Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Năm 2021 - Phương pháp đổi biến - Phạm Tuấn

 Đ Ă N G K Ý H Ọ C L I Ê N H Ệ T H Ầ Y P H Ạ M T U Ấ N – 0 9 7 7 . 1 4 4 . 1 9 3 1 | 3 
Phạm Tuấn – Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia 
HỌC TOÁN CÙNG THẦY TUẤN 
Phone: 0977.144.193 
Facebook: Phạm Tuấn 
Địa chỉ: số 7 ngõ 161 đường Ngọc Hồi 
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021 – LỚP 12 
−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1: 
Dấu hiệu Chọn ẩn 
Hàm có mẫu số Đặt mẫu bằng t 
Hàm , ( )f x x Đặt ( )t x 
Hàm 
sin cos
( )
sin cos
a x b x
f x
c x d x e
 Đặt tan
2
x
t (với cos 0
2
x
 ) 
Hàm 
1
( )
( )( )
f x
x a x b
 Với 0; 0x a x b , đặt
t x a x b 
 Với 0; 0x a x b , đặt
( ) ( )t x a x b 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau: 
1)
2 1
x
dx
x 
 2)
2
3 10
x
dx
x 
 3)
2
2 2
2 1
x
x x
 4)
4 3 3(1 )x x dx 
5)
2
2
4 7
x
dx
x x
 6)
3
2 1
x
dx
x 
 7)
3( 1)
x
dx
x 
 8)
3 2 8(2 3 )x x dx 
Phương pháp chung: 
- Bước 1: Chọn ( )t g x , trong đó ( )g x là hàm số chọn cho thích hợp 
- Bước 2: Rút x theo t tức là khi đó ( )x t 
- Bước 3: Lấy vi phân ( ( )) '( )dx d t t dt 
- Bước 4: Viết lại nguyên hàm ( ) ( )f x dx h t dt và tính nguyên hàm theo ( )h t dt 
- Bước 5: Chuyển lại kết quả tìm được về biến x 
 Đ Ă N G K Ý H Ọ C L I Ê N H Ệ T H Ầ Y P H Ạ M T U Ấ N – 0 9 7 7 . 1 4 4 . 1 9 3 2 | 3 
Phạm Tuấn – Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia 
 9) 5 2 23 (1 2 )x x dx 10)
3 2 4( 2)x x dx 11)
5 7 4(2 )x x dx 12)
2 5(2 1)( 2)x x x dx 
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau: 
1)
3 21x x dx 2)
2
1
x
dx
x 
 3) 2 4
x
dx
x 
 4)
3 21
x
dx
x 
5)
3
3 2 1
x
dx
x 
 6)
1
(1 )
dx
x x 
 7)
4 1
2 1 2
x
dx
x
 8)
5
3 1
x
dx
x 
9)
1
2 1 4 1
dx
x x 
 10)
3
2 9
x
dx
x 
 11)
1 1
x
dx
x 
 12)
3 ( 2)x x dx 
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau: 
1)
1
1x
dx
e 
 2)
2
1
x
x
e
dx
e 
 3)
2 1.xe xdx 4)
( 3)
1
x x
x
e e
dx
e
5)
(10 ) 1
x
x x
e
dx
e e 
 6)
1 sin .cosxe xdx 7)
22 sin .sin 2xe xdx 8)
1
2
xe
dx
x 
9)
5(ln 2)x
dx
x
 10)
21 ln
ln
x
dx
x x
 11)
1
(1 ln )
dx
x x 
 12)
4
1
ln
dx
x x 
13)
1 3ln lnx x
dx
x
 14)
1
4 ln
dx
x x 
 15)
2 4(5 ln ) lnx x
dx
x
 16)
sin(ln )x
dx
x 
Bài 4. Tìm các nguyên hàm sau 
1) sin 2 .cosx xdx 2)
4 3sin .cosx xdx 3)
3 2sin .cosx xdx 
4) 1 3sin .cosx xdx 5) 4
1
sin
dx
x 
 6)
4
1
cos
dx
x 
7) 3 1 7cos .sinx xdx 8)
4sin .cosx xdx 9)
5cos .sinx xdx 
10)
5sin xdx 11)
sin .cos
1 3sin
x x
dx
x 
 12) 3
sin
(2 cos )
x
dx
x 
Bài 5. Tìm các nguyên hàm sau 
1)
1
( 1)( 2)
dx
x x 
 2)
1
( 1)( 3)
dx
x x 
 3)
1
( 3)( 5)
dx
x x 
4)
sin cos
sin cos 1
x x
dx
x x
 5)
sin cos
sin 2cos 3
x x
dx
x x
 6)
2sin 3cos
3sin 2cos 1
x x
dx
x x
 Đ Ă N G K Ý H Ọ C L I Ê N H Ệ T H Ầ Y P H Ạ M T U Ấ N – 0 9 7 7 . 1 4 4 . 1 9 3 3 | 3 
Phạm Tuấn – Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia 
 Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2: 
Dấu hiệu Chọn ẩn 
2 2a x 
sin ( )
2 2
cos (0 )
x a t t
x a t t
2 2x a 
( ) \{0}
sin 2 2
(0 ) \{ }
cos 2
a
x t
t
a
x t
t
2 2a x tanx a t 
a x
a x
hoặc
a x
a x
cos 2x a t 
( )( )x a b x 
2( )sinx a b a t 
Bài 6. Tìm các nguyên hàm sau 
1)
2
1
3
dx
x 
 2)
22 x dx 3)
2
21
x
dx
x 
 4)
2 24x x dx 
5)
2
1
4
dx
x 
 6)
2
2
x
dx
x
 7)
2
23 2
x
dx
x x 
 8) 2 2 3
dx
x x 
9)
22x x dx 10)
3
3
x
dx
x
 11)
2 2 16x x dx 12)
2 5 4x x dx 
13)
2 3(1 )
dx
x 
 14)
2
29 4
x
dx
x 
 15)
2 23 4x x dx