Giáo án Toán Lớp 12 - Chủ đề 3: GTLN - GTNN của hàm số

 Chủ đề 3 
 GTLN - GTNN CỦA HÀM SỐ 
 
A. LÝ THUYẾT 
I. ĐỊNH NGHĨA 
Cho hàm số y f x xác định trên tập .D 
 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
0 0
( ) ,
, ( )
f x M x D
x D f x M
  
  
. 
Kí hiệu: max ( )
x D
M f x
 . 
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
0 0
( ) ,
, ( )
f x m x D
x D f x m
  
  
. 
Kí hiệu: min ( )
x D
m f x
 . 
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa 
khoảng, ...) 
1. Tìm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng bảng biến thiên 
 Bước 1. Tính đạo hàm ( )f x . 
 Bước 2. Tìm các nghiệm của ( )f x và các điểm ( )f x trên K. 
 Bước 3. Lập bảng biến thiên của ( )f x trên K. 
 Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min ( ),max ( )
K K
f x f x 
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên 
Trường hợp 1. Tập K là đoạn [ ; ]a b 
 Bước 1. Tính đạo hàm ( )f x . 
 Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm [ ; ]
i
x a b của phương trình ( ) 0f x và tất cả các điểm 
[ ; ]
i
a b làm cho ( )f x không xác định. 
 Bước 3. Tính ( )f a , ( )f b , ( )
i
f x , ( )
i
f . 
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận 
;
max ( )
a b
M f x
 , 
;
min ( )
a b
m f x
 . 
Trường hợp 2. Tập K là khoảng ( ; )a b 
 Bước 1. Tính đạo hàm ( )f x . 
 Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm ( ; )
i
x a b của phương trình ( ) 0f x và tất cả các 
điểm ( ; )
i
a b làm cho ( )f x không xác định. 
  Bước 3. Tính lim ( )
x a
A f x
 , lim ( )
x b
B f x
 , ( )
i
f x , ( )
i
f . 
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận 
( ; )
max ( )
a b
M f x , 
( ; )
min ( )
a b
m f x . 
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). 
 Chú ý: 
o Nếu y f x đồng biến trên ;a b thì 
;
;
min
max
a b
a b
f x f a
f x f b
. 
o Nếu y f x nghịch biến trên ;a b thì 
;
;
min ( )
.
max ( )
a b
a b
f x f b
f x f a
o Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên 
khoảng đó. 
o Khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không nói rõ “trên tập 
K’’) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. 
f
 B. CÁC DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 
I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT 
TRỰC TIẾP 
1. Phương pháp 
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D , ta làm như sau: 
+ Bước 1: Tính f x và tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x D mà tại đó 0f x hoặc hàm số không 
có đạo hàm. 
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
2. Các ví dụ 
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 3 1y x x trên khoảng (0; ) 
Lời giải: 
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 6 5 21 2 1 1
3 5 2
f x x x x x trên tập xác định. 
Lời giải: 
 Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
 2
6 8
1
x
f x
x
 trên khoảng ;1 . 
Lời giải: 
Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1f x x
x
 trên khoảng 0; . 
Lời giải: 
Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2
1
1
x x
f x
x x
. 
Lời giải: 
 II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN 
GIÁ TRỊ 
1. Phương pháp 
Trong một số bài toán các em sẽ khó khăn khi sử dụng đạo hàm và vẽ bảng biến thiên , chúng 
ta sẽ tìm kiếm phương pháp khác để giải quyết bài toàn , một trong những phương pháp hay 
dùng là người ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 : 0 
Hoặc với phương trình lượng giác cơ bản .sin .cosA x B x C , điều kiện để phương trình có 
nghiệm là 2 2 2A B C 
2. Các ví dụ 
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số 
2
2
1
1
x x
y
x x
. 
Lời giải: 
Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số 
2sin cos 1
sin 2 cos 3
x x
y
x x 
Lời giải: 
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 sin cosy x x 
Lời giải: 
 Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 6sin cosy x x 
Lời giải: 
Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 22 sin 5 cos 1y x x 
Lời giải: 
 III. TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 
Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 
đoạn đó. 
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn: 
 Bước 1: 
Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn ; .a b 
Tìm các điểm 
1 2
, ,...,
n
x x x trên khoảng ;a b , tại đó 0f x hoặc f x không xác định. 
 Bước 2: Tính 1 2, , ,..., , .nf a f x f x f x f b 
 Bước 3: Khi đó: 
 
 max max
1 2
,
, ,..., , , .
n
a b
f x f x f x f x f a f b 
 
 min min
1 2
,
, ,..., , , .
n
a b
f x f x f x f x f a f b 
Chú ý: 
 Nếu y f x đồng biến trên ;a b thì 
;
;
min
max
a b
a b
f x f a
f x f b
. 
Nếu y f x nghịch biến trên ;a b thì 
;
;
min ( )
.
max ( )
a b
a b
f x f b
f x f a
 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên 
khoảng đó. Ví dụ: Hàm số 
1
f x
x
 không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên 
khoảng 0;1 . 
Các ví dụ 
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 3 22 3 12 1y x x x trên [–1; 5]. 
Lời giải: 
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
3 1
3
x
y
x
trên đoạn 0; 2 . 
Lời giải: 
Bài toán 3: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2 3 6
1
x x
f x
x
 trên đoạn 2; 4 . 
Lời giải: 
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y f x x x( ) 2 8 . 
Lời giải: 
Bài toán 5: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 sinf x x x trên đoạn 
; 0
2
. 
Lời giải: 
 Bài toán 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin cos 2y x x trên đoạn 
 0; . 
Lời giải: 
Bài toán 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos 2 4siny x x trên đoạn 
3
0;
4
. 
Lời giải: 
 Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2 sin 1 2y x trên đoạn 
;
2 2
. 
Lời giải: 
Bài toán 9: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
1
x m m
f x
x
trên đoạn 0;1 bằng 2 . 
Lời giải: 
Bài toán 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 23 72 90f x x x x trên 5; 5 . 
Lời giải: 
 IV. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
ĐẶT ẨN PHỤ 
1. Phương pháp 
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x (biểu thức P x ) trên D. 
 Bước 1: Biến đổi hàm số (biểu thức) đã cho về dạng y F u x P x F u x 
 Bước 2: Đặt t u x . Khi đó, ta tìm được t E với  .x D 
 Bước 3: Việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x biÓu thøc P x 
trên D quy về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số F t biÓu thøc F t
trên E. 
2. Các ví dụ 
Bài toán 1: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2sin 1 2y x trên đoạn 
;
2 2
. 
Lời giải: 
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
6 6
4 4
1 sin cos
.
1 sin cos
x x
y
x x
Lời giải: 
 Bài toán 3: Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2sin sin 5sin 1f x x x x là? 
Lời giải: 
Bài toán 4: Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
6 24 1f x x x trên đoạn 1;1 . Khi đó, tỉ số 
M
m
 bằng ? 
Lời giải: 
Bài toán 5: Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số 22 2 2f x x x x x trên đoạn 
 0; 2 . Khi đó, log 2 2a có giá trị bằng ? 
Lời giải: 
Bài toán 6: Cho biểu thức 
2 2
2 2
x xy y
P
x xy y
 với 2 2 0x y . Giá trị nhỏ nhất của P bằng? 
Lời giải: 
Bài toán 7: Cho hai số thực ,x y thỏa mãn 0; 0x y và 1x y . Giá trị nhỏ nhất và giá trị 
lớn nhất của biểu thức 
 1 1
yx
P
y x
 là? 
Lời giải: 
Bài toán 10: Cho x , 0y thỏa mãn 4x y .Tìm GTLN, GTNN của 3 31 1S x y . 
Lời giải: 
Bài toán 11: Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 2x y . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy . 
Lời giải: 
Bài toán 12: Cho x , 0y thỏa mãn 2 2 8x y . Tìm GTLN, GTNN của 
1 1
x y
S
y x
. 
Lời giải: 
Đặt t x y , ta có: 
2
2 22 2 8 16x y x y  4t , 
2
2 2 2 22 8x y x y xy x y 2 2t . 
Suy ra 2 2 4t . Lại có: 
2
2 2
2 8
2 2
x y x y t
x y
 . 
Ta có biến đổi sau đây: 
S
1 1
1 1
x x y y
y x
2
2
1
x y x y xy
x y xy
 2 2
2
8
8
1
2
t t t
t
t
2
8
2
2 6
t
t t
 
. 
Xét hàm 2
8
2 6
t
f t
t t
 với 2 2 4t . Ta có : 
2
2
2 2
2 2
2 6 8 2 2 16 22
' 0
2 6 2 6
t t t t t t
f t
t t t t
, : 2 2 4t t . 
Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4 
. Do đó 
2 2;4
2
min 4
3t
f t f
 . max 2 2 2f t f . 
+) 
2 2;4
4
2 min
3t
S f t
  , dấu bằng xảy ra 
2 2 8
4
x y
x y
 2x y . Vậy 
4
min
3
S , đạt 
được 2x y . 
+) 
2 2;4
2 max 4 2
t
S f t
  , dấu bằng xảy ra 
2 2 8
2 2
x y
x y
0
2 2
x
y
 hoặc 
2 2
0
x
y
. 
 Vậy 
4
max
3
S , đạt được 
0
2 2
x
y
 hoặc 
2 2
0
x
y
. 
Bài toán 13: Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 
2 2 1
1 1 3
x y
S
y x x y
. 
Lời giải: 
Đặt t x y 2
3 0
3
4
xy t
t
t
3
2 3
xy t
t
. 
Ta có 
S 
3 3 2 2 1
31 1
x y x y
x yx y
3 2
3 2 1
31
x y xy x y x y xy
x yxy x y
3 23 3 2 3 1
33 1
t t t t t
tt t
3
2 7 1 3
4 4 3 2
t t
t
t
. 
Xét hàm 
3
2 7 1 3
4 4 3 2
t t
f t t
t
, 2;3t 
. 
Ta có 
2
2
3 7 1
' 2 0
4 4 3
t
f t t
t
, 2;3t  
 1f đồng biến trên 2;3 . 
Do đó : 
4
2
5
S f t f . Dấu “ ” xảy ra 
3
2
x y xy
x y
 1x y 
4
min
5
S , Đạt được 1x y . 
35
3
6
S f t f . Dấu “ ” xảy ra 
3
3
x y xy
x y
0
3
x
y
 hoặc 
3
0
x
y
. 
35
max
6
S , Đạt được 
0
3
x
y
 hoặc 
3
0
x
y
. 
Bài toán 14: Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x xy y . Tìm GTLN, GTNN của 2 2S x xy y . 
Lời giải: 
Cách 1. Từ giả thiết suy ra 
2 2
2 2 3
1
4 4
x y x y
x y xy x y
 . 
Do đó, nếu đặt t x y thì 2
3
1
4
t , hay 
2 3 2 3
;
3 3
t
. 
Ta có 
2
21 1xy x y t , suy ra 
2
2 2 23 3 1 2 3S x y xy t t t . 
Xét hàm 22 3f t t với 
2 3 2 3
;
3 3
t
. Ta có ' 4f t t , 'f t có nghiệm duy nhất 
2 3 2 3
0 ;
3 3
t
. Ta có 0 3f , 
2 3 2 3 1
3 3 3
f f
. 
Do đó 
1
min
3
S , đạt được chẳng hạn khi 
2 2
2 3
3
1
x y
x xy y
2
2 3
3
1
x y
x y xy
2 3
3
1
3
x y
xy
1 1
; ;
3 3
x y
. 
 max 3S , đạt được khi và chỉ khi 2 2
0
1
x y
x xy y
2
0
1
x y
x y xy
0
1
x y
xy
 ; 1; 1x y hoặc ; 1;1x y . 
Cách 2. Ta có 
2 2
2 2
x xy y
S
x xy y
. 
 Xét 0y . Khi đó 1S . 
 Xét 0y . Chia cả tử và mẫu của S cho 2y và đặt 
x
t
y
 , ta được 
2
2 2
1 2
1
1 1
t t t
S
t t t t
. 
Xét hàm 2
2
1
1
t
f t
t t
, ta có 
2
2
2
2 1
'
1
t
f t
t t
. 
Bảng biến thiên của hàm f t : 
t 1 1 
 f t
 0 0 
 f t 1 
3 
 1
3
 1 
2
2
lim lim 1 1
1 1
1
t t
tf t
t t
Suy ra: 
+) 
1
min
3
S , đạt được 
2 2
1
1
x
y
x xy y
1 1
; ;
3 3
x y
 hoặc 
1 1
; ;
3 3
x y
 +) max 3S . Đạt được khi và chỉ khi 
2 2
1
1
x
y
x xy y
 ; 1; 1x y hoặc . 
Bài toán 15: [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn . Tìm GTNN của 
 4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y . 
Lời giải: 
Áp dụng bất đẳng thức 
2
2 2 3
4
a b ab a b với 2a x , 2b y ta được 
2
4 4 2 2 2 23
4
x y x y x y 
2
2 2 2 29 2 1
4
A x y x y . 
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 
2
4xy x y , ta có 
3 2
2x y x y 
2
1 2 2 0x y x y x y 
 1x y 
 (do 
2 2
2 2 1 1 0x y x y x y x , y ). 
Đặt 2 2t x y 
2
2
1
2 2
9
2 1
4
x y
t
A f t t t
. 
Xét hàm 2
9
2 1
4
f t t t , 
1
2
t . Ta có 
9
' 2 0
2
f t t 
1
2
t 
 f t đồng biến trên 
1
;
2
1 9
2 16
f t f
 . 
Như vậy 
9
16
S , dấu “ ” xảy ra 
2 2 1
2
x y
x y
1 1
; ;
2 2
x y
 hoặc 
1 1
; ;
2 2
x y
. 
Vậy 
9
min
16
S , đạt được 
1 1
; ;
2 2
x y
 hoặc 
1 1
; ;
2 2
x y
. 
Bài toán 16: [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện 0x y z và 
2 2 2 1x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5P x y z . 
Lời giải: 
Từ 0x y z suy ra z x y , thay z x y vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta 
được : 
2 2 2 2 2
2 2 1 31 2 2 2
2 2
x y x y x y xy x y x y x y 
Do đó, nếu đặt t x y thì ta có 
6 6
;
3 3
t
, 
22 1
2
t
xy
 . 
 ; 1;1x y 
3
4 2x y xy 
1
2
t 
23 1
2
t 
 Biến đổi: P 
5
5 5x y x y 
5
3 3 2 2 2 2x y x y x y x y x y 
3 2 5
2 23 2x y xy x y x y xy x y x y x y
2
2 2 2
3 2 52 1 2 1 2 13 2
2 2 2
t t t
t t t t t
    
 35 2
4
t t . 
Xét hàm 35 2
4
f t t t , với 
6 6
;
3 3
t
. 
Ta có 25' 6 1
4
f t t có hai nghiệm là 
6 6 6
;
6 3 3
t
 .
Ta có 
6 5 6
3 36
f
, 
6 5 6
6 36
f
, 
6 5 6
6 36
f
, 
6 5 6
3 36
f
. 
Vậy 
5 6
min
36
P , đạt được chẳng hạn khi 
6
6
x y , 
6
3
z . 
Bài toán 17: Cho x , y , 0z thỏa mãn 
3
2
x y z . Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S x y z
x y y z z x
 . 
Lời giải: 
Đặt 3t xyz . Ta có 0t và 3
3
3
2
x y z xyz 
1
2
t . Suy ra 
1
0;
2
t
. 
Lại có: 2 2 2 2 2 2 233 3x y z x y z t , 3
2 2 2 2 2 2 3
1 1 1 1 1 1 3 3
3
xyzx y y z z x x y y z z x t
   
 2
3
1
3S t
t
. 
Xét hàm 2 3
1
f t t
t
 với 
1
0;
2
t
. 
Ta có 
5
4 4
3 2 3
' 2 0
t
f t t
t t
1
0;
2
t
  
, suy ra f nghịch biến trên 
1
0;
2
. 
Vậy 
1 99
min 3
2 4
S f
, đạt được khi và chỉ khi 
3
1
2
x y z
xyz
1
2
x y z . 
Bài toán 18: [ĐHA03] Cho x , y , 0z thỏa mãn 1x y z . Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
 . 1 
Lời giải: 
 Xét 
1
;a x
x
, 
1
;b y
y
, 
1
;c z
z
, ta có 
1 1 1
;a b c x y z
x y z
. 
Từ a b c a b c 
 suy ra 
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
x y zx y z
Đến đây ta có hai cách đi tiếp: 
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 33x y z xyz , 3
1 1 1 1
3
x y z xyz
 . 
Do đó: 
9
1 9VT t
t
 , với 
2
3t xyz . 
Ta có 
2
1
0
3 9
x y z
t
. 
Xét 
9
9f t t
t
 với 
1
0;
9
t
. 
 Ta có 2
9
' 9 0f t
t
1
0;
9
t
  
 f t nghịch biến trên 
1
0;
9
. 
1
82
9
f t f
 (ĐPCM). 
Cách 2. 
2
2 1 1 1
x y z
x y z
2
2 21 1 1
81 80x y z x y z
x y z
2
2 21 1 1
2 81 80x y z x y z
x y z
21 1 1
18 80x y z x y z
x y z
 18.9 – 80 82 . Từ đó suy ra đpcm. 
 1 ( ) 82VT f t 
 Bài tập tự luyện 
1. [ĐHD09] Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 
 2 24 3 4 3 25S x y y x xy . 
2. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 
1 1
x y
S
y x
. 
3. Cho x , 0y thỏa mãn 1x y . Tìm GTLN, GTNN của 
 2 2 2 21 1 1S x y x y . 
4. Cho x , 0y thỏa mãn 3x y xy . Tìm GTLN, GTNN của 
6
2 2 1
x y
S
x y x y
. 
5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 4 4 2 2S x y x y . 
6. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1 1S x y . 
7. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn 
2 2
4 4 2 32x y xy . Tìm GTNN của 
 3 3 3 1 2A x y xy x y . 
8. [ĐHA06] Cho 0x , 0y thỏa mãn 2 2x y xy x y xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
3 3
1 1
A
x y
 . 
9. [ĐHB08]Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
 2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y
10. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x y xy . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 22S x xy y 
11. Cho x , y thỏa mãn 2 22 1x y xy . Tìm GTNN của biểu thức 2 2S x y . 
12. Cho x , y , 0z thỏa mãn 
3
2
x y z . Tìm GTNN của biểu thức 
1 1 1
S x y z
x y z
 . 
13. [ĐHB10] Cho a , b , 0c thỏa mãn 1a b c . Tìm GTNN của biểu thức 
 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2M a b b c c a ab bc ca a b a . 
14. Cho x , y , 0z thỏa mãn 
3
2
x y z . Tìm GTNN của biểu thức 
5 5 5
2 2 2
x y x x y z
P
y z xy z z x x y
 . 
 V. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH 
THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 
1. Tìm m để phương trình có nghiệm 
 Phương pháp 
Bước 1: Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( ).f x A m 
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ( )f x trên .D 
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số ( )A m để đường thẳng 
( )y A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số ( ).y f x 
Bước 4: Kết luận các giá trị của ( )A m để phương trình ( ) ( )f x A m có nghiệm (hoặc có k 
nghiệm) trên .D 
 Lưu ý 
o Nếu hàm số ( )y f x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị ( )A m cần 
tìm là những m thỏa mãn: min ( ) ( ) max ( ).
x D x D
f x A m f x
o Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần 
dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng ( )y A m nằm ngang cắt đồ 
thị hàm số ( )y f x tại k điểm phân biệt. 
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 
Bài toán 1: Tìm tham số thực m để phương trình 23 1x x m có nghiệm thực. 
Lời giải: 
Tập xác định D . 
Đặt 23 1,f x x x x  . Ta có: 
2
2 2
3 3 1 3
1 ,
3 1 3 1
x x x
f x x
x x
  
 . 
2
2
2 22
0
1
3 03 1 3 1
0 0 3 1 3 6
3 1 9 63 1 1
6
x
x xx x
f x x x x
x xx
x
. 
Bảng biến thiên: 
x 
1
6
 f x 0 
 f x 
2
3
 Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: 
2
3
m . 
Bài toán 2: Tìm tham số m để phương trình 3 23 3 1 0x x m có nghiệm trong 1; . 
Lời giải: 
Bài toán 4: 
 Tìm tham số thực m để phương trình 2 2m x x m 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. 
Lời giải: 
Bài toán 7: ( CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – LẦN 2 - 2017) 
Tìm để phương trình 6 4 3 3 2 26 15 3 6 10 0x x m x m x mx có đúng hai nghiệm 
phân biệt thuộc 
1
; 2 .
2
A. B. 
5
2 .
2
m C. D. 
 Lời giải: 
Bài toán 8: (QUỐC HỌC HUẾ - LẦN 2 - 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 
đồ thị hàm số 2 24 1 7y x m x có điểm chung với trục hoành. 
A. 0 3m . B. 
7
1
3
m . C. 
7
2
3
m . D. 2 3m . 
Lời giải: 
m
11
4.
5
m 
9
0 .
4
m 
7
3.
5
m 
Bài toán 9: Cho phương trình 3 212
2
log 6 2 log 14 29 2 0mx x x x . Tìm tất cả các giá 
trị của tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. 
A. 
39
18 .
2
m B. 
39
19 .
2
m C. 19 20.m D. 18 m 20. 
Lời giải: 
Chọn B. 
Phương trình 
3 2
3 2
2 2 2
6 14 29 2
log 6 log 14 29 2
14 29 2 0
mx x x x
mx x x x
x x
 2
2
6 14 29 1
.
1
2
14
m x x
x
x
Xét h/số 2
2
6 14 29f x x x
x
 trên 
1
; 2
14
; Ta có: 
3 2
2
1
12 14 2 1
0
2
1
3
x
x x
f x x
x
x
loaïi
x 
1
14
1
2
 1 2 
 f x 0 0 
 f x 3
98
 39
2
19 
24 
Bảng biến thiên: 
Bài toán 10: 
Tìm giá trị m không âm sao cho phương trình 3 33 3 2 2x x m m có nghiệm duy nhất. 
A. 1.m B. 1.m C. 2.m D. 2.m 
Lời giải: 
Chọn A 
Đặt 
3
3 33
3
3 2
3 2 3 3
3 2
x y m
y x m x y y x
y x m
2 2
2 2
3
3 0
3
3 0 2 3 .
2 4
x y x xy y
y y
x y x x y m x x
Đặt 3 2( ) 3 '( ) 3 3 0 1.f x y x x f x x x 
Bảng biến thiên như sau: 
x 1 1 
 f x 0 0 
 f x 
2 
2 
Từ đó với 1 2 2.T không âm thì phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 1.m m 
Bài toán 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 
 22 tan tanm x m x có ít nhất một nghiệm thực. 
A. 2 2m . B. 1 1m . C. 2 2m . D. 1 1m . 
Lời giải: 
Chọn C. 
Điều kiện: 
 ,
2
x k k . 
Ta có: 
2 2
2
tan
2 tan tan 2 tan 1 tan
2 tan 1
x
m x m x m x x m
x
Đặt tan ,t x t . Xét hàm số 
2
, .
2 1
t
f t t
t
 Ta có: 
2
2
2 2
2 2
'
2 2 1
t
f t
t t
 và 2' 0 2 2 2f t t t 
Ta có: 
2
2
lim lim lim 1
2 12 1
1
t t t
t t
f t
t
t
tt
 và 
 2
lim lim 1
2 1t t
t
f t
t
Bảng biến thiên 
t 2 2 
 f 0 0 
f 
 1 
 2 
1 
 2 
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có nghiệm thực khi 2 2m . 
Bài toán 12: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN-2017) 
Tìm m để phương trình 2 3 4 1x xm có hai nghiệm phân biệt. 
A. 
1
.
3
m B. 3 10m C. 10.m D. 1 3.m 
Lời giải: 
Chọn B. 
CÁCH 1 : 
 2 3 4 1x xm . 1 
 Vì hai vế đều dương nên 
2
22 3 4 1
1
0
x xm
m
. 
2 21 4 6.2 9 0
0
x xm m
m
Đặt 2 0xt t , ta được : 
 2 2 21 6. 9 0 2
0
m t t m
m
Phương trình 1 có hai nghiệm khi phương trình 2 có hai nghiệm dương phân biệt 
0
0
0
S
P
2 2
2
2
2
9 1 9 0
3
0
1
9
0
1
m m
m
m
m
10 3
3 10
m
m
Kết hợp điều kiện 0m . Suy ra 3 10m là giá trị cần tìm. 
 CÁCH 2 : 
 2 3 4 1x xm 
 4 1x
m 
Đặt 2 0xt t ta được : 
 2
3
1
t
m f t
t
2
2
2 3
2
3
1
1 31
1
1
t t
t
ttf t
t
t
 ; 
1
0
3
f t t 
Bảng biến thiên: 
t 0 
1
3
 f t 0 
 f t 3 10 
1 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra 3 10m là giá trị cần tìm. 
Bài toán 13: (TH CAO NGUYÊN-2017) 
Phương trình 3 3 2 0x mx có một nghiệm duy nhất khi điều kiện của m là: 
A. 2.m B. 1m . C. 1m . D. 1m . 
Lời giải: