 2.	D. 0. 
Bài toán 3: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên không vượt quá .
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Tìm và . Giả sử . Khi đó .
Bước 2: Tìm để 	.
	Ví dụ minh họa: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn không vượt quá 10?
 A. 17 	B. 16 	C. 15	D. 18 
Lời giải
Đặt ; 
Ta có: . Suy ra .
Do đó .
Để .
Có 17 giá trị nguyên của thoả mãn yêu cầu bài toán.
	Bài tập luyện tập
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn không vượt quá 15?
 A. 35 	B. 17 	C. 27	D. 13 
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn không vượt quá 20?
 A. 9 	B. 14 	C. 32	D. 19 
	Bài toán 4: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng .
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Tìm và . Giả sử . Khi đó .
Bước 2: Tìm để 	.
	Ví dụ minh họa: Gọi là tập hợp các giá trị của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 10. Tổng các phần tử của bằng
 A. 4 	B. 8 	C. 2	D. 0 
Lời giải
Đặt ; 
Ta có: . Suy ra .
Do đó .
Để .
Do đó nên tổng các phần tử của bằng: .
	Bài tập luyện tập
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 15?
 A. 4 	B. 2 	C. 1	D. 3 
Bài 2: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 20?
 A. 	B. 	C. 	D. 
	Bài toán 5: Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số trên đạt nhỏ nhất.
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Tìm và . Giả sử . Khi đó .
Bước 2: Đặt 
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 	.
	Ví dụ minh họa: Tìm tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất ?
 A. 2 	B. 	C. 0	D. 4 
Bài giải:
Đặt ; 
Ta có: . Suy ra .
Do đó .
Đặt .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 	.
	Bài tập luyện tập: 
Bài 1: Tìm tham số để giá trị lớn nhất của hàm số đạt nhỏ nhất.
 A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 2: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất, giá trị của tham số bằng 
 A. 1 	B. 3 	C. 4	D. 5 
	Bài toán 6: Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đạt nhỏ nhất.
	Phương pháp: Học sinh giải theo hai bước sau
Bước 1: Rõ ràng nên , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tìm để phương trình có nghiệm.
	Ví dụ minh họa: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất ?
 A. 4 	B. 5 	C. 3	D. 6 
Lời giải:
Rõ ràng nên , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi phương trình có nghiệm trên đoạn .
Ta có .
Xét hàm số 
Có , .
Ta có: . Suy ra .
Do đó phương trình có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi .
Kết luận: .
	Bài tập luyện tập:
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất bằng
 A. 28 	B. 27 	C. 26	D. 25 
Bài 2: Tìm tham số nguyên nhỏ nhất để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất.
 A. . 	B. . 	C. .	D. 
Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng.
	Sau khi thực nghiệm dạy học theo chuyên đề “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất” ở lớp 12A1. Để đánh giá và so sánh đối chứng tôi thiết kế phiếu điều tra sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiện bằng đề kiểm tra 30 phút cho học sinh lớp 12A1 và lớp 12A9
(Bài kiểm tra được minh chứng ở phần Phụ lục )
	Kết quả:
 Điểm
Lớp
Điểm 9, 10
Điểm 7, 8
Điểm 5, 6
Điểm dưới 5
Lớp 12A1 (lớp thực nghiệm) 
Số lượng
(sĩ số 43)
12
21
8
2
%
27,9
48,8
18,6
4,7
Lớp 12A9
(Lớp đối chứng)
Số lượng
(sĩ số 44)
0
12
21
11
%
0
27,3
47,7
25
	Từ kết quả bài kiểm tra tôi nhận thấy ở lớp thực nghiệm 12A1, rất nhiều học sinh đã biết cách làm bài, nhiều em có lời giải chính xác, đạt điểm tối đa; số em ở mức dưới trung bình không nhiều chiếm 4,7%. Còn ở lớp đối chứng 12A9, kết quả không cao, hầu như các em còn lúng túng, còn chưa biết cách bắt đầu làm từ đâu, như thế nào, nhiều em còn bỏ bài không làm được. Qua đó tôi nhận thấy được hiệu quả của việc áp dụng SKKN này. 
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.
Kết luận
	Từ cách phân hóa bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, tôi phân thành 6 dạng bài. Với mỗi dạng bài tôi đều hình thành phương pháp giải, đồng thời đưa ví dụ minh họa và hai bài tập tự luyện cho học sinh. Khi thực hiện dạy thực nghiệm theo sáng kiến này tôi nhận thấy học sinh chủ động, tích cực hơn trong lĩnh hội kiến thức. Học sinh yêu môn toán và thích học toán Đại hơn. Do đó, học sinh phát huy được tính tự chủ, phát triển khả năng sáng tạo của các em trong các bài tập vận dụng liên quan đến Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
	Qua kết quả kiểm chứng thực nghiệm và đối chứng tại 2 lớp khối 12 Trường THPT Chương Mỹ A tôi nhận thấy dạy học hướng dẫn học sinh “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một trong những công cụ đắc lực cho các thầy cô giáo trong công tác dạy học và giáo dục, nhất là ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia. 
Khuyến nghị	 
	Với kết quả khả quan như trên tôi xin mạnh dạn đề ra một số giải pháp như sau:
	- Có thể phổ biến SKKN này tới các thầy cô trong tổ chuyên môn và các đơn vị khác.
	- Tổ chức các lớp ôn tập theo chuyên đề, ôn luyện và kiểm tra, ôn thi trung học phổ thông quốc gia đồng thời đánh giá kết quả việc ôn tập của học sinh.
	- Bổ sung một số bài tập hay và khó của phần Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vào sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 12.
 Trên đây là một số ý kiến của riêng tôi về vấn đề quan tâm. Trong phạm vi ngắn bài viết không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, vì vậy tôi rất mong được sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và đảm bảo tính sát thực đạt hiệu quả cao. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn./	
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, (2006), Sách giáo khoa hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục. 
Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, (2006), Sách bài tập hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục. 
Nguyễn Anh Trường, Đỗ Ngọc Thủy, Sách phân loại và phương pháp giải hình học 10, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Nguyễn Thanh Tùng (2016), Sách 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng Oxy, NXB tổng hợp Thành Phố Hồ Chí Minh.
Nguyễn Anh Văn, Lê Hoàng Nam, Trịnh Thị Hà Mi, Nguyễn Hà Ngọc Thiện, Đặng Ngọc Sơn, Bùi Nhật Quang, Nguyễn Ngọc Huyền, Hoàng Thị Ngọc Ánh, Sách Chinh Phục hình học giải tích trong mặt phẳng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội
PHỤ LỤC 
 Phiếu điều tra sau khi thực hiện đề tài.
ĐỀ KIỂM TRA 
Môn: Đại số lớp 12
Thời gian: 30’
Họ và tên học sinh: .
Lớp: .
Điểm
Nhận xét
ĐỀ BÀI 
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng 2020.
Câu 3: Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đạt nhỏ nhất thì bằng ?
--------------------Hết---------------------
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4đ)
Đặt 
.
Suy ra .
1đ
1đ
1đ
1đ
Bài 2
(3đ)
Đặt 
.
.
.
Suy ra .
Ta có .
Có 2 giá trị nguyên của thoản mãn yêu cầu bài toán.
1đ
1đ
1đ
Bài 3
(3đ)
Đặt .
.
.
Gọi .
Suy ra .
Dó đó . Dấu bằng xảy ra khi .
1đ
1đ
1đ