Giáo án ôn thi THPT quốc gia môn Toán học 12 - Chủ đề 12: Hệ tọa độ trong không gian

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
1. Kiến thức:
	- Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về hệ tọa độ trong khụng gian
2. Kỹ năng:
- Tìm tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, thực hiện các phép toán vec tơ, tích vô hướng của hai vec tơ, góc giữa hai vec tơ.
3. Thời lượng: 2 tiết
4. Tiến trình thực hiện
Tiết 1. Tọa độ của điểm
Lý thuyết
1. , ( Với là gốc tọa độ)
Chú ý: +) +) 
 +) +) 
 +) +) 
2. Hình chiếu vuông góc của 1điểm lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ.	
3. Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:
; 
 là trung điểm thì 
4. G là trọng tâm của tam giác ABC Û
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ . Cho các điểm 
. Trong các điểm trên điểm nào thuộc trục , điểm nào thuộc mặt phẳng tọa độ
Gọi từng họ sinh đứng tại chổ trả lời:
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Xác định hình chiếu vuông góc của 
Lên các trục tọa độ	b) Lên từng mặt phẳng tọa độ
Giải. 
Hình chiếu vuông góc của lên các trục lần lượt là: 
Hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng tọa độ lần lượt là: 
Ví dụ 3. Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;-2) ,B(2;1;-1) ,C(1;-2;2)
Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC
Tìm tọa độ trung điểm của BC
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Giải: a) Ta có AB= ;	BC=;	AC=
b) Gọi M là trung điểm của BC và có tọa độ là ( 
c) Tọa độ điểm G 
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ . Điểm nào sau đây nằm trên trục ?
A. M(2;0;0). B. N(0;2;0). C. P(0;0;2). 	D. Q(2;2;2).
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ . Điểm nào sau đây nằm trên trục ?
A. M(2;0;0). B. N(0;2;0). C. P(0;0;2). 	D. Q(2;2;2).
Câu 3. Trong không gian . Điểm nào sau đây nằm trên măt phẳng tọa độ ?
A. M(2;0;0). B. N(0;-3;1). C. P(1;0;2). 	D. Q(0;0;-5).
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Xác định hình chiếu vuông góc của lên trục 
A. B. 	 C. D. 
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Xác định hình chiếu vuông góc của lên trục 
A. B. 	 C. D. 
Câu 6 . Cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. .	 B. . 	C. . 	D. .
Câu 7. Trong không gian Oxyz. Cho ba điểm A(-1; -2; -3), B(-2; -3; -1), C(0; -1; -2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
 A. G(1; 2; 2); B. G(-1;-2;-2); C. G(-1/3;2; 8/3) D.G(-1;-2;2) ; 	
Câu 8. Trong không gian , cho điểm . Tính độ dài đoạn thẳng 
 A. B. 	 C. D. 
Câu 9. Cho .Tìm điểm B trên trục Oy, biết AB 
A.và A.và C.và D.và
Tiết 2. Tọa độ véc tơ
Lý thuyết
4. Û ; 
5. Cho và ta có
+) 
+) 
+) 
+) 
 +) 	
+) và vuông góc 
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz). Cho vecto: , , , , . Tìm tọa độ của các vec tơ 
Giải.
 ; 
 ; ; 
Ví dụ 5. Trong không gian , cho .
a. Tìm toạ độ vectơ ; 
b. Tính ; 	c. 
Lời giải.
a. Tọa độ vectơ 
 ,
Suy ra 
Tương tự: 	
b. 
Tương tự: 
c. 
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ . Cho vecto: .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. C. D. 
Câu 2. Tính góc giữa hai vectơ = (–2; –1; 2) và = (0; 1; –1)
A. 135°	 B. 90°	 C. 60° D. 45°
Câu 3. Trong k.g Oxyz, cho 3 vectơ ; ; . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
 A. 	B.	C. 	D.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ , . Tọa độ của véctơ là:
A. .	 B. . 	C. . 	D. .
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 vecto và . Nếu thì x bằng
A.1	B. -1	C. -2	D. 2
Câu 6. Cho hai điểm và . Tọa độ véc tơ là:
A. B. 	 C. D. 
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz). Cho A(1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(1; 1; -2). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
A. D(0; 4; 0).	 B. D(2; -2; -4).	 C. D(2; 0; 6).	 D. D(2; -2; -4).
Câu 8. Cho 2 điểm . Tìm điểm M thỏa 3
A. B. C. D.
Câu 9. Cho ;.Tìm để . 
 A. B. C. D.
Câu 10. Cho . Tìm sao cho cùng phương với 
	A. 	B. 	C. 	 D. 
Câu 11. Cho ;;. Tìm để 3 điểm thẳng hàng.
 A. B. C. D.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Mục tiêu
 a. Kiến thức cơ bản: Khái niệm vectơ pháp tuyến; Phương trình tổng quát của mặt phẳng; Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc; công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 b. Kỹ năng: 
- Nhận biết vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng;
- Kiểm tra điểm thuộc (hoặc không thuộc) mặt phẳng;
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
- Lập phương trình cơ bản;
2. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1. Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Dạng 2. Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Dạng 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Dạng 4. Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng.
3. Thời lượng: 4 tiết
4. Tiến trình thực hiện
	Lý thuyết
1. Vectơ ¹ và có giá vuông góc với thì đgl vectơ pháp tuyến của .
2. Cho mp: thì:
+) có một véctơ pháp là 
 (Chú ý: Nếu là VTPT của thì , cũng là VTPT của )
+) 
+) Với thì 
3. Mặt phẳng đi qua điểm và có một vtpt có phương trình là:
 Tiết 1
 Dạng 1: Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ , tìm tọa độ hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng có phương trình sau: ( Gọi nhiều học sinh đứng tại chổ trả lời)
a. b. c. d. e. g. 
Giải.
a. b. c. 
d. e. g. 
Tổng kết: 
1. Vectơ ¹ và có giá vuông góc với thì đgl vectơ pháp tuyến của .
2. Cho mp: thì có một véctơ pháp là 
3. Nếu là VTPT của thì , cũng là VTPT của 
Luyện tập:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
	A. 	B. 	C.	D.
Câu 2. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
Câu 3. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
	A. 	B. 	C.	D.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?
	A. 	B. 	C.	D.
Dạng 2. Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ , 
a.Tìm tọa độ 3 điểm thuộc 
Các điểm điểm nào không thuộc mặt phẳng 
Giải. 
a. Các điểm , , thuộc 
b. ; 
Tương tự: 
Tổng kết: 
 Cho mp: và thì: 
+) 
 +) 
 Luyện tập:
Câu 1. Điểm M thuộc mặt phẳng : có tọa độ là 
A. M	B. M	C. M	D. M
Câu 2. Trong không gian cho : . Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc 
 A(1;-2;-4)	 B(1;-2;4)	 C(1;2;-4)	D(-1;-2;-4)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng . Điểm nào dưới đây thuộc ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Cho mặt phẳng có phương trình . Điểm nào sau đây thuộc ?
 A. . 	 B. . 	C. 	D. .
Câu 5. Điểm không thuộc mặt phẳng nào ?
A. B. C. D. 
Tiết 2.
Dạng 3. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ ,Tính khoảng cách từ đến các mặt phẳng sau: (Gọi 3 hs lên bảng tính)
a. b. c. 	d.
Giải.
a. b. 
c. 
d. có phương trình là: 
Ví dụ 4 Tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q): ( Định hướng và gọi học sinh lên bảng giải)
a) 	(P): 
(Q): 
b) 	(P): 
	(Q): 
HD: 
a) Lấy M(0; 0; –1) Î (Q).
b) Lấy M(0; 1; 0) Î (P)
Tổng kết: 
Cho mp: và thì: 
Lưu ý: 
- Học sinh thường thay nhầm giữa tọa độ điểm và tọa độ VTPT 
- Phương trình mặt phẳng khuyết học sinh thường lúng túng khi thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng và xác định tọa độ véc tơ pháp tuyến.
 Luyện tập:
Câu 1. Cho điểm và mặt phẳng . Khoảng cách từ đến là
A. . 	B. . 	 C. . 	D. . 
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
	A. 	B. 	C. 3	D . 
Câu 3. Cho điểm và mặt phẳng . Khoảng cách từ đến là
A. . 	B. . 	 C. . 	D. . 
Câu 4. Cho điểm và mặt phẳng . Khoảng cách từ đến là
A.-1 	B. . 	 C.1	D. . 
Câu 5. Cho điểm và mặt phẳng . Khoảng cách từ đến là
A.-3 	B.3 	 C.1	D. 2
Câu 6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : và 
 A. B. C. D. 
Bài tập cũng cố tiết 1, tiết 2
Câu 1. Cho mặt phẳng . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của 
A. .	B. .	C. .	D. . 
Câu 2. Cho mặt phẳng . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của 
A. .	B. .	C. .	D. . 
Câu 3. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
Câu 4. Trong không gian cho mp: . Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc 
 A. (1;-2;-4)	 B. (1;-2;4)	 C. (1;2;-4)	D. (-1;-2;-4)
Câu 5. Cho mặt phẳng có phương trình . Điểm nào sau đây thuộc ?
A. . 	 B. . 	C. 	D. .
Câu 6. Điểm thuộc mặt phẳng nào ?
A. B. C. D. 
Câu 7. Cho mp có phương trình . Điểm nào sau đây không thuộc 
A. . 	 B. . 	C. 	D. .
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm. Tính khoảng cách d từ đến 
 A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Cho điểm và mặt phẳng . Khoảng cách từ đến là
A. -2	B. 0 	C. 	D. 2
Câu 10. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : và 
 	A. B. C. 	D. -2 
Dạng 4: Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng
Tiết 3
1) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, trong đó véc tơ pháp tuyến tìm theo định nghĩa.
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng , biết: 
a) đi qua có véc tơ pháp tuyến 
b) qua và vuông góc với với , 
c) đi qua và song song với mp
d) qua và song song với mặt phẳng 
e) là mặt phẳng trung trực của với 
(Gọi 1 HS lên làm ý a, ý b,c,d,e định hướng và gọi học sinh lên giải)
Giải:
a) Phương trình mặt phẳng là: 
hay 
b) qua B(2;-3;5) và vuông góc với AB nên nhận làm một vtpt. 
PTTQ là: hay 
c) Ta có là VTPT của 
Vì nên cũng là VTPT của .
Vậy phương trình là: .
d) Phương trình mặt phẳng là 
Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên cũng có véc tơ pháp tuyến Phương trình của mặt phẳng là: 
Vậy 
e) là mặt phẳng trung trực của với 
Gọi là trung điểm của ta có 
Mặt phẳng trung trực của là mặt phẳng đi qua và có véc tơ pháp tuyến phương trình của : 
Vậy 
Luyện tập:
Câu 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến
A. B. C. D.
Câu 2. Trong không gian , cho ba điểm A(-2;3;1), B(3;1;-2) và C(4;-3;1) .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
A.	B. C. D. 
Câu 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểmvà song song với mp (Q): 
A. B. C. 	D.
Câu 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm song song mp
A. B. C. D.
Câu 5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng với
A. B. C. D.
Câu 6. Trong không gian , cho điểm và đường thẳng d có phương trình . Viết PT mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng .
A. B. C. D.
Tiết 4
2) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, véc tơ pháp tuyến trong đó không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng đó.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng 
a) (α ) qua và song song víi gi¸ mçi vÐc t¬ , 
b) qua ba điểm 
c) qua các hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ.
d) qua và vuông góc với hai mặt phẳng 
e) đi qua và vuông góc với ;
 g) chứa trục và vuông góc với .
Gi¶i:
a) mp (α ) // víi gi¸ cña hai vÐc t¬ nªn cã VTPT 
PT mp (α ) lµ : 
b) Ta có 
nên 
Do đó là mặt phẳng đi qua và có véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: 
Vậy 
c) qua các hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ.
Giải:Hình chiếu của điểm lên các trục lần lượt là
 Phương trình mặt phẳng là 
Vậy 
d) qua và vuông góc với hai mặt phẳng 
Giải:Ta có 
Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng nên 
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 
Vậy 
e) đi qua và vuông góc với ;
Giải:
Ta có là VTPT của , . Suy ra 
Vì đi qua và nên nhận làm VTPT
Vậy phương trình là: .
g) chứa trục và vuông góc với .
Giải:Vì chứa trục và vuông góc với nên nhận làm VTPT
Trong đó là VTPT của nên 
Vậy phương trình là: .
Tổng kết: 
- Mặt phẳng đi qua điểm và có một vtpt có phương trình là:
- Mặt phẳng đi qua 3 điểm có phương trình là:
Luyện tập:
Câu 1. Viết phương trình mp (Q) đi qua điểm và song song với giá của mỗi vectơ và 
A. B. C. D.
Câu 2. Mặt phẳng qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0,- 3) có phương trình là:
 A. B. C. D. 
Câu 3. Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(–1; 2; 1), B(–4; 2; –2), C(–1; –1; –2). Phương trình mp(ABC) là:
A. x + y – z = 0 	 B. x – y + 3z = 0 	 C. 2x + y + z –1 = 0 D. 2x + y –2z + 2 = 0
Câu 4. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm và chứa trục Ox ?
A. x - 2 z = 0 B. x + 4y = 0 C. 2y + z = 0 D. 2y - z =0 Câu 5. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểmvà vuông góc với mp
A. B. C. D.
Bài tập về nhà: Lập phương trình của trong các trương hợp sau:
1) đi qua và song song với ;
2) đi qua ;
3) là mặt phẳng trung trực của đoạn trong đó ;
4) đi qua các hình chiếu của lên các trục tọa độ ;
5) đi qua và vuông góc với ;
6) đi qua và vuông góc với hai mặt phẳng : ; .