Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm

Chủ đề . NGUYÊN HÀM
Thời lượng dự kiến: 5 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số; 
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm
2. Kĩ năng
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số(Khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổ biến số quá một lần) để tính nguyên hàm
3.Về tư duy, thái độ	
- Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống 
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự quản lý, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
2. Học sinh
+ Đọc trước bài
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Biết phối hợp hoạt động nhóm, bước đầu hiểu được khái niệm nguyên hàm.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
+Nội dung: Trò chơi “Ai nhanh hơn?”: Mỗi nhóm viết lên bảng phụ các hàm số mà đạo hàm của nó bằng hàm số cho trước: 
+Phương thức tổ chức: Theo nhóm – tại lớp.
+Phiếu học tập số 1: Cho học viết các hàm số mà đạo hàm bằng hàm số cho trước.
+GV đặt vấn đề vào bài mới.
+Dự kiến kết quả: Trả lời được phiếu học tập số 1 và bước đầu nắm được khái niệm nguyên hàm.
+ Đánh giá kết quả hoạt động: Học sinh tham gia sôi nổi tiếp cận khái niệm nguyên hàm.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu:- Hiểu và nắm được định nghĩa, điều kiện tồn tại nguyên hàm, các phương pháp tính nguyên hàm.
 -Làm được các bài tập về nguyên hàm.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. Nguyên hàm và các tính chất
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu 
Ví dụ 1:
1) là một nguyên hàm của trên 
2) là một nguyên hàm của trên 
Định lí 1: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì với mỗi ; cũng là một nguyên hàm của trên 
Định lí 2: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên mỗi nguyên hàm của trên đều có dạng 
Tóm lại: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì họ các nguyên hàm của trên là . Và được kí hiệu là . Như vậy ta có:
Ví dụ 2:
+Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp
Sản phẩm: Học sinh đưa ra được định nghĩa nguyên hàm và các yếu tố cơ bản về nguyên hàm.
Học sinh có thể đưa ra 
+ là một nguyên hàm của trên 
+ là một nguyên hàm của trên 
Học sinh dựa vào định nghĩa, phát biểu định lý.
Kết quả VD2:
Học sinh đứng tại chỗ trả lời kết quả của ví dụ.
2. Các tính chất của nguyên hàm
+Nội dung:
Tính chất 1: 
Tính chất 2: 
Tính chất 3:
VD3: Tìm nguyên hàm:
a) 
b) 
c) 
+Phương thức tổ chức hoạt động: Cá nhân – tại lớp
Kết quả 3: Học sinh phát biểu được tính chất của nguyên hàm.
Kết quả 4: Học sinh làm được VD3
a) 
b) 
c) 
3. Sự tồn tại nguyên hàm
+Nội dung:
Định lí 3: 
Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
+Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
Kết quả: Học sinh nắm được nội dung định lí 3
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số
+Nội dung:
Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản (SGK)
+Ví dụ: Tính các nguyên hàm
A = 
B = 
C = 
D = 
+Phương thức tổ chức: Cá nhân – tại lớp
Phiếu học tập số 2: Cho bảng đạo hàm và cho HS điền vào chỗ trống, từ đó suy bảng nguyên hàm.
Kết quả 1: Trả lời được phiếu học tập số 2.
Kết quả 2: Học sinh nắm được bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản. 
Kết quả 3: Học sinh làm được bài tập.
A = 
B = 
C = 
D = 
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến
+ Nội dung:
a)Định lí 1: Nếu với có đạo hàm liên tục thì 
b)Hệ quả: Nếu thì
Ví dụ 1: Áp dụng hệ quả:
Tính 
c)Các bước phương pháp đổi biến:
Giả sử tính .
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Tính 
Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức 
ta có:
Bước 4: Thay ngược lại ta có 
Ví dụ 2 . Tính các nguyên hàm sau:
a)	b)
c)
+Phương thức tổ chức: Tập thể - tại lớp
Kết quả 1: Học sinh nắm được tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Kết quả 2: Học sinh làm được ví dụ 2.
a. Đặt . Ta có 
b. Đặt . Ta có 
c. Đặt . Ta có:
Hay: 
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
+Nội dung:
a)Định lí 2: Nếu hai hàm số ; có đạo hàm liên tục trên thì 
Chú ý: Vì ; nên có thể viết lại đẳng thức trên như sau: (Công thức nguyên hàm từng phần)
b) Các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần :
Giả sử tính 
Bước 1 : Đặt 
Bước 2 : 
Bước 3: Tính và thay vào ta có kết quả.
Ví dụ 3: Tính 
a) b) c) 
+Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp
Kết quả 1: Học sinh nắm được các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Kết quả 2: Học sinh làm được ví dụ 3:
a) Đặt và, ta có và 
Do đó : 
b) Đặt và , ta có và .
Do đóc) Đặt và , ta có và .
Do đó
Củng cố:
Cách đặt; trong một số dạng nguyên hàm thường gặp
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu:Trên cơ sở các kiến thức đã học, học sinh vận dụng được các kiến thức đã học về phương pháp đỗi biến số để giải quyết một số bài cụ thể.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
1. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
1.1. Tóm tắt kiến thức về phương pháp đổi biến số: 
+Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp
1.2. Bài tập luyện tập:
+Nội dung:
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến theo hướng dẫn trong bài:
a) (Đặt )
b) (Đặt )
c) (Đặt )
d) (Đặt )
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)	b)
c)	 d)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a)	b)
c)	d)
+Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp
Kết quả 1: Học sinh nhắc lại được phương pháp đổi biến:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Tính 
Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức 
ta có:
Bước 4: Thay ngược lại ta có 
Kết quả 2: Giải bài tập số 1.
a) 
Đặt 
b) 
Đặt 
c) 
Đặt 
d) 
Ta có:
Đặt 
Kết quả 3: Giải bài tập số 2.
a)
b)
c)
d)
Kết quả 4: Giải bài tập số 3.
a)
Đặt . Do đó:
b) Đặt
c) Tương tự :Đặt 
d) Biến đổi: 
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
2.1. Tóm tắt kiến thức về phương pháp nguyên hàm từng phần.
+Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp
2.2. Bài tập luyện tập:
+Nội dung:
Bài tập 4. Tính: 
a) 
b) 
c) 
d)
+Phương thức tổ chức: Cá nhân - tại lớp
Kết quả 1: Học sinh nhắc lại được nguyên hàm từng phần.
Giả sử tính 
Bước 1 : Đặt 
Bước 2 : 
Bước 3: Tính và thay vào ta có kết quả.
Kết quả 4: Giải bài tập số 3.
Đặt và, ta cóvà . Do đó
b) Đặt và , ta có và .Do đó
 Lại đặt và , 
ta có và . Khi đó
 Từ đó, ta được 
c) Đặt và , ta có và .Do đó
d) Đặt và , ta có và . Do đó
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D
Mục tiêu: Học sinh vận dụng được các kiến thức đã học để giải quyết một số bài cụ thể và tìm được cách giải quyết bài toán thực tế.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài toán 1:
Một vật chuyển động với vận tốc có gia tốc Vận tốc ban đầu của vật là Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?
+Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà
Kết quả:
.
. 
Vậy .
Bài toán 2: Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có con, tới ngày thứ thì số lượng vi trùng trong đám ấy là con, với . Gọi là số lượng vi trùng trong đám ấy sau ngày, tính giá trị của x.
+Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà
Kết quả:
Ta có .
. 
Vậy 
Bài toán 3: 
Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số có đồ thị hàm số là đường thảng như hình bên. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn đê phóng khỏi mặt đất .Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.
+Hình thức tổ chức: Theo nhóm – tại nhà
GV phân tích bài toán:
•Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số , và đề bài chưa cho công thức , nên bước đầu ta cần tìm công thức 
•Vì đồ thị hàm số là đường thẳng nên có dạng , đường thẳng này đi qua gốc tọa độ và điểm từ đó suy ra phương trình 
•Nhớ rằng: Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc của vật chuyển động nên ta có
•
•Chú ý điều kiện vận tốc của máy bay lúc bắt đầu tăng tốc là , từ đây ta suy ra được hàm số 
•Đê’ tính vận tốc của máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta chỉ cần tính .
GV cho HS xung phong lên bảng làm:
Kết quả:
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm nên 
suy ra 
Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có công thức vận tốc được tính theo công thức 
Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như t = 0 và vận tốc lúc đê là 
 Suy ra 
Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM:
NHẬN BIẾT
1
Câu 1: Cho , là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Câu 2: Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Vì .
Câu 3: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 4: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Áp dụng với và là hằng số.
Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề.
THÔNG HIỂU
2
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn C 
Ta có 
.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .	B. .
C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
Câu 7: Biết là một nguyên hàm của hàm số và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: .
Theo đề .
Vậy .
Câu 8: Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Ta có .
Lại có: . Vậy .
VẬN DỤNG
3
Câu 9: Gọi là một nguyên hàm của hàm số , thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Ta có: .
Mà .
Khi đó: 
Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn A 
.
Đặt: .
.
Đặt: .
.
Câu 11: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: , với mọi .
+ Xét trên . Ta có , suy ra .
Do đó, , với mọi . Suy ra .
+ Xét trên . Ta có , suy ra .
Do đó, , với mọi . Suy ra .
Vậy .
Câu 12: Cho là số thực dương. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
 (1)
Ÿ Tính :
Đặt 
Ÿ Thay vào (1), ta được: .
Với .
Ÿ Vậy .
VẬN DỤNG CAO
4
Câu 13: Cho hàm số ; và .
Tính tổng ; với tối giản. Chọn khẳng định đúng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
.
Lại có: .
Vậy hay .
Ta có: 
.
Vậy hay , .
Câu 14: Giả sử hàm số liên tục, dương trên ; thỏa mãn và . Khi đó hiệu thuộc khoảng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Ta có .
Vậy , mà . Do đó .
Nên .
Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc có gia tốc là . Vận tốc ban đầu của vật là . Hỏi vận tốc của vật sau .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Ban đầu vật có vận tốc .
.
B. PHẦN TỰ LUẬN:
NHẬN BIẾT
1
Bài 1: Hàm số là nguyên hàm của trên tập số thực. Tìm .
Lời giải:
.
THÔNG HIỂU
2
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số 
Lời giải:
Ta thấy nên 
VẬN DỤNG
3
Bài 3: Giả sử hàm số liên tục, nhận giá trị dương trên và thỏa mãn , , với mọi .Tính .
Lời giải:
Ta có 
Mà nên . Suy ra .
VẬN DỤNG CAO
4
Bài 4: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ
(người/tháng). Tính dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới. 
Lời giải:
 -Gọi f (x) là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.
- Tốc độ thay đổi của dân số là 
- Suy ra 
- Mà 
- Do đó 
-Số dân trong 4 tháng tới là: 
người
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1: 
Phiếu bài tập trong tình huống khởi động
Cho các hàm số
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
f) 
Hãy tìm các hàm số tương ứng sao cho 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2: 
Hày điền và chỗ trống
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
1. Nguyên hàm
Biết nguyên hàm của hàm số f(x)
Hiểu nguyên hàm của hàm số f(x)
2. Tính chất của nguyên hàm
Biết các tính chất của nguyên hàm
Hiểu các tính chất của nguyên hàm
Tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Biết sự tồn tại của nguyên hàm
Hiểu sự nguyên hàm của hàm số f(x)
Tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
Biết bảng nguyên hàm
Hiểu bảng nguyên hàm
Tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản
Biết cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đồng nhất
5. Phương pháp đổi biến số
Nhận biết phương pháp đổi biến số
Hiểu phương pháp đổi biến số
Tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản
Tìm nguyên hàm của một số hàm số phức tạp
6. Phương pháp từng phần
Nhận biết phương pháp từng phần
Hiểu phương pháp từng phần
Tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản
Tìm nguyên hàm của một số hàm số phức tạp