Đề ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng toán 22: Khối trụ

DẠNG TOÁN 22: KHỐI TRỤ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
wKhái niệm: Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh thì đường gấp khúc tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. 
Đường thẳng được gọi là trục.
Đoạn thẳng được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm , bán kính và hình tròn tâm , bán kính được gọi là hai đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
wCông thức tính diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ:
Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng .
Diện tích xung quanh của hình trụ: 
Diện tích toàn phần của hình trụ: 
Thể tích khối trụ: 
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm các yếu tố của hình trụ.
 .
3. HƯỚNG GIẢI: 
B1: Theo giả thiết ta có . Vì thiết diện là hình vuông nên độ dài đường cao là 
B2: Diện tích xung quanh của hình trụ: .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có . 
Vì thiết diện là hình vuông nên độ dài đường cao là .
Diện tích xung quanh của hình trụ: .
Bài tập tương tự và phát triển:
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật có và thuộc hai đáy của khối trụ. Biết . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có . 
Độ dài đường cao là .
Thể tích khối trụ: . 
Cho hình chữ nhật có . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có . 
Độ dài đường cao là .
Thể tích khối trụ: .
Cắt hình trụ bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng và chu vi bằng . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ . Diện tích toàn phần của hình trụ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là bán kính mặt đáy, là đường cao của hình trụ.
Thiết diện là hình chữ nhật có kích thước là và .
Hình chữ nhật có diện tích bằng và chu vi bằng nên có:
 (Vì chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy)
Diện tích toàn phần của hình trụ .
Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh . Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có . 
Độ dài đường cao là .
Diện tích toàn phần của khối trụ .
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính của đường tròn đáy.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết ta có diện tích xung quanh . 
Độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy nên .
Đường sinh và đường cao của hình trụ bằng nhau nên: .
Suy ra: .
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng bán kính đường tròn đáy bằng 4cm. Tính thể tích của khối trụ .
A. 	B. .	C. 	D. 
Lời giải
Chọn C
Ta có: 
Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng . Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối trụ.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Gọi là hai tâm của mặt đáy. 
Thiết diện là hình vuông với thuộc mặt đáy chứa tâm ; thuộc mặt đáy chứa tâm .
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng Cạnh hình vuông bằng .
Khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng bằng .
Ta có: 
Thể tích khối trụ: .
Một hình trụ có chiều cao bằng . Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng song song với trục, và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C 
Gọi là hai tâm của mặt đáy. 
Thiết diện là hình chữ nhật với thuộc mặt đáy chứa tâm ; thuộc mặt đáy chứa tâm .
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Hình trụ có chiều cao bằng .
Mặt phẳng song song với trục, và cách trục một khoảng bằng .
Thiết diện thu được có diện tích bằng .
Ta có: .
Diện tích xung quanh của hình trụ: .
Cho là thiết diện song song với trục của hình trụ ( thuộc đường tròn tâm
). Cho biết và thể tích của hình trụ bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Ta có: .
Thể tích khối trụ: 
Ta có: .
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông cạnh có hai đỉnh liên tiếp nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng tạo với đáy hình trụ góc . Tính diện tích xung quanh hình trụ.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D 
Gọi lần lượt là trung điểm của . Dễ chứng minh thẳng hàng.
Góc giữa và mặt đáy là góc .
Ta có: , do đó .
Suy ra và 
Diện tích xung quanh của hình trụ: .
Cho một khối trụ có bán kính đáy và chiều cao . Mặt phẳng song song với trục của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi là thể tích phần khối trụ chứa trục
, là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số , biết rằng cách một
khoảng bằng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là phần khối trụ chứa trục ; là phần còn lại của khối trụ.
Gọi là thiết diện do mặt phẳng khối trụ
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Thể tích khối trụ: .
Ta có: cách một khoảng bằng .
Ta có: 
Suy ra tam giác vuông cân tại 
Diện tích hình quạt là 
Diện tích tam giác là 
Suy ra diện tích hình viên phân ứng với là: .
Diện tích hình viên phân ứng với là: 
Vì và có cùng chiều cao nên .
Một khối trụ có thể tích bằng 6p. Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi lần lượt là bán kính của mặt đáy hình trụ trước và sau khi tăng bán kính đáy.
Ta có: .
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích bằng , nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì chiều cao của lon sữa bò bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Diện tích toàn phần của lon sữa là: 
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số: 
.
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi .
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò có hình trụ với thể tích bằng , nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng và diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy của lon sữa bò bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là bán kính đáy của lon sữa.
Khi đó .
Diện tích toàn phần của lon sữa là: 
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số: 
.
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi .
Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là bán kính đáy của lon sữa.
Khi đó .
Diện tích toàn phần của lon sữa là: 
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số: 
.
Bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi .
Mặt phẳng chứa trục của một hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 12 cm. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ tương ứng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là đường cao của hình trụ.
Thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 2r và h.
Ta có: .
Thể tích của khối trụ: 
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của của thể tích khối trụ là .