Đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Tính thể tích tứ diện theo các cạnh

TÍNH THỂ TÍCH TỨ DIỆN THEO CÁC CẠNH
 Trong tài liệu Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO fx-570VN LUS dành cho các lớp 10 -11-12 của TS. Nguyễn Thái Sơn, giảng viên trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, xuất bản năm 2015 có giới thiệu bài toán tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh của nó nhưng không trình bày chứng minh. Bài viết nhỏ này muốn làm rõ để chia sẻ cùng các đồng nghiệp.
 Tính thể tích tứ diện và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo 6 cạnh của nó cũng là các bài toán thú vị khi dạy giải toán hình học không gian cho học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi Máy tính cầm tay.
 Bài toán tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh của tứ diện: Cho tứ diện ABCD có 6 cạnh lần lượt là , trong đó các cặp cạnh đối diện lần lượt là: ; và . Chứng minh rằng thể tích V của tứ diện được tính bởi công thức:
 (cũng gọi là công thức Hê-rông)
 trong đó:
GIẢI: (xem các cạnh tứ diện thể hiện trên hình vẽ)
 A
 a3
 a1 
 a2 D1
 B a6 D
 C1
 a4 a5
 C
 Không mất tính tổng quát, có thể giả sử AB = min(AB, AC, AD) hay . Trên các cạnh AC, AD lần lượt lấy các điểm C1, D1 sao cho AC1=AD1 =AB=a1.
 Ta có: 
 Tứ diện ABC1D1 có AB=AC1=AD1 nên hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mp(BC1D1) trùng với tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1D1. 
 Lần lượt xét các tam giác ABC1, AC1D1, ABD1 ta có:
 ,
 ,
 .
 Tam giác BC1D1 cho: 
 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1D1. Áp dụng định lý sin, ta có:
 Do đó:
 .
 Diện tích tam giác BC1D1:
 Thể tích tứ diện ABC1D1:
 Viết biểu thức M theo 6 cạnh rồi sử dụng phần mềm Maple rút gọn ta được:
 (nếu khai triển thủ công M ra chi tiết thì có tới 135 số hạng !?)
 Tiếp tục dùng phương pháp thủ công nhóm lại, ta được:
 Do đã đặt: 
 Ta được 
 Do đó: 
 Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là:
* * *
 Việc tìm lời giải cho công thức tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh như trên là không khó thấy. Vấn đề ở chỗ là việc tính toán trên các biểu thức theo các cạnh hơi nhiều và phải nói là khá cồng kềnh, nếu thực hiện theo phương pháp thủ công thì rất vất vả. Nhờ phần mểm Maple 9.5 trợ giúp, biểu thức M được rút gọn dễ dàng. 
 Trong bài tập thông thường cho học sinh, để tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh ta chỉ có thể cho tứ đều hoặc dạng hình chóp tam giác đều hoặc hình chóp tam giác có một cạnh bên vuông góc với đáy hoặc một hình chóp tam giác có dạng đặc biệt nào đó mà học sinh có thể tính được chiều cao không quá khó. Công thức tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh bất kỳ như trên có thể nói là “đẹp” về mặt Toán học.
 Một bài toán khác liên quan cũng khá thú vị là: Chứng minh rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tính theo 6 cạnh của nó được cho bởi công thức:
 trong đó V là thể tích tứ diện (tính theo 6 cạnh cho trên), (biểu thức căn bậc hai chính là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác). (Xem Nguyễn Thái Sơn, sách đã dẫn, trang 127).
 Bài toán này tôi có một hướng giải nhưng khá dài, xét nhiều trường hợp. Mời các bạn cùng tìm tòi lời giải. 
 Người viết,
 NGUYỄN NGỌC ẤN 
 P/S: Nhờ các bạn góp ý, phản biện giùm. Cảm ơn!