Bài giảng Vật lý Lớp 12 - Bài tập về tổng hợp hai dao động điều hòa

Câu 1 : Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40 cm/s 2 . Biên độ dao động của chất điểm là 
	A. 5 cm.	B. 4 cm.	C. 10 cm.	D. 8 cm . 
v = ω A A 2 = x 2 + v 2 / ω 2 = a 2 / ω 4 + v 2 / ω 2 
 A 2 = a 2 / ω 4 + v 2 / ω 2 A 2 ω 2 = a 2 / ω 2 + v 2 
Câu 2 : Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos( (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 20 11 tại thời điểm 
	A. 3015 s.	B. 6030 s.	C. 3016 s.	D. 6031 s . 
cos 
 = ± + 2k π 
 = ± 1+ 3k 
Câu 3 : Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 cm/s. Lấy = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là 
 A. x = 6 cos(2 0 t - ) (cm) B. x = 4 cos(2 0 t - ) (cm) 
 C. x = 4 cos(2 0 t + ) (cm) D. x = 6 cos(2 0 t + ) (cm) 
Pt có dạng:. x = A cos( ω t + φ ) 
Chu kì T = t/N = 0,314 s = π /10 
ω = 2 π /T = 20 
 x = 4 cos( 20 t + φ ) 
 A 2 = x 2 + 
 A 2 = 2 2 + 
 → A = 4 cm 
TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ 
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN 
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn tâm O, bán kính A như hình vẽ . 
 Mối liên hệ giữa dao đông điều hòa và chuyển đông tròn đều : 
+ Tại thời điểm t = 0 : vị trí của chất điểm là M 0 , xác định bởi góc ϕ . 
Hay x = OP = OMcos(ωt+ ϕ ) = Acos(ωt+ ϕ ) 
Ta thấy: hình chiếu P của chất điểm M dao động điều hoà quanh điểm O 
+ Hình chiếu của M xuống trục xx’ là P, có toạ độ x: 
+ Tại thời điểm t : vị trí của chất điểm là M, xác định bởi góc (ωt+ϕ) 
 a) Khi một chất điểm chuyển động đều trên đường tròn (O, A) với tốc độ góc ω , thì chuyển động của hình chiếu của chất điểm xuống một trục bất kì đi qua tâm O, nằm trong mặt phẳng quỹ đạo là một dao động điều hoà . 
b) Ngược lại, một dao động điều hoà bất kì, có thể coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, đường tròn bán kính bằng biên độ A, tốc độ góc ω bằng tần số góc của dao động điều hoà . 
Có thể biểu diễn một dao động điều hoà có phương trình : 
 x = Acos(ωt + ϕ ) 
 bằng một vectơ quay A 
φ 
A 
x 
O 
+ 
+ Độ dài |A| ≈ A 
+ Gốc tại O 
+ ( A. Ox) = φ 
I. VECTƠ QUAY: 
Vectơ quay A có 
Câu C 1 SGK : H·y biÓu diÔn dao ®éng ®iÒu hoµ x = 3cos(5t + ) (cm) b»ng mét vect¬ quay. 
A 
x 
O 
+ 
x 1 = A 1 cos(ωt + φ 1 ) 
Xét 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: 
x 2 = A 2 cos(ωt + φ 2 ) 
Ta cần tìm li độ tổng hợp của hai dao động 
 x = x 1 + x 2 
 x = A 1 cos(ωt + φ 1 ) + A 2 cos(ωt + φ 2 ) 
Ta có thể dùng phương pháp lượng giác, dễ nhất là khi A 1 = A 2 . 
K hi A 1 ≠ A 2 dễ dàng hơn nếu ta dùng phương pháp giản đồ Frenen. 
II. Phương pháp giản đồ Frenen. 
x 1 = A 1 cos(ωt + φ 1 ) 
x 2 = A 2 cos(ωt + φ 2 ) 
P hương pháp giản đồ Frenen . 
+ Độ dài |A 1 | = A 1 
+ Gốc tại O 
+ ( A 1 . Ox) = φ 1 
Vectơ quay A 1 có 
+ Độ dài |A 2 | = A 2 
+ ( A 2 . Ox) = φ 2 
+ Gốc tại O 
Vectơ quay A 2 có 
Ta vẽ các vecto quay A 1 , A 2 biểu diến x 1 và x 2 
Vecto quay A 1 , A 2 biểu diễn li độ x 1 , x 2 tại thời điểm ban đầu t 0 = 0 
Ta vẽ vecto A = A 1 + A 2 biểu diến x = x 1 + x 2 
==> x = Acos(ωt + φ ) 
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương cùng tần số với hai dao động đó. 
x 1 = A 1 cos(ωt + φ 1 ) 
x 2 = A 2 cos(ωt + φ 2 ) 
P hương pháp giản đồ Frenen . 
 A = A 1 + A 2 
==> x = Acos(ωt + φ ) 
Biên độ dao động tổng hợp: 
 A 2 = + 2A 1 A 2 cos( φ 2 – φ 1 ) 
Pha ban đầu của dao động tổng hợp: 
tan φ = 
Các trường hợp đặc biêt: 
- Hai dao động cùng pha: φ 2 - φ 1 =2n π Khi đó A = A 1 + A 2 và φ = φ 1 = φ 2 
Hai dao động ngược pha: φ 2 - φ 1 =(2n+1) π Khi đó A = | A 1 - A 2 | 
 và φ = φ 1 khi A 1 > A 2 và φ = φ 2 khi A 1 < A 2 
Hai dao động vuông pha: φ 2 - φ 1 = π /2 Khi đó A 2 = 
Ảnh hưởng của độ lệch pha . 
 A 2 = + 2A 1 A 2 cos( φ 2 – φ 1 ) 
Biên độ dao động tổng hợp A phụ thuộc A 1 ,A 2 và độ lệch pha giữa hai dao động Δφ = φ 2 – φ 1 
- Hai dao động cùng pha: Δφ = φ 2 - φ 1 =2n π Khi đó A = A max = A 1 + A 2 
Hai dao động ngược pha: Δφ =(2n+1) π Khi đó A= A min = | A 1 - A 2 | 
Ta luôn có: | A 1 - A 2 | ≤ A ≤ =A 1 + A 2 
BÀI TẬP 
x 1 = 3cos(5 π t) (cm) 
x 2 = 4cos(5 π t + ) (cm) 
Ví du 4 SGK: Tìm phương trình của dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: 
Giải: 
Ta vẽ hai vecto quay OM 1 và OM 2 
 A 2 = + 2A 1 A 2 cos( φ 2 – φ 1 ) 
 A 2 = 3 2 + 2.3.4.cos( ) = 37 (cm 2 ) 
==> A = = 6,08 (cm) ≈ 6,1 cm 
tan φ = = = = 0,6928 
==> φ = 34,71 0 = 0,19 π 
Phương trình dđ tổng hợp x = Acos(ωt + φ ) = 6,1cos(5 π t + 0,19 π ) (cm) 
C1. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương, cùng tần số không phụ thuộc vào: 
A. Biên độ của dao động thành phần thứ nhất B . Biên độ của dao động thành phần thứ hai . 
C. Tần số chung của hai dao động thành phần D . Độ lệch pha của hai dao động thành phần . 
C2. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương, cùng tần số là lớn nhất khi hai dao động thành phần : 
A. cùng pha	 B . ngược pha 	 C . vuông pha 	 D . lệch pha 45 o 
C3. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương, cùng tần số là nhỏ nhất khi hai dao động thành phần : 
A. cùng pha	 B . ngược pha 	C. vuông pha 	D. lệch pha 45 o 
C 
A 
B 
C4. Hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số lần lượt có phương trình dao động 
x 1 = 3cos(20 π t + ) (cm) 
x 2 = 4cos(20 π t - ) (cm) 
 Phát biểu nào sau đây là đúng ? 	 
A. Biên độ dao động tổng hợp bằng - 1cm.	 
B. Pha ban đầu cùa dao động tổng hợp bằng - 2 π 
C. Dao động x 1 trể pha hơn dao động x 2 một góc - 3 π . 	 
D. Hai dao động x 1 , x 2 ngược pha nhau 
C5. Phát biểu nào sau đây là không đúng ? 
 Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số : 
A. Nếu hai dao động thành phần ngược pha thì biên độ dao động tổng hợp là: A = A 1 – A 2 
B. Nếu hai dao động thành phần cùng pha thì biên độ dao động tổng hợp là : A = A 1 + A 2 . 
C. Nếu hai dao động thành phần lệch pha nhau bất kì thì biên độ dao động tổng hợp là: 
 A 1 – A 2 A A 1 + A 2 
D. Độ lệch pha của các dao động thành phần đóng vai trò quyết định tới biên độ A của dao động tổng hợp 
D 
A 
C 6 : Một vật có khối lượng m =100g, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 5Hz và có biên độ 6cm và 8cm . Lấy 2 = 10. Hãy xác định năng lượng dao động của vật trong mỗi trường hợp sau h ai dao động thành phần 
a. cùng pha. b. ngược pha . c. vuông pha . d. lệch pha nhau π /3 
C7. Biên độ A của dao động tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có giá trị : 
A. A = A 1 + A 2 	 B . A 1 + A 2 > A > A 1 A 2 	 
C. A = A 1 A 2 	 D . A 1 + A 2 A A 1 A 2 
Giải: 
ω = 2 π f = 10 π 
Năng lượng dao động W = m ω 2 A 2 
a. A = A 1 +A 2 = 16 cm = 0,14 m ==> W = 2 0,14 2 = 0,98 J 
b . A = A 2 - A 1 = 2 cm = 0,02 m ==> W = 2 0,02 2 = 0,02 J 
c. A = = 10 cm = 0,1 m ==> W = 2 0,1 2 = 0,5 J 
A 2 = + 2A 1 A 2 cos( φ 2 – φ 1 ) = 148 cm 2 ==> A = 12,17 cm = 0,12 m 
 ==> W = 2 0,12 2 = 0,72 J 
D 
B1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
x 1 = 10cos10t (cm) và x 2 = 6cos(10t + 3 ) (cm). Dao động tổng hợp của vật là : 
A. x = 4cos10t (cm)	B. x = 4cos(10t + 3 ) (cm)	 
C. x = 16cos10t (cm)	D. x = 16cos(10t + 3 /2) (cm) 
B2. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
x 1 = 6cos10t (cm) và x 2 = 10cos(10t + 3 ) (cm). Dao động tổng hợp của vật là : 
A. x = 4cos10t (cm)	B. x = 4cos(10t + 3 ) (cm)	 
C. x = 16cos10t (cm)	D. x = 16cos(10t + 3 /2) (cm) 
B3. Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
x 1 = 8cos(4 t) (cm) và x 2 = 8cos(4 t + /3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là : 
A. x = 8 cos(4 π t + ) (cm) 
B. x = 8 cos(4 π t + ) (cm) 
C . x = 8cos(4 π t + ) (cm) 
D . x = 8cos(4 π t + ) (cm) 
A 
B 
A 
B4. Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
x 1 = 8cos(4 t) (cm) và x 2 = 8cos(4 t + 2 /3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là : 
A. x = 8 cos(4 π t + ) (cm) 
B. x = 8 cos(4 π t + ) (cm) 
C . x = 8cos(4 π t + ) (cm) 
D . x = 8cos(4 π t + ) (cm) 
B5. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
x 1 = 2cos(5 t + /2) (cm) và x 2 = 2cos(5 t) (cm). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2s là : 
A. (cm/s)	 B . 10 (cm/s)	C. (cm/s)	D. 10 (cm/s) 
B6. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động x 1 = 5cos(5 t) (cm) và x 2 = 5cos(5 t + /2) (cm). Tốc độ của vật khi đi qua VTCB là : 
A. 25 (m/s ) 
D . 25 (cm/s) 
B. 25 (cm/s) 
C . 25 (m/s ) 
D 
D 
D 
B7. Hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số lần lượt có phương trình dao động : 
x 1 = 3cos(20 π t + ) (cm) 
v à x 2 = 4cos(20 π t - ) (cm) 
Dao động tổng hợp của một vật đồng thời thực hiện 2 dao động trên là : 
A. x = cos(20 π t + ) (cm) 
C. x = cos(20 π t - ) (cm) 
B . x = cos(20 π t + 3 π ) (cm) 
D. x = cos(20 π t - 3 π ) (cm) 
B8. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động : 
 x 1 = 15sin(5 t) (cm) và x 2 = 5cos(5 t + /2) (cm). Tốc độ của vật khi đi qua VTCB là : 
A. 50 (cm/s ) 
B . 50 (cm/s ) 
C. 25 (cm/s ) 
D . 2 5 (cm/s ) 
C 
Giải 
x 1 = 15sin(5 t ) = 15cos(5 t – π /2) 
==>x = x 1 + x 2 = 10cos(5 t – π /2) 
 v = ω A = 5 π .10 = 50 π cm/s . Chọn đáp án B 
B 
B9. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng tần số trên trục Ox Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ A 1 = 5 cm, dao động tổng hợp có biên độ A = 5 cm. Dao động thành phần thứ 2 sớm pha hơn dao động tổng hợp là π /3 và có biên độ A 2 là : 
A. 10 (cm/s ) 
B . 5 (cm/s ) 
C . 5 (cm/s ) 
D . 10 (cm/s ) 
C 
B10. Một vật m = 200g đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo hai phương trình x 1 = 3sin4 t (cm) và x 2 = 4sin(4 t + /2) (cm), t tính bằng s . Lấy 2 = 10 . Biên độ và năng lượng dao động của vật là : 
A. 7cm ; 0,04 J	B. 5cm ; 0,16 J	C. 5 cm ; 0,04 J	 D . 8cm ; 0,16 J 
C 
B12. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 1,2cm và 1,6cm . Gọi k là số nguyên , biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên là 2cm khi độ lêch pha của hai dao động bằng 
 A . k2 .	 B . (2k + 1) .	 C. (k +1) π /2 D. (2k +1) π /2 
B13. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm . Gọi k là số nguyên , biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên là 4cm khi độ lêch pha của hai dao động bằng 
 A . k2 .	 B . (2k 1) . C . (k -1 ) π /2 D. (2k +1) π /2 
D 
C 
B11. Hai dao động điều hòa cùng tần số ngược pha khi pha ban đầu của chúng thỏa mãn điều kiện: 
A. 2 - 1 = 2k . B . 2 - 1 = k . C . 2 - 1 = (2k + 1) . D. 2 - 1 = (2k +1) π /2 
C 
 14. Câu 5(TN – THPT ) : Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có các phương trình dao động là: x 1 = 3cos ( ω t – π /4) cm và x 2 = 4cos ( ω t + π /4 cm. Biên độ của dao động tổng hợp hai dao động trên là : A.5 cm. B . 1 cm. 	 C . 12 cm. D . 7 cm. 
A 
15. Câu 7(TN – THPT) : Hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình: x 1 = Acos( ω t + π /3) và x 2 = Acos( ω t - 2 π /3 ) là hai dao động: 
 A.lệch pha π /2 B . cùng pha. 
	 C . ngược pha. 	 D . lệch pha π /3 
C 
Giải 
A 
x 
O 
A 1 
A 2 
- π /4 
π /4 
x 1 ; x 2 vuông pha nên A= = 5 cm 
x 
O 
A 1 
A 2 
-2 π /3 
π /3 
16. Câu 14(TN – THPT): Cho hai dao động điều hòa cùng phương có các phương trình lần lượt là x 1 = 4cos( π t - π /6) (cm) và x 2 = 4cos( π t - π /2) (cm) . Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là 
A. 8cm. B. 4 cm C. 2 cm D. 4 cm 
17. Câu 22 . (Đề thi TN ) Hai dao động điều hòa có các phương trình li độ lần lượt là x 1 = 5cos(100 t + π /2) (cm) và x 2 = 12cos100 t (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng 
A. 7 cm. B . 8,5 cm.	 C . 17 cm. 	 D . 13 cm . 
B 
D 
A 
x 
O 
A 1 
A 2 
- π /6 
Giải 
Vẽ A 1 , A 2 , A = A 1 + A 2 
A = 
==> A = 
A 
x 
O 
A 1 
A 2 
Δ φ = π /2 →A = = 13 cm 
Giải 
Vẽ A 1 , A 2 , A = A 1 + A 2 
18.Câu 27 (TN THPT) : Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là: x 1 = A 1 cos  t và x 2 = A 2 cos( ω t + π /2). Biên độ dao động tổng hợp của hai động này là 
A. |A 1 – A 2 | 
C . A 1 + A 2 
B. 
B. 
19. Câu 14(CĐ) : Cho hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động lần lượt là x 1 = 3 sin(5 π t + π /2) cm và x 2 = 3 sin(5 π t - π /2) cm Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên bằng 
 A . 0 cm. 	B. 3 cm. 	C. 6,3 cm. 	D. 3,3 cm. 
20. Câu 22 (ĐH) : Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha ban đầu là và – . Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng 
A. - 
B. 
C. 
D. 
B 
A 
φ = - = Chọn đáp án D 
D 
21.Câu 54(CĐ): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x 1 = 3cos10t (cm) và x 2 = 4sin(10t+ π /2) (cm) Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng 
	A. 7 m/s 2 .	 B . 1 m/s 2 .	 C . 0,7 m/s 2 .	 D . 5 m/s 2 . 
Giải 
x 2 = 4sin(10t+ π /2 ) = 4cos(10t ) 
==> x 1 , x 2 cùng pha 
nên x = x 1 + x 2 = 7cos10t 
==> Gia tốc cực đại: 
A 
A 
x 
O 
A 1 
A 2 
a max = ω 2 A = 700 cm/s 2 = 7 m/s 2 . 
 Chọn A 
x 1 = 3cos(10t ) 
Vẽ A 1 , A 2 , A = A 1 + A 2 
22. Câu 62(ĐH): Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3cos( π t – 5 π /6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x 1 = 5 cos( π t + π /6) (cm) Dao động thứ hai có phương trình li độ là: 
A. x 2 = 8 cos( π t + π /6) (cm) 
B . x 2 = 2 cos( π t + π /6) (cm) 
C. x 2 = 2 cos( π t - 5 π /6) (cm) 
D . x 2 = 8 cos( π t - 5 π /6) (cm) 
D 
Giải 
x 
O 
A 
A 1 
A 2 
π /6 
-5 π /6 
Vẽ A 1 
Vẽ A 
Vẽ A 2 = A – A 1 = A + (- A 1 ) 
 x, x 1 ngược pha, nên x và – x 1 cùng pha 
 Do A > A 1 nên φ 2 = φ = - 5 π /6 
 Do đó A 2 = A + A 1 = 8 cm 
Suy ra x 2 = 8cos( π t - 5 π /6) (cm) 
Chon đáp án D 
D 
23. Câu 80 (Đề ĐH) : Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x 1 = 5cos10t và x 2 = 10cos10t (x 1 và x 2 tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng 
	A. 0,1125 J.	B. 225 J.	 C . 112,5 J.	 D . 0,225 J. 
A 
Giải 
Ta có x 1 , x 2 cùng pha nên A = A 1 + A 2 = 15 cm = 0,15 m 
Cơ năng W = m ω 2 A 2 = 0,1. 10 2 .0,15 2 = 0,1125 J 
Chọn đáp án A 
A. x = 2cos(t – π /3) 
B . x = 2cos(t + π /6) 
C . x = 2cos(t – 30 0 ) 
D . x = 2cos(t + π /3) 
24. 5 . SGK. XÐt mét vect¬ quay OM cã nh÷ng ®Æc ®iÓm sau : 
− Cã ®é lín b»ng hai ®¬n vÞ chiÒu dµi. 
− Quay quanh O víi tèc ®é gãc 1 rad/s. 
− T¹i thêi ®iÓm t = 0, vect ¬ OM hîp víi trôc Ox mét gãc 30 0 . 
Hái vect¬ quay OM biÓu diÔn phư¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ nµo ? 
D 
Giải 
25. 6.(SGK). Cho hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng phươnng , cïng tÇn sè gãc ω = 5π rad/s, víi c¸c biªn ®é A 1 = cm , A 2 = cm vµ c¸c pha ban ®Çu tương øng φ 1 = π /2 vµ φ 2 = 5 π /6 Tìm phươngng trình dao ®éng tæng hîp cña hai dao ®éng trªn. 
A 
x 
O 
A 1 
A 2 
φ 
==> φ = 131 0 = 0,73 π 
Vẽ A 1 , A 2 , A = A 1 + A 2 
 A 2 = + 2A 1 A 2 cos( φ 2 – φ 1 )= 5,25(cm 2 ) 
tan φ = = -1,154 
==> A = 2,3 cm 
Suy ra x = 2,3cos(5 π t + 0,73 π ) (cm)