Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán: Hình học phẳng

WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 1 Năm 2012 - 2013 
y 
u
u
1M
M2 
CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC PHẲNG 
A. LÝ THUYẾT 
I. Tọa độ 
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ 
đơn vị ,i j  1 i j . 
2. ; u xu x y i y j    ; M(x;y) 1 2OM OMOM xi y j     
3. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ')u x y v x y 
a. '; 'u v x x y y b. '; 'u v x x y y 
c. ( ; )ku kx ky d. . ' 'u v xx yy  
e. ' ' 0u v xx yy f. 2 2u x y , 2 2v x y 
g. cos , .
.
 
 u v
u v
u v
. 
4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB) 
a. ;B A B AAB x x y y  b. 2 2B A B AAB x x y y 
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có: 
GA GB GC O     , 
3
OA OB OCOG 
    xG= 3
A B Cx x x ; yG= 3
A B Cy y y 
d. M chia AB theo tỉ số k: MA kMB   ;
1 1
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; .
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y 
 e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC   
 h) Tính chất đường phân giác: 
Gọi AD lần lượt là đường phân giác trong của góc A 
(D BC; E BC), ta có: DB AB
DC AC
Diện tích : 
 * Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc ABC vôùi : AB
 
 = (x1;y1), AC
 
 = ( x2;y2) 
thì S = 
2
1 | x1y2 – x2y1| 
* Công thức khác: 1 1 sin ( )( )( )
2 2 4
 ABC a abcS ah ab C pr p p a p b p cR 
1 ( ; ).
2
d A BC BC 
(Với a, b, c là ba cạnh, ah là đường cao thuộc cạnh a, 1 ( )2p a b c , R và r lần 
lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC) 
l/ Diện tích tứ giác: 
xo i
j
M
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 2 Năm 2012 - 2013 
* ABCD là tứ giác có hai đường cháo AC và BD vuông góc thì 
 1 .
2ABCD
S AC BD 
g/ 
u cuøng phöông vôùi '
u '
'
yy
xx
 = xy’ – x’y = 0 
+ A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1
2 2
 x yAB k AC
x y
   , 
với AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2), k 0 
II. Phương trình đường thẳng 
1. Một đường thẳng được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp 
tuyến ;n A B hoặc một vectơ chỉ phương ;u a b ta có thể chọn ;u a B b A 
 *Phương trình tổng quát 0 0 0 0A x x B y y Ax By C . 
 *Phương trình tham số: 0
0
x x at
y y bt
 , t R . 0 0( ) ;M M x at y bt 
 *Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: 0 0y k x x y . 
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ), B(x B ;y B ): A A
B A B A
x x y y
x x y y
2. Khoảng cách từ một điểm M(xM;yM) đến một đường thẳng :Ax + By + C = 0 là: 
2 2
, M M
Ax By C
d M
A B
. 
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt tại H thì ,d M MH 
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
Cho hai đường thẳng 
0:
0:
2222
1111
cybxa
cybxa 
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 21 và ta xét số nghiệm của hệ phương 
trình 
0
0
222
111
cybxa
cybxa (I) 
 Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì 
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 1 1
1 2
2 2 2
/ /
a b
caét
a b
a b c
a b c
a b c
a b c
  
4. Góc giữa hai đường thẳng. 
a
n 
(C) 
r
I 
M
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 3 Năm 2012 - 2013 
*Góc giữa hai đường thẳng 21 và của (I) có VTPT 21 nvàn được tính theo công 
thức: 
2
2
2
1
2
2
2
1
2121
21
21
2121
.
||
||||
|.|
),cos(),cos(
bbaa
bbaa
nn
nnnn 
 hoặc tính theo véc tơ chỉ phương 
thay n
 bằng u 
* Góc giữa hai đường thẳng:( ): y = k1 x + b và ( ’): y = k 2 x + b’ là: 
tan 2 1
1 2
( ; ')
1 .
k k
k k
 (Công thức tan) 
III. Phương trình đường tròn 
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r. 
Phương trình: 
Dạng 1: 2 2 2x a y b r . 
Dạng 2: 2 2 2 2 0x y ax by d , điều kiện 2 2 0a b d và 
2 2r a b d .Tâm I(a;b) 
2. Điều kiện để đường thẳng : 0Ax By C (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là: 
2 2
,
Aa Ba C
d I r
A B
Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b 0 thì đường thẳng (1) thành 
y kx b hoặc 0kx y b thì bài toán đơn giản hơn. 
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + 
c = 0 
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 
2by + c = 0 
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M0 . 
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: ;M x y 
 0. 0OIM M M 
  
 ta có (x – x0) (x0 – a)+ (y – y0) (y0 – b)= 0 
 hoặc 0 0 0 0( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c 
 2 20 0 0 0 0 0.( ) 0 0IM IM IM IM IM IM x a x a y b y b R       
IV. Ba đường conic 
Elip 
1. Phương trình chính tắc: 2 22 2 1x ya b , (a>b>0). 
2. Các yếu tố: 2 2 2c a b , a> c>0.,a>b>0 
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b. 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 4 Năm 2012 - 2013 
Hai tiêu điểm 1 2;0 , ;0F c F c . 
Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn 1 2;0 , ;0A a A a , 
2 đỉnh trên trục bé 1 20; , 0;B b B b . 
Tâm sai: 1ce
a
Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0;x y )thuộc (E) thì 1 1 0
2 2 0
MF r a ex
MF r a ex
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2. hoặc 
dùng điều kiện nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm. 
Hyperbol 
1. Phương trình chính tắc: 2 22 2 1x ya b , (a> b>0). 
2. Các yếu tố: 2 2 2c a b , c>a>0. 
Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục thực A1A2=2a Độ dài trục ảo B1B2=2b. 
Hai tiêu điểm 1 2;0 , ;0F c F c . 
Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực 1 2;0 , ;0A a A a , 
Bán kính qua tiêu điểm: M( 0 0;x y )thuộc (H) : 
0x a thì 
1 0
2 0
cMF a x
a
cMF a x
a
0x a thì 
1 0
2 0
cMF a x
a
cMF a x
a
 hoặc tổng quát: 
1 0
2 0
cMF a x
a
cMF a x
a
Hai đường tiệm cận: by x
a
Tâm sai: 1ce
a
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2 B2b2=C2. 
Parabol 
1. Phương trình chính tắc: 2 2y px , (p>0 gọi là tham số tiêu). 
2. Các yếu tố: 
x
y 
F2F 1 
B 2 
B 1 
A 2A 1
O 
M
y= b 
a x 
y=-
b
a
x
B1
B2
A 2 
F 2 
A 1
F1
O
y 
x 
B2 
F 2 
y 
x O
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 5 Năm 2012 - 2013 
Một tiêu điểm ;0
2
pF , đường chuẩn 2
px 
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
I. Xác định tọa độ của điểm: 
Để tìm tọa độ của điểm M có thể có các cách sau 
+ M là giao điểm của hai đường thẳng. 
+ M là giao điểm của đường tròn và đường thẳng. 
+ M là điểm thỏa mản một đẳng thức về độ dài hoặc đẳng thức vectơ . 
Chú ý: 
+ Nếu liên quan đến đường phân giác thì ta chú ý đến điểm đối xứng qua đường 
phân giác đó. 
 Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao 
: 1 0CH x y , phân giác trong : 2 5 0BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính 
diện tích tam giác ABC 
Giải: 
+ Do AB CH nên AB: 1 0x y . 
+Ta có AB BN B 
Nên tọa độ của B là nghiệm của hệ: 
 2 5 0 4
1 0 3
x y x
x y y
Do đó: ( 4;3)B . 
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì 'A BC . 
 - Phương trình đường thẳng (d) qua A và 
vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y . 
 Gọi ( )I d BN  . 
 Ta có tọa độ của I là nghiệm của hệ 2 5 0 1
2 5 0 3
x y x
x y y
 . 
 Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A 
+ Phương trình BC: 7 25 0x y . 
Ta có C CH BC  
 Tọa độ của C là nghiệm của hệ 
13
7 25 0 4
1 0 9
4
xx y
x y y
B C 
A
H
N
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 6 Năm 2012 - 2013 
 Suy ra: 13 9( ; )
4 4
C . 
+ 2 2 450( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC , 
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
d A BC
 . 
Suy ra: 1 1 450 45( ; ). .3 2. .
2 2 4 4ABC
S d A BC BC 
 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD 
 có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:1 yxd và 
 06:2 yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ 
độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải 
Ta có: Idd 21  . 
 toạ độ của I là nghiệm của hệ: 
2/3y
2/9x
06yx
03yx . 
Vậy 
2
3
;
2
9
I 
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm 
 cạnh AD OxdM 1  
Suy ra M( 3; 0) 
Ta có: 23
2
3
2
9
32IM2AB
22
Theo giả thiết: 22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS ABCDABCD 
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ADd1  
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có 
PT: 03yx0)0y(1)3x(1 . 
 Lại có: 2MDMA 
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: 
2y3x
03yx
22
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2222 
1y
2x hoặc 
1y
4x . 
 Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) 
Do 
2
3
;
2
9
I là trung điểm của AC suy ra: 
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC 
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) 
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 7 Năm 2012 - 2013 
A B
I
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1( ; 0)2I 
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A 
âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. 
Giải: 
+ 5( , )
2
d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5. 
+ PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: 
2 2
2
1 2 5 2( )
( 2 ; 0 ) , ( 2 ; 2 )2 4
22 2 0
0
x
yx y
A B
xx y
y
(3;0), ( 1; 2)C D 
 Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích 
bằng 3
2
 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. 
Giải: 
Ta có: AB = 2 , M = ( 5 5;
2 2
 ), pt AB: x – y – 5 = 0 
 S ABC = 12 d(C, AB).AB = 
3
2
 d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
 d(G, AB)= (3 8) 5
2
t t = 1
2
 t = 1 hoặc t = 2 
 G(1; - 5) hoặc G(2; - 2) 
Mà 3CM GM   C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4) 
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng 
: 3 4 4 0x y . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho 
diện tích tam giác ABC bằng15. 
Giải: 
Gọi 3 4 16 3( ; ) (4 ; )
4 4
a aA a B a . Khi đó diện tích tam giác ABC là 
 1 . ( ) 3
2ABC
S AB d C AB . 
Theo giả thiết ta có 
2
2 46 35 (4 2 ) 25
02
aaAB a
a
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). 
D
C
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 8 Năm 2012 - 2013 
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2( BA , trọng 
tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 02 yx . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện 
tích tam giác ABC bằng 13,5 . 
Giải: 
Vì G nằm trên đường thẳng 02 yx nên G có tọa độ )2;( ttG . Khi đó 
)3;2( ttAG , )1;1( AB Vậy diện tích tam giác ABG là 
   1)3()2(2
2
1..
2
1 22222 ttABAGABAGS =
2
32 t 
 Do diện tích tam giác ABC bằng 13,5 nên diện tích tam giác ABG bằng 5,43:5,13 . 
Suy ra, 5,4
2
32 t , suy ra 6 t hoặc 3 t . 
 Vậy có hai điểm G : )1;3(,)4;6( 21 GG . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 
)(3 BaGC xxxx và )(3 BaGC yyyy . 
* Với )4;6(1 G ta có 1 (15; 9)C , 
* với )1;3(2 G ta có 2 ( 12;18)C 
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 
0 và đường thẳng d có phương trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có 
duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, 
C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 
Giải: 
Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ 
được 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và ACAB  => tứ giác ABIC là hình vuông 
cạnh bằng 3 23 IA 
51
3 2 1 6
72
mm
m
m
Vậy m = -5 hoặc m = 7 
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 
+ (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m2 = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy 
nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là 
hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 
Giải: 
Từ phương trình chính tắc của đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 
tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và ACAB  => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh 
bằng 3 23 IA 
2 2 2
2
2 2
1 1 6 7
3 2 1 6 7
1 6 52
m m m
m m
m m
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 9 Năm 2012 - 2013 
Bài 9. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng ( ) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và 
hai điểm A (-1;2); B (3;4). Tìm điểm M ( ) sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị 
nhỏ nhất. 
Giải : 
M (2 2; ), (2 3; 2), (2 1; 4)M t t AM t t BM t t   
2 2 22 15 4 43 ( ) AM BM t t f t 
Xét hàm số 
2( ) 15 4 43 ê f t t t tr n R 
/ ( ) 30 4f t t 
BBT 
 t 2
15
 f/ (t) - 0 + 
 f(t) 26
15
Vậy Min f(t) = 2 26
15 15
 f => M
2 26;
15 15
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: 
x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). 
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải: 
 (7;3)BD AB B , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0 
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c , 
I = 2 1 2 17;
2 2
a c a c là trung điểm của AC, BD. 
I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c 
M, A, C thẳng hàng  ,MA MC  cùng phương => c2 – 13c +42 =0  7( )
6
c loai
c
 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 
/ 2( ) 0
15
f t t 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 10 Năm 2012 - 2013 
A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 
 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua 
đỉnh C của tam giác đã cho. 
Giải: 
Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB 
Ta có 6 6 4, 4 2
2
d A
Vì là đường trung bình của  ABC 
 ; 2 ; 2.4 2 8 2d A BC d A 
Gọi phương trình đường thẳng BC là: 0x y a 
Từ đó: 46 6 8 2 12 16
282
aa
a
a
Nếu 28a thì phương trình của BC là 28 0x y , trường hợp này A nằm khác 
phía đối với BC và , vô lí. 
Vậy 4a , do đó phương trình BC là: 4 0x y . 
Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và BC : 4 0x y nên 
có phương trình là 0x y . 
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình 
 0 2
4 0 2
x y x
x y y
Vậy H (-2;-2) 
Vì BC có phương trình là 4 0x y nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a) 
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a) 
Suy ra: 5 ; 3 , ( 6; 4 6)CE a a AB a a   
Vì CE AB nên . 0 6 5 3 10 0AB CE a a a a   
 2 02 12 0
6
a
a a
a
 Vậy 
0; 4
4;0
B
C
 hoặc 
6;2
2; 6
B
C
. 
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1( ; 0)2I 
Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A 
âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó. 
Giải: 
Ta có 5( , )
2
d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5. 
 PT đường tròn đường kính BD là : (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 
Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: 2 2
2
1 25 2( )
( 2;0), (2;2)2 4
22 2 0
0
x
yx y
A B
xx y
y
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 11 Năm 2012 - 2013 
Bài 13. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung 
điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. 
Giải: 
Ta có: 1;2 5AB AB  . Phương trình của AB là: 2 2 0x y . 
 : ;I d y x I t t . I là trung điểm của AC: )2;12( ttC 
Theo bài ra: 2),(.
2
1 ABCdABS ABC 446. t 
3
4
0
t
t
Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C(
3
8;
3
5 ) thoả mãn . 
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương 
trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x 
– y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 
Giải: 
Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC 
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). Vì C’ là trung điểm của AB nên: 
2 5 11 2 2' ; '
2 2
m c m cC CC nên
2 5 11 2 2 52( ) 3 0
2 2 6
m c m c m 
5 41( ; )
6 6
I . 
Phương trình BC: 3x – 3y + 23=0 
Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;
3 3 23 0 3 3
x y
C
x y
Tọa độ của B = 19 4;
3 3
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC 
vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3 x – y - 3 = 0, các đỉnh A và B 
thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 . Tìm tọa độ 
trọng tâm G của tam giác ABC . 
Giải: 
+) Tọa độ điểm B là nghiệm của HPT : 
 x 13x y 3 0 B 1;0
y 0y 0
Ta nhận thấy đường thẳng BC có hệ số góc 
k = 3 , nên 0ABC 60 . Suy ra 
đường phân giác trong góc B của 
tam giác ABC có hệ số góc k’ = 3
3
O
y
x A B
C 
60
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 12 Năm 2012 - 2013 
nên có PT : 3 3y x
3 3
 ( ) 
Tâm I( a ;b) của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc và cách trục Ox một 
khoảng bằng 2 nên : | b | = 2 
+ Với b = 2 : ta có a = 1 2 3 , suy ra I=( 1 2 3 ; 2 ) 
+ Với b = -2 ta có a = 1 2 3 , suy ra I = ( 1 2 3 ; -2) 
 Đường phân giác trong góc A có dạng:y = -x + m ( ’). 
 Vì ’ đi qua I nên 
+ Nếu I=( 1 2 3 ; 2 ) thì m = 3 + 2 3 . 
 Suy ra : ( ’) : y = -x + 3 + 2 3 . Khi đó ( ’) cắt Ox ở A(3 + 2 3 . ; 0) 
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = 3 + 2 3 . 
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (3 + 2 3 ; 6 + 2 3 ) 
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : 4 4 3 6 2 3;
3 3
. 
+ Nếu I=( 1 2 3 ; 2 ) thì m = -1 - 2 3 . 
 Suy ra : ( ’) : y = - x -1 - 2 3 . Khi đó (Ä’) cắt Ox ở A(-1 - 2 3 . ; 0) 
Do AC vuông góc với Ox nên có PT : x = -1 - 2 3 . 
Từ đó suy ra tọa độ điểm C = (-1 - 2 3 ; -6 - 2 3 ) 
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lúc này là : 1 4 3 6 2 3;
3 3
. 
Vậy có hai tam giác ABC thoả mãn đề bài và trọng tâm của nó là : 
G1 = 
4 4 3 6 2 3;
3 3
 và G2 = 
1 4 3 6 2 3;
3 3
Bài 16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 
đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, 
đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải: 
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ: 
21
2 1 0 21 135 ;
7 14 0 13 5 5
5
xx y
B
x y y
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB 
và BD, kí hiệu (1; 2); (1; 7); ( ; )AB BD ACn n n a b    (với a2+ b2 > 0) lần lượt làVTPT 
của các đường thẳng AB, BD, AC. Khi đó ta có: os , os ,AB BD AC ABc n n c n n     
2 2 2 232 7 8 0
2
7
a b
a b a b a ab b ba
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 13 Năm 2012 - 2013 
* Với a = - b. Chọn a = 1 b = - 1. Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0, 
A = AB  AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 1 0 3 (3;2)
2 1 0 2
x y x
A
x y y
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC  BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ: 
7
1 0 7 52 ;
7 14 0 5 2 2
2
xx y
I
x y y
Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ 14 124;3 ; ;
5 5
C D 
* Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 
Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + 
4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp 
với nhau góc 450. 
Giải: 
* có phương trình tham số 1 3
2 2
x t
y t
 và có vtcp ( 3;2)u 
 
*A thuộc (1 3 ; 2 2 )A t t 
*Ta có (AB; )=450 1os( ; )
2
c AB u   . 1
2.
ABu
AB u
  
 
 2 15 3169 156 45 0
13 13
t t t t  
*Các điểm cần tìm là 1 232 4 22 32( ; ), ( ; )13 13 13 13A A 
Bài 18. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có 
diện tích bằng 3
2
 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ 
đỉnh C. 
Giải: 
Ta có: AB = 2 , trung điểm M ( 5 5;
2 2
 ), 
pt (AB): x – y – 5 = 0 
S ABC = 12 d(C, AB).AB = 
3
2
 d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
_ d(G, AB)= 
(3 8) 5
2
t t = 1
2
 t = 1 hoặc t = 2 
 G(1; - 5) hoặc G(2; - 2) 
Mà 3CM GM   C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1) 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 14 Năm 2012 - 2013 
Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2( BA , 
trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 02 yx . Tìm tọa độ đỉnh C 
biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 . 
Giải: 
Vì G nằm trên đường thẳng 02 yx nên G có tọa độ )2;( ttG . Khi đó 
)3;2( ttAG , )1;1( AB 
Vậy diện tích tam giác ABG là   1)3()2(2
2
1..
2
1 22222 ttABAGABAGS =
2
32 t 
 Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 5,43:5,13 . Vậy 
5,4
2
32 t , suy ra 6 t hoặc 3 t . Vậy có hai điểm G : )1;3(,)4;6( 21 GG . Vì G là 
trọng tâm tam giác ABC nên )(3 BaGC xxxx và )(3 BaGC yyyy . 
Với )4;6(1 G ta có )9;15(1 C , với )1;3(2 G ta có )18;12(2 C 
Bài 20.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2, 0) biết phương 
trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 . Tìm tọa độ các 
đỉnh A, B, C. 
Giải: 
Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 0 x 42x 5y 2 0 y 2 A(–4, 2) 
Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên 
2yy
2xx
yyyy3
xxxx3
CB
CB
CBAG
CBAG 
Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2) 
 C(xC, yC) AC 5
2
5
x2y CC ( 3) 
Thế (2) và (3) vào (1) ta có 
0y 1x
2y3x
2
5
2
5
x214x4
2xx
CC
BB
C
B
CB
 Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng 
: 3 4 4 0x y . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện 
tích tam giác ABC bằng 15. 
Giải: 
Gọi 3 4 16 3( ; ) (4 ; )
4 4
a aA a B a . 
Khi đó diện tích tam giác ABC là 
 1 . ( ; ) 3
2ABC
S AB d C AB . 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 15 Năm 2012 - 2013 
 Theo giả thiết ta có 
2
2 46 35 (4 2 ) 25
02
aaAB a
a
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). 
Bài 22. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao 
: 1 0CH x y , phân giác trong : 2 5 0BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính 
diện tích tam giác ABC. 
Giải: 
+ Do AB CH nên AB: 1 0x y . 
 Giải hệ: 2 5 0
1 0
x y
x y
 ta có (x; y)=(-4; 3). 
Do đó: ( 4;3)AB BN B . 
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ 'A BC . 
 - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): 2 5 0x y . Gọi 
( )I d BN  . Giải hệ: 2 5 0
2 5 0
x y
x y
 . Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4)A 
+ Phương trình BC: 7 25 0x y . 
 Giải hệ: 7 25 0
1 0
x y
x y
Suy ra: 13 9( ; )
4 4
C . 
+ 2 2 450( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC , 
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
d A BC
 . 
Suy ra: 1 1 450 45( ; ). .3 2. .
2 2 4 4ABC
S d A BC BC 
Bài 23. Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương 
trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình 
 x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC . 
Giải: 
 Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) . 
Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh 
C có phương trình x + y +1 = 0 . 
Xác định tọa độ B và C . 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 16 Năm 2012 - 2013 
M
C
B
H
A
+AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là (3;1)n AC có phương trình 3x 
+ y - 7 = 0 
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ 3x y 7 0 4
 x y 1 0 5
x
y
 C(4;- 5) 
+ 2 1;
2 2
B B
M M
x yx y ; 
 M thuộc CM ta được 2 1 1 0
2 2
B Bx y 
+ Giải hệ 
2 1 1 0
2 2
3 7 0
B B
B B
x y
x y
 ta được B(-2 ;-3) 
Diện tích S = 1 1 8 10. .2 10. 16
2 2 5
AC BH ( đvdt) 
Tính diện tích ABC . 
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ 
14
3 7 0 5
3x 7 0 7
5
xx y
y y
+ BH = 8 10
5
 ; AC = 2 10 
Diện tích S = 1 1 8 10. .2 10. 16
2 2 5
AC BH ( đvdt) 
Bài 24. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc 
trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp 
tuyến đó bằng 600. 
Giải: 
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Oy M(0;m) 
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 17 Năm 2012 - 2013 
Vậy 
0
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
 Vì MI là phân giác của AMB 
 (1) AMI = 300 
0sin 30
IAMI MI = 2R 2 9 4 7m m  
 (2) AMI = 600 0sin 60
IAMI MI = 2 3
3
R 2 4 39
3
m Vô nghiệm 
 Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 ) 
Bài 25. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5 và đường 
thẳng d : 3x y 5 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện 
tích bằng nhau. 
Giải: 
Giả sử M x; y d 3x y 5 0. 
AB
CD
MAB MCD
AB 5,CD 17
AB 3;4 n 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0
CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0
S S AB.d M;AB CD.d M;CD
4x 3y 4 x 4y 17
5 17 4x 3y 4 x 4y 17
5 17
   
  
  
 1 2
3x y 5 0
3x y 5 0 3x 7y 21 0
4x 3y 4 x 4y 17 3x y 5 0
5x y 13 0
7M ;2 ,M 9; 32
3
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện 
tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng: d1: x – y – 3 = 0, 
d2: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox. Tìm tọa độ 
 các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải: 
Ta có: 9 3;
2 3
I , 
Gọi M là trung điểm cạnh AD. 
 3;0M 
 Ta có: AB = 2IM = 3 2 
. 12 2 2ABCDS AB AD AD 
AD qua M và vuông góc với d1 AD: x + y – 3 = 0 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 18 Năm 2012 - 2013 
Lại có MA = MB = 2 
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ: 2 2
3 0 2
13 2
x y x
yx y
 hoặc 4
1
x
y
Chọn A(2 ; 1) 4; 1 7;2 à 5;4D C v B . 
Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x 
-2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). 
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải: 
(7;3)BD AB B , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0 
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c , 
I = 2 1 2 17;
2 2
a c a c là trung điểm của AC, BD. 
I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c 
M, A, C thẳng hàng  ,MA MC  cùng phương => c2 – 13c +42 =0  7( )
6
c loai
c
* c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3). 
Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + 
m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng cắt 
đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. 
Giải : 
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5. 
Gọi H là trung điểm của dây cung AB. 
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB. 
IH = 
2 2
| 4 | | 5 |( , )
16 16
m m md I
m m
2
2 2
2 2
(5 ) 2025
16 16
mAH IA IH
m m
Diện tích tam giác IAB là 12 2 12SIAB IAHS 
 2
3
( , ). 12 25 | | 3( 16) 16
3
m
d I AH m m
m
Bài 29. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích 
bằng 3
2
 và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. 
Giải: 
Ta có: AB = 2 , M = ( 5 5;
2 2
 ), pt AB: x – y – 5 = 0 
I 
A B 
H
5
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 19 Năm 2012 - 2013 
 S ABC = 12 d(C, AB).AB = 
3
2
 d(C, AB)= 3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
 d(G, AB)= (3 8) 5
2
t t = 1
2
 t = 1 hoặc t = 2 
 G(1; - 5) hoặc G(2; - 2) 
Mà 3CM GM   C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4). 
Bài 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 1;2M là trung điểm cạnh 
BC còn hai cạnh AB và AC lần lượt có phương trình 2 2 0- - =x y và 4 1 0+ - =x y . 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đó. 
Giải: 
N
M
A
B C
+ Tọa độ của A là nghiệm của hệ 
12 2 0 1 ; 12
4 1 0 21
x y x
A
x y y
ìïì ï- - = æ ö=ï ïï ÷ç - ÷í í ç ÷çï ï è ø+ - =ïî ï =-ïî
+ Gọi N là trung điểm AC thì MN song song AB nên ( )2; 1MN ABn n= = -  
 Suy ra phương trình MN: ( ) ( )( )2 1 1 2 0 2 0x y x y- + - - = - = 
 Tọa độ của N là nghiệm của hệ 
1
2 0 1 16 ;
4 1 0 1 6 3
3
xx y
N
x y y
ìïï =ïì - = æ öï ïï ï ÷ç ÷í í ç ÷çï ï è ø+ - =ïî ï =ïïïî
. 
+ N là trung điểm AC suy ra 
12
1 56 ;
5 6 32
3
C N A
C N A
x x x
C
y y y
ìïï = - =-ï æ öïï ÷ç - ÷í ç ÷çï è øï = - =ïïïî
. 
+ M là trung điểm BC suy ra 
132
13 76 ;
7 6 32
3
B M C
B M C
x x x
B
y y y
ìïï = - =ï æ öïï ÷ç ÷í ç ÷çï è øï = - =ïïïî
. 
Bài 31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh 
BC là M(3;2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC lần lượt là 
G( 2 2;
3 3
), I(1;-2). Xác định tọa độ đỉnh C. 
Giải: 
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 20 Năm 2012 - 2013 
+ 7 4(2;4), ;
3 3
IM GM 
  
+ Gọi A(xA; yA). Có 2AG GM   A(-4; -2). 
+ Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 x + 2y - 7 = 0. 
+ Gọi C(x; y). Có C BC x + 2y - 7 = 0. 
+ Mặt khác IC = IA 2 2 2 2( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y . 
+ Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 
2 2
2 7 0
( 1) ( 2) 25
x y
x y
+ Giải hệ phương trình ta tìm được 5
1
x
y
 và 
1
3
x
y
 . 
+ Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3). 
Bài 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC 
có phương trình : 3 0x y , đỉnh B(4; -1). Điểm M(0;1) nằm trên cạnh AB. Xác định 
tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi. 
Giải: 
+ Đường thẳng BD đi qua B vuông góc với AC nhận vec tơ chỉ phương 1(1;1)u
 
 của AC 
làm vec tơ pháp tuyến. PT: 1.(x - 4) + 1 (y + 1) = 0 x + y - 3 = 0. 
+ Tọa độ giao điểm I của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình: 
3 0 0
3 0 3
x y x
x y y
 I(0; 3). 
+ Có I là trung điểm BD nên D có tọa độ D(-4; 7). 
+ Đường thẳng AB đi qua B nhận ( 4;2)BM  làm vec tơ chỉ phương nên có vec tơ 
pháp tuyến (1;2)n . 
PT: 1.( 4) 2( 1) 0 2 2 0x y x y . 
+ Tọa độ điểm A là nghiệm hpt: 
5
3 0 3
2 2 0 14
3
xx y
x y
y
 5 14;
3 3
A . 
Bài 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường 
tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ 
các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, 
biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. 
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2011) 
Giải: 
Diện tích MAI=5 = 1 . 5
2
AM 2 5AM và MI2 = IA2 + AM2 = 25 
 M M(m; -m – 2). 
Vậy (2 ; 3)MI m m  
WWW.Toancapba.Net 
Chuyên Đề Hình Học Phẳng – LTĐH 21 Năm 2012 - 2013 
 nên ta có phương trình: 
 2 24 4 6 9 25m m m m m2 + m – 6 = 0 m = 2 hay m = -3 
 M (2; -4) và M (-3; 1). 
Bài 34. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 và 
d : 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng 
ON cắt đường thẳng tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8. 
 ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2011) 
Giải: 
Phương trình ON có dạng x at
y bt
 (a
2 + b2 0), N (at1; bt1) và M (at2; bt2) 
 M = ON  : at1 – bt1 – 4 = 0 t1 = 4a b (a b) 
 N = ON  d : 2at2 – bt2 – 2 = 0 t2 = 22a b (2a b) 
 Suy ra : 4 4;a bM
a b a b
 , 
2 2;
2 2
a bN
a b a b
 Ta có: OM.ON = 8 2 2 2 24 2 8
2
a b a b
a b a b
2 2 2a b a b a b 
 TH1: a