Chuyên đề Toán Lớp 12 - Số phức

Chuyên đề số phức
I. Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa số phức
Số phức z là một biểu thức có dạng , trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn .
a là phần thực.
b là phần ảo.
i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là .
Đặt biệt: 
Số phức có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a.
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z=bi.
Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Số phức bằng nhau.
Hai số phức và bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
O
M(a;b)
y
x
a
b
.
Biểu diễn hình học của số phức.
Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy.
Mô đun số phức.
Môđun số phức là số thực không âm kí hiệu .
Số phức liên hợp.
Số phức liên hợp của số phức là số phức .
Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
Cho hai số phức và .
Cộng hai số phức: .
Trừ hai số phức: .
Nhân hai số phức: .
Chia hai số phức: .
Căn bậc hai của số thực âm.
Căn bậc hai của số thực a âm là .
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai với .
Khi <0 phương trình có hai nghiệm phức: .
II. Dạng lượng giác của số phức(dành cho chương trình nâng cao)
 (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b Î R, z ¹ 0) 
* là môđun của z.
* j là một acgumen của z thỏa 
Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu , thì:
* 	* 
Công thức Moivre: thì 
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức (r > 0) là và 
 III. Các dạng bài tập.
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức 
	1. z=	2. .
Bài 2: Cho hai số phức .Xác định phần thực và phần ảo số phức 
Bài 3: Cho hai số phức .Xác định môđun số phức 
Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết: 
	1. 	2. 
	3. 	4. 
Bài 5 Cho số phức .Xác định số thực m để z là số thuần ảo.
Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z: 
Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết: 
Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết: 
Bài 11: Cho hai số phức . 
Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3.
Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3
Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy. 
Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết: 
Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phức, biết: 
Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 16: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 17: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
Bài 18: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 19: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 20: Tính mô đun số phức , biết: 
Bài 21: Cho số phức . Tính mô đun số phức .
Bài 22: Cho số phức . Xác định phần ảo số .
Bài 23: Cho số phức . Tính mô đun số phức . 
Bài 24: Cho số phức . Tính phần ảo và tính mô đun số phức .
Bài 25: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng 
Bài 26: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng .
Bài 27: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng 
Bài 28: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng .
Bài 29: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng .
Bài 30: Xác định mô đun số phức z, biết: .
Bài 31: Xác định mô đun số phức . 
Bài 32: Xác định phần ảo số phức .
Bài 33: Biểu diễn số phức trên mặt phẳng Oxy.
Bài 34: Xác định phần ảo số phức .
Bài 35: Xác định mô đun số phức . 
Bài 36: Xác định mô đun số phức z, biết . 
Bài 37: Xác định mô đun số phức z, biết 
Bài 38: Xác định mô đun số phức z, biết 
Bài 39: Tính mô đun số phức z, biết: .
Bài 40: Tính mô đun số phức z, biết: .
Bài 41: Xác định số phức liên hợp của số phức .
Bài 42: Xác định phần ảo số phức . 
Bài 43: Xác định phần ảo số phức . 
Bài 44: Tính mô đun số phức z, biết: .
Bài 45: Tính mô đun số phức z, biết: .
Bài 46: Cho hai số phức .
Tính giá trị biểu thức 
Tính giá trị biểu thức 
SỐ PHỨC
 BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2006	 Đáp số: ; 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 1)	 Đáp số: ; 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 2)	 Đáp số: ; 
Tìm giá trị của biểu thức: 
TN THPT – 2008 (lần 1)	 Đáp số: 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2008 (lần 2)	 Đáp số: ; 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (CB)	 Đáp số: ; 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (NC)	 Đáp số: ; 
Giải phương trình trên tập số phức.
TN THPT – 2010 (GDTX)	 Đáp số: ; 
Cho hai số phức: , . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
TN THPT – 2010 (CB)	 Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Cho hai số phức: , . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
TN THPT – 2010 (NC)	 Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
a/Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
ĐH Khối A – 2009 (CB)	 Đáp số: A = 20
b/Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức 
Tìm số phức z thỏa mãn và .
ĐH Khối B – 2009 (CB)	 Đáp số: z = 3 + 4i Ú z = 5
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện .
ĐH Khối D – 2009	 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2.
Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB)	 Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Giải phương trình trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (NC)	 Đáp số: ; .
Tìm phần ảo của số phức z, biết: .
ĐH Khối A – 2010 (CB)	 Đáp số: 
Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của .
ĐH Khối A – 2010 (NC)	 Đáp số: 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện .
ĐH Khối B – 2010 (CB)	 Đáp số: đường tròn 
Tìm số phức z thoả mãn điều kiện và z2 là số thuần ảo.
ĐH Khối D – 2010	 Đáp số: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z2 = –1 –i; z4 = –1+ i.
Cho số phức z thỏ mãn: . Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB)	 Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Giải phương trình trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (NC)	 Đáp số: ; .
 Bài 22:
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2-i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
 ĐS: a. a=2, b=-3
b. Tìm số phức z thỏa mãn: .HD: Gọi z=x+yi; (1)Þx=y, (2)Þy=1. ĐS: z=1+i
 Bài 23:Giải phương trình: ĐS: zÎ{0;1;-1}
 Bài 24:Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: zÎ{0;i;-i}
 Bài 25:Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z. ĐS: z=0, z=-1, 
 Bài 26:Giải phương trình: .
HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, .
 Bài 27:Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS:.
 Bài 28:Cho phương trình: (z + i)(z2-2mz+m2-2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.	b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.	c. Có ba nghiệm phức.
 Bài 29:Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm biết:
a. a = 2-5i	b. a = -2-i	c. a = 
 Bài 30:Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3-iz2-2iz-2 = 0.	b. z3+(i-3)z2+(4-4i)z-7+4i = 0.
 Bài 31:Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: .ĐS: .
 Bài 32:Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD:	*Gọi z=x+yi. Þ Þ.
* Vẽ hình Þ|z|min Þz. ĐS: .
 Bài 33:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a. .	b. .
HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
 Bài 34:Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực -210, phần ảo: 210+1.
(
.
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
LÝ THUYẾT
Giai thừa: n!= n.(n-1)!=n.(n-1).(n-2). .3.2.1,	n≥0.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ,	n≥k>0.
Số tổ hợp chập k của n phần tử: ,	n≥k≥0.
Quy ước n!=0!=1.
Nhị thức Newton .
Công thức số hạng tổng quát: ,	0≤k≤n.
BÀI TẬP
(CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của ,(x>0).ĐS: 6528 
(ĐH_Khối D 2004)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của với x>0.ĐS: 35
(ĐH_Khối A 2003)Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , 
(n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495
(ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử)ĐS: 
 (ĐH_Khối A 2006)Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210
 (ĐH_Khối D 2008)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: n=6
(ĐH_Khối D 2007)Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5+x2(1+3x)10.ĐS: 3320 
(ĐH_Khối D 2003)Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n.ĐS: n=5 
(ĐH_Khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho .ĐS: n=5
(ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối B 2007)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn0-3n-1Cn1+3n-2Cn2-3n-3Cn3+ +(-1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 22 
 (ĐH_Khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm kÎ{1,2, ,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9
(ĐH_Khối B 2003)Cho n là số nguyên dương. Tính tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 
 (ĐH_Khối B 2002)Cho đa giác đều A1A2 An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2 An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2 An, tìm n.ĐS: n=8
(ĐH_Khối A 2008)Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ +anxn, trong đó nÎN* và các hệ số a0, a1, an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, an.ĐS: a8=126720 
 (ĐH_Khối A 2007)Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
(ĐH_Khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
 (ĐH_Khối A 2004)Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8. ĐS: 238
(ĐH_Khối A 2002)Cho khai triển nhị thức
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.ĐS: n=7, x=4
Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1-Cn2+Cn4-Cn6+ 	S2=Cn1-Cn3+Cn5- 
Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ –C10098+C100100=–250.
-o0o-