Bản mô tả sáng kiến: Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPT Quốc gia

HIỆN TẠI TÔI ĐÃ CÓ TRONG TAY 70 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐẠT CẤP TỈNH TRỞ LÊN MỚI NHẤT MÔN TOÁN THPT. CHỈ CHIA SẺ CHO 10 GIÁO VIÊN ĐẦU TIÊN ĐĂNG KÍ (KHÁC TỈNH CỦA NHAU). AI CẦN XIN LIÊN HỆ GẤP ZALO O937-351-107
	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG THPT 
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG 
Lĩnh vực sáng kiến: Phương pháp dạy toán
Tác giả: 
Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Nơi công tác: Trường THPT
Điện thoại liên hệ: O937-351-107
Địa chỉ thư điện tử: 
Đề nghị công nhận sáng kiến cấp : sở 
Năm 2020 - 2021
Ngày......tháng.......năm .....
I – MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân tính diện tích của các hình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12, học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Năng lực tính toán và vận dụng các công thức tính còn hạn chế, khả năng vẽ hình và đọc đồ thị của hàm số còn yếu. Các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trực quan nên bị nhầm lẫn. Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sai lầm khi giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích mặt tròn xoay. 
Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản. Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. 
Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” và dạy học giải toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12. Để giúp cho học sinh 12 khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán thực tế tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài “Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG”
2. Mục tiêu của sáng kiến
Giải pháp mới được xây dựng dựa trên cơ sở thực tiễn của quá trình dạy học, các bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế như tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay. Giải pháp đưa ra làm rõ cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo ra khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Qua đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Với dạng toán này học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
+ Không hình dung được hình phẳng, vật thể tròn xoay (nếu không có hình vẽ). 
+ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít, chưa đủ để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan. 
Sáng kiến hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phân đặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay mà học sinh đã được học. Đưa ra ví dụ minh họa (có hình vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết và trình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh sự vận dụng linh hoạt trong quy trình giải toán, phát huy tính sáng tạo của học sinh. Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành.
Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay
Các bước thực hiện giải pháp
Bước 1: Trình bày kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Các kiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới các công thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích)
Bước 2: Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạ của các ví dụ. (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó).
Bước 3: Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có).
(Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập cụ thể)
Bước 4: Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân. (Các bài tập vận dụng ứng dụng của tích phân giải các bài toán thực tế trong đời sống thường ngày).
3. Phạm vi của sáng kiến
Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh các lớp 12 THPT Hoàng Văn Thụ nói riêng và học sinh các trường THPT nói chung.
II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận 
Thực hiện Nghị quyết số 29NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp Hành Trung ương Đảng, Nghị quyết số 44NQ/CP ngày 09/06/2014 về Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo và Chỉ thị số 16/CT/TTg ngày 18/6/2018 của Thủ tướng Chính phủ về đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại, nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, lối sống, năng lực sáng tạo, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội.
Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Hoàng Văn Thụ bản thân tôi nhận thấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụng toán học vào ứng dụng thực tiễn. Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài toán có ứng dụng thực tế hay mà học sinh còn lúng túng trong việc tìm hướng giải. Vì vậy sáng kiến được thực hiện nhằm rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học. 
Sáng kiến được thực hiện trên cơ sở dựa trên các văn bản chỉ đạo của Sở giáo dục và đào tạo Lạng Sơn về việc dạy học theo hướng phát huy khả năng tư duy sáng tạo và năng lực của học sinh. Thông qua các kiến thức liên quan về “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”. Đề tài đưa ra những giải pháp cụ thể để rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.
Sáng kiến được viết vào thời gian từ 20/9/2017 đến 25/03/2018 và tiến hành dạy thử nghiệm lần đầu vào ngày 20/2/2018 thời điểm giữa học kỳ II của năm học 2017 - 2018 tại lớp thử nghiệm 12A8 và lớp đối chứng 12A9 trường THPT Hoàng Văn Thụ Thành phố Lạng Sơn. Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hành trong cùng một nhà trường. Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HS làm bài kiểm tra 45 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra. Lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộc Trường THPT Hoàng Văn Thụ.
2. Cơ sở thực tiễn
Chủ đề ứng dụng của tích phân trong hình học là một trong những nội dung kiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và thuộc nội dung chương “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” - chương trình Toán giải tích lớp 12. 
Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hình học, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy ví dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục những khó khăn, hạn chế của học sinh. Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện kỹ năng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần.
Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong hình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến không tính được diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể. Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích các khối đa diện).
Ngoài ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúp học sinh trực quan. Các em thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác Các công thức tính thể tích các khối như: khối chóp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trong chương 1 hình học 12.;
Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay làm học sinh gặp khó khăn, không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích. 
Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựng công thức tính từ giả thiết của bài toán và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức 
Học sinh không biết rằng công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức không đổi dấu trong khoảng 
Trên cơ sở của lý thuyết của nguyên hàm tích phân, tôi đề xuất một số giải pháp rèn kỹ năng tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay có ứng dụng của tích phân.
III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay
1.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành
1.1.1 Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành
a. Năng lực tổng hợp các công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng . 
Bài toán : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng , được xác định: 
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, muốn vậy ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối .
Nếu thì 
Nếu thì 
Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức , đôi khi phải giải các bất phương trình , trên đoạn 
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số trên đoạn để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số nằm phía “trên” trục hoành thì 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số nằm phía “dưới” trục hoành thì 
Cách 3 Nếu không đổi dấu trên thì ta có : 
Nhận xét: Trong khi giải toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, học sinh thường không kiểm tra điều kiện không đổi dấu của f(x) trên [a;b] mà đưa ra công thức ngay dẫn đền sai lầm.
b. Rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành
Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, các đường thẳng .
Phân tích: Ở ví dụ này các em chỉ cần nhớ công thức tính diện tích hình phẳng là có thể tính được diện tích. Hoặc sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông. Cần chú ý: Nếu không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
Bài giải:
Cách 1: xét dấu của để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : (đvdt)
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách 3: Sử dụng máy tính điện tử tính tích phân 
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng .
 	Phân tích: Rõ ràng bài này các em chỉ cần áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng , tuy nhiên để khử trị tuyệt đối có hai cách (Dùng đồ thị hoặc xét xem trên đoạn hàm số có đổi dấu hay không)
Bài giải: Cách 1: Nhận xét: ; 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Đồ thị
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
 không đổi dấu trên đoạn 
Gọi S là diện tích cần tìm: 	 (đvdt)
Chú ý: Cho phương trình tìm nghiệm trên giả sử các nghiệm đó là ( với ). thì trên mỗi khoảng biểu thức không đổi dấu
 Khi đó 
Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính 
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành , trục tung và đường thẳng .
Phân tích: Rõ ràng hàm số có hai nghiệm nên khi tính tính phân ta phải chia trường hợp.
Cách 1: Nhận xét: ; 
Gọi S là diện tích cần tìm: 
 (đvdt)
Đồ thị
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm: 
 	 .
Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính 
Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh thường gặp sai lầm khi xây dựng công thức tính sai: 
Khắc phục: Học sinh phải nắm rõ: Nếu không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): với trục hoành (Ox).
Phân tích: Xác định giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT:
Hướng dẫn giải: 	
Gọi S là diện tích:
Đồ thị
1.1.2. Một số bài tập rèn kĩ năng xây dựng công thức tính tích phân từ đồ thị hàm số cho trước 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, hai đường thẳng , (như hình vẽ dưới đây).
Giả sử là diện tích hình phẳng . Chọn công thức đúng trong các phương án cho dưới đây?
A. .	B. .
C. .	D. 
Lời giải
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
+ Nhìn đồ thị ta thấy:
Đồ thị cắt trục hoành tại 
Trên đoạn , đồ thị ở dưới trục hoành nên 
Trên đoạn , đồ thị ở trên trục hoành nên 
+ Do đó: 
Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bênvà có diện tích . Tính tích phân 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn A
Ta có . 
Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải:
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
Từ đồ thị suy ra .
.
Do tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm nên .
Suy ra 
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng cần tìm là: .
Kết luận: Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nhớ tính chất, hiểu rõ cách xây dựng công thức tính diện tích, thể tích từ hình vẽ, đòi hỏi học sinh phải biết đọc và nhận xét dấu của hàm số từ đồ thị cho trước.
1.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
1.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số có đồ thị là (C1), có đồ thị là (C2). Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M thì cặp số là nghiệm của hệ phương trình (1)
- Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)
+ Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ của giao điểm của hai đồ thị.
+ Phương trình (*) được gọi là PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm.
Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và .
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt ; 
1.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyện cho các em biến đổi theo các bước.
+) Bước 1: Tìm hoành độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìm cận của tích phân)
+) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và và đường , : .
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường và . 
Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Gọi S là diện tích cần tìm: 
Đồ thị
Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ): 
 	 (đvdt) 
Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )
 (đvdt)
Ví dụ 10 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng 
Lời giải:
Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
Cách 2: Sử dụng máy tính để nhận được kết quả của tích phân rồi so sánh với các đáp án.
Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số trục tung và đường thẳng 
Lời giải:
Cách 1: Từ hình vẽ: Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Vì 
Nên 
Cách 2: Sử dụng máy tính để tính 
Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên đoạn đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trị tuyệt đối ngay; nếu không vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trên đoạn đang xét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; còn trong trường hợp giải theo trắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối.
1.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay
1.3.1 Rèn năng lực tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành, hai đường thẳng và quay quanh trục , được tính theo công thức: 
Ví dụ 12: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
Đồ thị
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm: (đvtt)
Ví dụ 13: Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
Hướng dẫn giải.
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Đồ thị
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục: (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm: (đvtt) 
Ví dụ 14[đề 101-THPTQG 2018] Cho hai hàm số và . Biết rằng đồ thị của hàm số và cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn C.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
.
Trong đó phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và .
Phương trình có nghiệm ; ; nên
.
Vậy .
1.3.2 Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân 
Bài toán 1. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:
A. 33750000 đồng.	B. 12750000 đồng. 	C. 6750000 đồng. 	D.3750000
Hướng dẫn giải
Gắn parabol và hệ trục tọa độ sao cho đi qua . Gọi phương trình của parbol là (P):
 Theo đề ra, đi qua ba điểm ,,.
Từ đó, suy ra 
Diện tích phần Bác Năm xây dựng: 
Vậy số tiền bác Năm phải trả là: (đồng). Chọn đáp án C
Bài toán 2. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc . Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm đến thời điểm mà vật dừng lại là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B.
Khi vật dừng lại thì 
Suy ra: 
Bài toán 3. Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
A. 	 B. 	
C. 	 D. 
Hướng dẫn giải: Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , đường tròn . 
Ta thấy nếu cho nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Diện tích giới hạn bởi nửa trên trục của , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 
 Nửa trên trục của có phương trình 
 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay quanh là: 
. Thể tích khối cầu là: 
Thể tích cần tìm: . 
Chọn D
Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích 
Vậy thể tích của chiếc lu là ..
Bài toán 4. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải: Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh của parabol Vì parabol đi qua các điểm và nên parabol có phương trình Ta có . 
Khi đó thể tích của vật thể đã cho là Chọn đáp án A
2. Đánh giá kết quả thu được
2.1 Tính mới, tính sáng tạo
2.1.1. Ưu điểm
Thông qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến chúng tôi thấy rằng có một số ưu điểm rèn được các năng lực sau đây cho học sinh:
- Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
- Rèn kỹ năng tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
- Rèn kỹ năng tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
- Giải một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân. Học sinh có được hình vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích.
- Có được giải pháp cụ thể khi tính giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích trong hình học. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số. Dạng bài tập tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
- Xây dựng đề kiểm tra dạng trắc nghiệm, có đáp án biểu điểm, giúp học sinh tiếp cận với cách thức thi THPT quốc gia mới của Bộ giáo dục và đào tạo.
- Đưa được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm có hướng dẫn giải để học sinh tiếp cận với những bài toán ứng dụng thực tế để ôn luyện chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019.
2.1.2. Nhược điểm
- Do thời gian thực hiện sáng kiến còn ngắn và phạm vi, đối tượng áp dụng còn nhỏ nên sáng kiến mới chỉ được áp dụng cho 01 lớp dạy thử nghiệm và 01 lớp dạy đối chứng. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài để hoàn thiện đề tài, có thể áp dụng rộng rãi không chỉ ở trường THPT Hoàng Văn Thụ và nhân rộng ra các trường thông qua các buổi sinh hoạt cụm chuyên môn 
- Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn ở các lĩnh vực, vật lý, toán học, xây dựng, nhưng sáng kiến mới chỉ nghiên cứu và đưa ra một số ứng dụng trong thực tế hoặc một vài bài toán ứng dụng của tích phân trong xây dựng.
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến: 
2.2.1 Khả năng áp dụng hoặc áp dụng thử, nhân rộng: 
	- Sáng kiến có giá trị thực tiễn, giúp học sinh lớp 12 có được một phương pháp tiếp cận khác trong giải toán ứng dụng của tích phân với những bài toán thực tế trong hình học. Làm tài liệu cho giáo viên, học sinh trường THPT Hoàng Văn Thụ.
- Rèn được kỹ năng cụ thể cho học sinh khi giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học cụ thể như: Năng lực phân tích và tổng hợp, năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự. 
	+ Năng lực vận dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và phương pháp tích phân từng phần. 
	+ Năng lực vận dụng phương pháp đổi biến số. Năng lực vận dụng công thức tính diện tích và thể tích. 
	+ Năng lực tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán ứng dụng của tích phân.
+ Giúp học sinh có được cách nhìn nhận sâu sắc và toàn diện hơn về ứng dụng của Toán học trong thực tiễn.
2.2.2 Khả năng mang lại lợi ích thiết thực
2.2.2.1 Hiệu quả kinh tế:	
- Đây là một đề tài về phương pháp dạy học nên không mang nhiều giá trị kinh tế. Nhưng kết quả nghiên cứu của đề tài và những giá trị thiết thực từ đề tài mang lại, khi đem vào áp dụng thực tế trong giảng dạy sẽ giúp các giáo viên bộ môn:
	- Không tốn nhiều thời gian, công sức tìm tài liệu.
	- Giáo viên sử dụng trong ôn thi THPT quốc gia và ôn luyện học sinh giỏi.
	- Giáo viên ôn luyện có thêm dữ liệu cho ôn tập.
	Từ những lợi ích trên cho thấy chuyên đề có giá trị trong thực tiễn và ở góc độ nào đó đem lại hiệu quả kinh tế trong giáo dục.
	2.2.2.2 Hiệu quả về mặt xã hội.
	Trong quá trình áp dụng sáng kiến, kết quả bộ môn tăng, HS hiểu bài, ham thích môn học, đặc biệt số lượng học sinh tham gia vào đội tuyển toán tăng. 
Trong đề tài này ‘’Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG’’ giúp học sinh tiếp cận và giải các bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay một cách trực quan, và nâng cao năng lực giải toán thực tế của học sinh.
IV – KẾT LUẬN
Thông qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến giúp rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành, tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. Học sinh biết sử dụng hình vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích và giải được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm để học sinh ôn luyện và thi tốt kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019
PHỤ LỤC 01
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA LỚP THỬ NGHIỆM VÀ LỚP ĐỐI CHỨNG
1. Mục đích kiểm tra: Sau khi tiến hành thử nghiệm ở lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng, tôi thực hiện cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút, nhằm đánh giá khả năng tiếp thu, nhận thức và năng lực vận dụng làm bài của học sinh.
2. Nội dung đề kiểm tra
 SỞ GIÁO DỤC & LẠNG SƠN
TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
------------------------
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT 
Nội dung: Ứng dụng của tích Phân
Thời gian làm bài: 45 phút; 
(25 câu trắc nghiệm) 
Mã đề thi 357
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x²; x = 1; x = 2 và y = 0.
A. 	B. 	C. 	D. 1
Câu 2: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng là:
A. 3	B. 4	C. 2	D. 5
Câu 3: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = 4x - x2, y = 0
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường , trục hoành và hai đường thẳng là :
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục quay quanh trục hoành, biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 
A. 8	B. 2	C. 6	D. 4
Câu 8: Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn trục Ox và hai đường thẳng quay quanh trục Ox , có công thức là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
A. 5	B. 3	C. 4	D. 2
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và có kết quả là :
A. 	B. 8	C. 9	D. 
Câu 11: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Quay xung quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x2 + 2, y = 3x
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường sau x = 0, x = 1, y = 0, 
y = 5x4 + 3x2 + 3;
A. 	B. 	C. 6	D. 7
Câu 15: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành , trục tung và đường thẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16: Tính hể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17: Parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Ox và đường thẳng x=2 là:
A. 	B. 8	C. 	D. 16
Câu 19: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường và đường thẳng là :
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20: Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau , y = 0, x = 0 và x = 3 quanh trục Ox
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x2 + 1, x + y = 3
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 23: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = –x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = 3 là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol , trục Ox và các đường thẳng . Diện tích của hình phẳng (H) là :
A. 	B. 	C. 	D. 2
Họ, tên học sinh:..................................................................... Lớp: ..................
3. Đáp án, biểu điểm
- Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TL
A
B
B
B
D
D
A
D
B
D
C
C
B
A
D
A
B
C
C
C
21
22
23
24
25
A
D
A
C
D
PHỤ LỤC 02
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
ÔN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
(Hình thức trắc nghiệm)
Bài toán 1. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A. lit.	B. lit.	C. lit.	D. lit.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn